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2016年襄陽市中考數學試題及答案
經過三年的學習，大家一定想知道自己的學習成果究竟如何?下面百分網小編為大家帶來一份2016年襄陽市中考的數學試題，文末有答案，希望能對大家有幫助，更多內容歡迎關注應屆畢業生網!
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其序號在答題卡上涂黑作答.
1.﹣3的相反數是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
2.如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B=30°，則∠C的度數為( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
3.﹣8的立方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.﹣
4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是( )
A.球體 B.圓錐 C.棱柱 D.圓柱
5.不等式組 的整數解的個數為( )
A.0個 B.2個 C.3個 D.無數個
6.一組數據2，x，4，3，3的平均數是3，則這組數據的中位數、眾數、方差分別是( )
A.3，3，0.4 B.2，3，2 C.3，2，0.4 D.3，3，2
7.如圖，在▱ABCD中，AB>AD，按以下步驟作圖：以點A為圓心，小于AD的長為半徑畫弧，分別交AB、AD于點E、F;再分別以點E、F為圓心，大于 EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點G;作射線AG交CD于點H，則下列結論中不能由條件推理得出的是( )
A.AG平分∠DAB B.AD=DH C.DH=BC D.CH=DH
8.如圖，I是△ABC的內心，AI的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BI、BD、DC.下列說法中錯誤的一項是( )
A.線段DB繞點D順時針旋轉一定能與線段DC重合
B.線段DB繞點D順時針旋轉一定能與線段DI重合
C.∠CAD繞點A順時針旋轉一定能與∠DAB重合
D.線段ID繞點I順時針旋轉一定能與線段IB重合
9.如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為( )
A. B. C. D.
10.一次函數y=ax+b和反比例函數y= 在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二次函數y=ax2+bx+c的圖象大致為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分.把答案填在答題卡的相應位置上.
11.分解因式：2a2﹣2= .
12.關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個相等的實數根，則m的值為 .
13.一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個黑球、4個白球和若干個紅球.每次搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，通過大量重復摸球試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定于0.4，由此可估計袋中約有紅球 個.
14.王經理到襄陽出差帶回襄陽特產﹣﹣孔明菜若干袋，分給朋友們品嘗，如果每人分5袋，還余3袋;如果每人分6袋，還差3袋，則王經理帶回孔明菜 袋.
15.如圖，AB是半圓O的直徑，點C、D是半圓O的三等分點，若弦CD=2，則圖中陰影部分的面積為 .
16.如圖，正方形ABCD的邊長為2 ，對角線AC、BD相交于點O，E是OC的中點，連接BE，過點A作AM⊥BE于點M，交BD于點F，則FM的長為 .
三、解答題：本大題共9小題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對應的答題區域內.
17.先化簡，再求值：(2x+1)(2x﹣1)﹣(x+1)(3x﹣2)，其中x= .
18.襄陽市文化底蘊深厚，旅游資源豐富，古隆中、習家池、鹿門寺三個景區是人們節假日玩的熱點景區，張老師對八(1)班學生“五•一”小長假隨父母到這三個景區游玩的計劃做了全面調查，調查分四個類別：A、游三個景區;B、游兩個景區;C、游一個景區;D、不到這三個景區游玩.現根據調查結果繪制了不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請結合圖中信息解答下列問題：
(1)八(1)班共有學生 人，在扇形統計圖中，表示“B類別”的扇形的圓心角的度數為 ;
(2)請將條形統計圖補充完整;
(3)若張華、李剛兩名同學，各自從三個景區中隨機選一個作為5月1日游玩的景區，則他們同時選中古隆中的概率為 .
19.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.
(1)求證：AB=AC;
(2)若AD=2 ，∠DAC=30°，求AC的長.
20.如圖，直線y=ax+b與反比例函數y= (x>0)的圖象交于A(1，4)，B(4，n)兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點.
(1)m= ，n= ;若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函數圖象上兩點，且0”);
(2)若線段CD上的點P到x軸、y軸的距離相等，求點P的坐標.
21.“漢十”高速鐵路襄陽段正在建設中，甲、乙兩個工程隊計劃參與一項工程建設，甲隊單獨施工30天完成該項工程的 ，這時乙隊加入，兩隊還需同時施工15天，才能完成該項工程.
(1)若乙隊單獨施工，需要多少天才能完成該項工程?
(2)若甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天，則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程?
22.如圖，直線AB經過⊙O上的點C，直線AO與⊙O交于點E和點D，OB與⊙O交于點F，連接DF、DC.已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6.
(1)求證：①直線AB是⊙O的切線;②∠FDC=∠EDC;
(2)求CD的長.
23.襄陽市某企業積極響應政府“創新發展”的號召，研發了一種新產品.已知研發、生產這種產品的成本為30元/件，且年銷售量y(萬件)關于售價x(元/件)的函數解析式為：y= .
(1)若企業銷售該產品獲得的年利潤為W(萬元)，請直接寫出年利潤W(萬元)關于售價x(元/件)的函數解析式;
(2)當該產品的售價x(元/件)為多少時，企業銷售該產品獲得的年利潤最大?最大年利潤是多少?
(3)若企業銷售該產品的年利潤不少于750萬元，試確定該產品的售價x(元/件)的取值范圍.
24.如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG.
(1)求證：四邊形EFDG是菱形;
(2)探究線段EG、GF、AF之間的數量關系，并說明理由;
(3)若AG=6，EG=2 ，求BE的長.
25.如圖，已知點A的坐標為(﹣2，0)，直線y=﹣ x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C，連接AC，頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點.
(1)請直接寫出B、C兩點的坐標，拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)設拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E，P是第一象限內拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，交線段BC于點F，若四邊形DEFP為平行四邊形，求點P的坐標;
(3)設點M是線段BC上的一動點，過點M作MN∥AB，交AC于點N，點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動，運動時間為t(秒)，當t(秒)為何值時，存在△QMN為等腰直角三角形?
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其序號在答題卡上涂黑作答.
1.﹣3的相反數是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【考點】相反數.
【專題】常規題型.
【分析】根據相反數的概念解答即可.
【解答】解：﹣3的相反數是3，
故選：A.
【點評】本題考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號;一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0.
2.如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B=30°，則∠C的度數為( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
【考點】平行線的性質;角平分線的定義;三角形的外角性質.
【分析】由AD∥BC，∠B=30°利用平行線的性質即可得出∠EAD的度數，再根據角平分線的定義即可求出∠EAC的度數，最后由三角形的外角的性質即可得出∠EAC=∠B+∠C，代入數據即可得出結論.
【解答】解：∵AD∥BC，∠B=30°，
∴∠EAD=∠B=30°.
又∵AD是∠EAC的平分線，
∴∠EAC=2∠EAD=60°.
∵∠EAC=∠B+∠C，
∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°.
故選C.
【點評】本題考查了平行線的性質、三角形外角性質以及角平分線的定義，解題的關鍵是求出∠EAC=60°.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據平行線的性質找出相等或互補的角是關鍵.
3.﹣8的立方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.﹣
【考點】立方根.
【分析】直接利用立方根的定義分析求出答案.
【解答】解：﹣8的立方根是： =﹣2.
故選：B.
【點評】此題主要考查了立方根，正確把握立方根的定義是解題關鍵.
4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是( )
A.球體 B.圓錐 C.棱柱 D.圓柱
【考點】由三視圖判斷幾何體.
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.
【解答】解：由于主視圖和左視圖為長方形可得此幾何體為柱體，
由俯視圖為圓可得為圓柱體.
故選D.
【點評】本題考查了由三視圖來判斷幾何體，還考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力.
5.不等式組 的整數解的個數為( )
A.0個 B.2個 C.3個 D.無數個
【考點】一元一次不等式組的整數解.
【分析】先根據一元一次不等式組的解法求出x的取值范圍，然后找出整數解的個數.
【解答】解：解不等式2x﹣1≤1得：x≤1，
解不等式﹣ x<1得：x>﹣2，
則不等式組的解集為：﹣2
整數解為：﹣1，0，1，共3個.
故選C.
【點評】此題考查了是一元一次不等式組的整數解，解答本題的關鍵是根據x的取值范圍，得出x的整數解.求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.
6.一組數據2，x，4，3，3的平均數是3，則這組數據的中位數、眾數、方差分別是( )
A.3，3，0.4 B.2，3，2 C.3，2，0.4 D.3，3，2
【考點】方差;算術平均數;中位數;眾數.
【分析】先根據平均數的定義求出x的值，再根據眾數、中位數的定義和方差公式分別進行解答即可.
【解答】解：根據題意， =3，解得：x=3，
∴這組數據從小到大排列為：2，3，3，3，4;
則這組數據的中位數為3，
這組數據3出現的次數最多，出現了3次，故眾數為3;
其方差是： ×[(2﹣3)2+3×(3﹣3)2+(4﹣3)2]=0.4，
故選A.
【點評】本題考查了眾數、中位數和方差，眾數是一組數據中出現次數最多的數;中位數是將一組數據從小到大(或從大到小)重新排列后，最中間的那個數(或最中間兩個數的平均數);一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為 ，則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2].
7.如圖，在▱ABCD中，AB>AD，按以下步驟作圖：以點A為圓心，小于AD的長為半徑畫弧，分別交AB、AD于點E、F;再分別以點E、F為圓心，大于 EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點G;作射線AG交CD于點H，則下列結論中不能由條件推理得出的是( )
A.AG平分∠DAB B.AD=DH C.DH=BC D.CH=DH
【考點】平行四邊形的性質.
【分析】根據作圖過程可得得AG平分∠DAB，再根據角平分線的性質和平行四邊形的性質可證明∠DAH=∠DHA，進而得到AD=DH，
【解答】解：根據作圖的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH=∠BAH，
∵CD∥AB，
∴∠DHA=∠BAH，
∴∠DAH=∠DHA，
∴AD=DH，
∴BC=DH，
故選D.
【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質、角平分線的作法、平行線的性質;熟記平行四邊形的性質是解決問題的關鍵關鍵.
8.如圖，I是△ABC的內心，AI的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BI、BD、DC.下列說法中錯誤的一項是( )
A.線段DB繞點D順時針旋轉一定能與線段DC重合
B.線段DB繞點D順時針旋轉一定能與線段DI重合
C.∠CAD繞點A順時針旋轉一定能與∠DAB重合
D.線段ID繞點I順時針旋轉一定能與線段IB重合
【考點】三角形的內切圓與內心;三角形的外接圓與外心;旋轉的性質.
【分析】根據I是△ABC的內心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分線的定義得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI根據三角形外角的性質得到∠BDI=∠DIB，根據等腰三角形的性質得到BD=DI.
【解答】解：∵I是△ABC的內心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，故C正確，不符合題意;
∠ABI=∠CBI，∴ = ，
∴BD=CD，故A正確，不符合題意;
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∵∠IBD=∠IBC+∠DBC，∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠BDI=∠DIB，
∴BD=DI，故B正確，不符合題意;
故選D.
【點評】本題考查了三角形的內切圓和內心的，以及等腰三角形的判定與性質，同弧所對的圓周角相等.
9.如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為( )
A. B. C. D.
【考點】勾股定理;銳角三角函數的定義.
【分析】直接根據題意構造直角三角形，進而利用勾股定理得出DC，AC的長，再利用銳角三角函數關系求出答案.
【解答】解：如圖所示：連接DC，
由網格可得出∠CDA=90°，
則DC= ，AC= ，
故sinA= = = .
故選：B.
【點評】此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數關系，正確構造直角三角形是解題關鍵.
10.一次函數y=ax+b和反比例函數y= 在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二次函數y=ax2+bx+c的圖象大致為( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數的圖象;一次函數的圖象;二次函數的圖象.
【分析】根據一次函數的圖象的性質先確定出a、b的取值范圍，然后根據反比例函數的性質確定出c的取值范圍，最后根據二次函數的性質即可做出判斷.
【解答】解：∵一次函數y=ax+b經過一、二、四象限，
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∴a<0，b>0，
∵反比例函數y= 的圖象在一、三象限，
∴c>0，
∵a<0，
∴二次函數y=ax2+bx+c的圖象的開口向下，
∵b>0，
∴ >0，
∵c>0，
∴與y軸的正半軸相交，
故選C.
【點評】本題主要考查的是二次函數、一次函數和反比例函數的性質，掌握相關性質是解題的關鍵.
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分.把答案填在答題卡的相應位置上.
11.分解因式：2a2﹣2= 2(a+1)(a﹣1) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】先提取公因式2，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解.
【解答】解：2a2﹣2，
=2(a2﹣1)，
=2(a+1)(a﹣1).
【點評】本題考查了提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.
12.關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個相等的實數根，則m的值為 2 .
【考點】根的判別式.
【分析】由于關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個相等的實數根，可知其判別式為0，據此列出關于m的方程，解答即可.
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個相等的實數根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4(m﹣1)=0，
解得：m=2，
故答案為2.
【點評】此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數根;
(3)△<0⇔方程沒有實數根.
13.一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個黑球、4個白球和若干個紅球.每次搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，通過大量重復摸球試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定于0.4，由此可估計袋中約有紅球 8 個.
【考點】利用頻率估計概率.
【專題】統計與概率.
【分析】根據摸到紅球的頻率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，從而可以求得總的球數，從而可以得到紅球的個數.
【解答】解：由題意可得，
摸到黑球和白球的頻率之和為：1﹣0.4=0.6，
∴總的球數為：(8+4)÷0.6=20，
∴紅球有：20﹣(8+4)=8(個)，
故答案為：8.
【點評】本題考查利用頻率估計概率，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.
14.王經理到襄陽出差帶回襄陽特產﹣﹣孔明菜若干袋，分給朋友們品嘗，如果每人分5袋，還余3袋;如果每人分6袋，還差3袋，則王經理帶回孔明菜 33 袋.
【考點】一元一次方程的應用.
【分析】可設有x個朋友，根據“如果每人分5袋，還余3袋;如果每人分6袋，還差3袋”可列出一元一次方程，求解即可.
【解答】解：設有x個朋友，則
5x+3=6x﹣3
解得x=6
∴5x+3=33(袋)
故答案為：33
【點評】本題主要考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據總袋數相等這一等量關系列方程求解.本題也可以直接設總袋數為x進行列方程求解.
15.如圖，AB是半圓O的直徑，點C、D是半圓O的三等分點，若弦CD=2，則圖中陰影部分的面積為 π .
【考點】扇形面積的計算.
【分析】首先證明OC∥BD，得到S△BDC=S△BDO，所以S陰=S扇形OBD，由此即可計算.
【解答】解：如圖連接OC、OD、BD.
∵點C、D是半圓O的三等分點，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OC=OD=OB，
∴△COD、△OBD是等邊三角形，
∴∠COD=∠ODB=60°，OD=CD=2，
∴OC∥BD，
∴S△BDC=S△BDO，
∴S陰=S扇形OBD= = .
【點評】本題考查圓的有關知識、扇形的面積，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會把求不規則圖形面積轉化為求規則圖形的面積，屬于中考常考題型.
16.如圖，正方形ABCD的邊長為2 ，對角線AC、BD相交于點O，E是OC的中點，連接BE，過點A作AM⊥BE于點M，交BD于點F，則FM的長為 .
【考點】正方形的性質.
【分析】先根據ASA判定△AFO≌△BEO，并根據勾股定理求得BE的長，再判定△BFM∽△BEO，最后根據對應邊成比例，列出比例式求解即可.
【解答】解：∵正方形ABCD
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°
∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM
∴∠FAO=∠EBO
在△AFO和△BEO中
∴△AFO≌△BEO(ASA)
∴FO=EO
∵正方形ABCD的邊長為2 ，E是OC的中點
∴FO=EO=1=BF，BO=2
∴直角三角形BOE中，BE= =
由∠FBM=∠EBO，∠FMB=∠EOB，可得△BFM∽△BEO
∴ ，即
∴FM=
故答案為：
【點評】本題主要考查了正方形，解決問題的關鍵的掌握全等三角形和相似三角形的判定與性質.解題時注意：正方形的對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
三、解答題：本大題共9小題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對應的答題區域內.
17.先化簡，再求值：(2x+1)(2x﹣1)﹣(x+1)(3x﹣2)，其中x= .
【考點】整式的混合運算—化簡求值.
【分析】首先利用整式乘法運算法則化簡，進而去括號合并同類項，再將已知代入求出答案.
【解答】解：(2x+1)(2x﹣1)﹣(x+1)(3x﹣2)，
=4x2﹣1﹣(3x2+3x﹣2x﹣2)
=4x2﹣1﹣3x2﹣x+2
=x2﹣x+1
把x= 代入得：
原式=( ﹣1)2﹣( ﹣1)+1
=3﹣2 ﹣ +2
=5﹣3 .
【點評】此題主要考查了整式的混合運算以及化簡求值，正確正確運算法則是解題關鍵.
18.襄陽市文化底蘊深厚，旅游資源豐富，古隆中、習家池、鹿門寺三個景區是人們節假日玩的熱點景區，張老師對八(1)班學生“五•一”小長假隨父母到這三個景區游玩的計劃做了全面調查，調查分四個類別：A、游三個景區;B、游兩個景區;C、游一個景區;D、不到這三個景區游玩.現根據調查結果繪制了不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請結合圖中信息解答下列問題：
(1)八(1)班共有學生 50 人，在扇形統計圖中，表示“B類別”的扇形的圓心角的度數為 72° ;
(2)請將條形統計圖補充完整;
(3)若張華、李剛兩名同學，各自從三個景區中隨機選一個作為5月1日游玩的景區，則他們同時選中古隆中的概率為 .
【考點】列表法與樹狀圖法;扇形統計圖;條形統計圖.
【分析】(1)由A類5人，占10%，可求得總人數，繼而求得B類別占的百分數，則可求得“B類別”的扇形的圓心角的度數;
(2)首先求得D類別的人數，則可將條形統計圖補充完整;
(3)首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與他們同時選中古隆中的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：(1)∵A類5人，占10%，
∴八(1)班共有學生有：5÷10%=50(人);
∴在扇形統計圖中，表示“B類別”的扇形的圓心角的度數為： ×360°=72°;
故答案為：50，72°;
(2)D類：50﹣5﹣10﹣15=25(人)，如圖：
(3)分別用1，2，3表示古隆中、習家池、鹿門寺，畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結果，他們同時選中古隆中的只有1種情況，
∴他們同時選中古隆中的概率為： .
故答案為： .
【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及扇形與條形統計圖的知識.注意掌握扇形統計圖與條形統計圖的對應關系.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
19.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.
(1)求證：AB=AC;
(2)若AD=2 ，∠DAC=30°，求AC的長.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)先證明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可證明.
(2)先證明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性質設CD=a，AC=2a，根據勾股定理列出方程即可解決問題.
【解答】(1)證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在RT△DEB和RT△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
(2)∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2 ，∠DAC=30°，
∴AC=2CD，設CD=a，則AC=2a，
∵AC2=AD2+CD2，
∴4a2=a2+(2 )2，
∵a>0，
∴a=2，
∴AC=2a=4.
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、直角三角形30°性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，記住直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，屬于中考常考題型.
20.如圖，直線y=ax+b與反比例函數y= (x>0)的圖象交于A(1，4)，B(4，n)兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點.
(1)m= 4 ，n= 1 ;若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函數圖象上兩點，且0 y2(填“<”或“=”或“>”);
(2)若線段CD上的點P到x軸、y軸的距離相等，求點P的坐標.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題;反比例函數的性質;反比例函數圖象上點的坐標特征.
【分析】(1)由點A的'坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出m的值，再由點B也在反比例函數圖象上即可得出n的值，由反比例函數系數m的值結合反比例函數的性質即可得出反比例函數的增減性，由此即可得出結論;
(2)設過C、D點的直線解析式為y=kx+b，由點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線CD的解析式，設出點P的坐標為(t，﹣t+5)，由點P到x軸、y軸的距離相等即可得出關于t的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出t的值，從而得出點P的坐標.
【解答】解：(1)∵反比例函數y= (x>0)的圖象過點A(1，4)，
∴m=1×4=4.
∵點B(4，n)在反比例函數y= 的圖象上，
∴m=4n=4，解得：n=1.
∵在反比例函數y= (x>0)中，m=4>0，
∴反比例函數y= 的圖象單調遞減，
∵0
∴y1>y2.
故答案為：4;1;>.
(2)設過C、D點的直線解析式為y=kx+b，
∵直線CD過點A(1，4)、B(4，1)兩點，
∴ ，解得： ，
∴直線CD的解析式為y=﹣x+5.
設點P的坐標為(t，﹣t+5)，
∴|t|=|﹣t+5|，
解得：t= .
∴點P的坐標為( ， ).
【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數的性質以及解含絕對值符號的一元一次方程，解題的關鍵是：(1)求出m的值;(2)找出關于t的含絕對值符號的一元一次方程.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，結合點的坐標利用待定系數法求出函數的解析式是關鍵.
21.“漢十”高速鐵路襄陽段正在建設中，甲、乙兩個工程隊計劃參與一項工程建設，甲隊單獨施工30天完成該項工程的 ，這時乙隊加入，兩隊還需同時施工15天，才能完成該項工程.
(1)若乙隊單獨施工，需要多少天才能完成該項工程?
(2)若甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天，則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程?
【考點】分式方程的應用;一元一次不等式的應用.
【分析】(1)直接利用隊單獨施工30天完成該項工程的 ，這時乙隊加入，兩隊還需同時施工15天，進而利用總工作量為1得出等式求出答案;
(2)直接利用甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天，得出不等式求出答案.
【解答】解：(1)設乙隊單獨施工，需要x天才能完成該項工程，
∵甲隊單獨施工30天完成該項工程的 ，
∴甲隊單獨施工90天完成該項工程，
根據題意可得：
+15( + )=1，
解得：x=30，
檢驗得：x=30是原方程的根，
答：乙隊單獨施工，需要30天才能完成該項工程;
(2)設乙隊參與施工y天才能完成該項工程，根據題意可得：
×36+y× ≥1，
解得：y≥18，
答：乙隊至少施工18天才能完成該項工程.
【點評】此題主要考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，正確得出等量關系是解題關鍵.
22.如圖，直線AB經過⊙O上的點C，直線AO與⊙O交于點E和點D，OB與⊙O交于點F，連接DF、DC.已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6.
(1)求證：①直線AB是⊙O的切線;②∠FDC=∠EDC;
(2)求CD的長.
【考點】切線的判定.
【分析】(1)①欲證明直線AB是⊙O的切線，只要證明OC⊥AB即可.
②首先證明OC∥DF，再證明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD即可.
(2)作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解決問題.
【解答】(1)①證明：連接OC.
∵OA=OB，AC=CB，
∴OC⊥AB，
∵點C在⊙O上，
∴AB是⊙O切線.
②證明：∵OA=OB，AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC=∠OFD，
∴OC∥DF，
∴∠CDF=∠OCD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC=∠CDF.
(2)作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M.
∵ON⊥DF，
∴DN=NF=3，
在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，
∴ON= =4，
∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，
∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，
∴四邊形OCMN是矩形，
∴ON=CM=4，MN=OC=5，
在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，
∴CD= = =4 .
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【點評】本題考查切線的判定，等腰三角形的性質、垂徑定理、平行線的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.
23.襄陽市某企業積極響應政府“創新發展”的號召，研發了一種新產品.已知研發、生產這種產品的成本為30元/件，且年銷售量y(萬件)關于售價x(元/件)的函數解析式為：y= .
(1)若企業銷售該產品獲得的年利潤為W(萬元)，請直接寫出年利潤W(萬元)關于售價x(元/件)的函數解析式;
(2)當該產品的售價x(元/件)為多少時，企業銷售該產品獲得的年利潤最大?最大年利潤是多少?
(3)若企業銷售該產品的年利潤不少于750萬元，試確定該產品的售價x(元/件)的取值范圍.
【考點】二次函數的應用.
【分析】(1)根據：年利潤=(售價﹣成本)×年銷售量，結合x的取值范圍可列函數關系式;
(2)將(1)中兩個二次函數配方后依據二次函數的性質可得其最值情況，比較后可得答案;
(3)根據題意知W≥750，可列關于x的不等式，求解可得x的范圍.
【解答】解：(1)當40≤x<60時，W=(x﹣30)(﹣2x+140)=﹣2x2+200x﹣4200，
當60≤x≤70時，W=(x﹣30)(﹣x+80)=﹣x2+110x﹣2400;
(2)當40≤x<60時，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2(x﹣50)2+800，
∴當x=50時，W取得最大值，最大值為800萬元;
當60≤x≤70時，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣(x﹣55)2+625，
∴當x>55時，W隨x的增大而減小，
∴當x=60時，W取得最大值，最大值為：﹣(60﹣55)2+625=600，
∵800>600，
∴當x=50時，W取得最大值800，
答：該產品的售價x為50元/件時，企業銷售該產品獲得的年利潤最大，最大年利潤是800萬元;
(3)當40≤x<60時，由W≥750得：﹣2(x﹣50)2+800≥750，
解得：45≤x≤55，
當60≤x≤70時，W的最大值為600<750，
∴要使企業銷售該產品的年利潤不少于750萬元，該產品的售價x(元/件)的取值范圍為45≤x≤55.
【點評】本題主要考查二次函數的實際應用，梳理題目中的數量關系，得出相等關系后分情況列出函數解析式，熟練運用二次函數性質求最值是解題的關鍵.
24.如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG.
(1)求證：四邊形EFDG是菱形;
(2)探究線段EG、GF、AF之間的數量關系，并說明理由;
(3)若AG=6，EG=2 ，求BE的長.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)先依據翻折的性質和平行線的性質證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據翻折的性質可證明DG=GE=DF=EF;
(2)連接DE，交AF于點O.由菱形的性質可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質可證明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的數量關系;
(3)過點G作GH⊥DC，垂足為H.利用(2)的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質可求得GH的長，最后依據BE=AD﹣GH求解即可.
【解答】解：(1)證明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的性質可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.
∴DG=GE=DF=EF.
∴四邊形EFDG為菱形.
(2)EG2= GF•AF.
理由：如圖1所示：連接DE，交AF于點O.
∵四邊形EFDG為菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF= GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF.
∴ ，即DF2=FO•AF.
∵FO= GF，DF=EG，
∴EG2= GF•AF.
(3)如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H.
∵EG2= GF•AF，AG=6，EG=2 ，
∴20= FG(FG+6)，整理得：FG2+6FG﹣40=0.
解得：FG=4，FG=﹣10(舍去).
∵DF=GE=2 ，AF=10，
∴AD= =4 .
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD.
∴△FGH∽△FAD.
∴ ，即 = .
∴GH= .
∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ = .
【點評】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、菱形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理的應用，利用相似三角形的性質得到DF2=FO•AF是解題答問題(2)的關鍵，依據相似三角形的性質求得GH的長是解答問題(3)的`關鍵.
25.如圖，已知點A的坐標為(﹣2，0)，直線y=﹣ x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C，連接AC，頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點.
(1)請直接寫出B、C兩點的坐標，拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)設拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E，P是第一象限內拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，交線段BC于點F，若四邊形DEFP為平行四邊形，求點P的坐標;
(3)設點M是線段BC上的一動點，過點M作MN∥AB，交AC于點N，點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動，運動時間為t(秒)，當t(秒)為何值時，存在△QMN為等腰直角三角形?
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)分別令y=0和x=0代入y=﹣ x+3即可求出B和C的坐標，然后設拋物線的交點式為y=a(x+2)(x﹣4)，最后把C的坐標代入拋物線解析式即可求出a的值和頂點D的坐標;
(2)若四邊形DEFP為平行四邊形時，則DP∥BC，設直線DP的解析式為y=mx+n，則m=﹣ ，求出直線DP的解析式后，聯立拋物線解析式和直線DP的解析式即可求出P的坐標;
(3)由題意可知，0≤t≤6，若△QMN為等腰直角三角形，則共有三種情況，①∠NMQ=90°;②∠MNQ=90°;③∠NQM=90°.
【解答】解：(1)令x=0代入y=﹣ x+3
∴y=3，
∴C(0，3)，
令y=0代入y=﹣ x+3
∴x=4，
∴B(4，0)，
設拋物線的解析式為：y=a(x+2)(x﹣4)，
把C(0，3)代入y=a(x+2)(x﹣4)，
∴a=﹣ ，
∴拋物線的解析式為：y= (x+2)(x﹣4)=﹣ x2+ x+3，
∴頂點D的坐標為(1， );
(2)當DP∥BC時，
此時四邊形DEFP是平行四邊形，
設直線DP的解析式為y=mx+n，
∵直線BC的解析式為：y=﹣ x+3，
∴m=﹣ ，
∴y=﹣ x+n，
把D(1， )代入y=﹣ x+n，
∴n= ，
∴直線DP的解析式為y=﹣ x+ ，
∴聯立 ，
解得：x=3或x=1(舍去)，
∴把x=3代入y=﹣ x+ ，
y= ，
∴P的坐標為(3， );
(3)由題意可知：0≤t≤6，
設直線AC的解析式為：y=m1x+n1，
把A(﹣2，0)和C(0，3)代入y=m1x+n1，
得： ，
∴解得 ，
∴直線AC的解析式為：y= x+3，
由題意知：QB=t，
如圖1，當∠NMQ=90°，
∴OQ=4﹣t，
令x=4﹣t代入y=﹣ x+3，
∴y= t，
∴M(4﹣t， t)，
∵MN∥x軸，
∴N的縱坐標為 t，
把y= t代入y= x+3，
∴x= t﹣2，
∴N( t﹣2， t)，
∴MN=(4﹣t)﹣( ﹣2)=6﹣ t，
∵MQ∥OC，
∴△BQM∽△BOC，
∴ ，
∴MQ= t，
當MN=MQ時，
∴6﹣ t= t，
∴t= ，
此時QB= ，符合題意，
如圖2，當∠QNM=90°時，
∵QB=t，
∴點Q的坐標為(4﹣t，0)
∴令x=4﹣t代入y= x+3，
∴y=9﹣ t，
∴N(4﹣t，9﹣ t)，
∵MN∥x軸，
∴點M的縱坐標為9﹣ t，
∴令y=9﹣ t代入y=﹣ x+3，
∴x=2t﹣8，
∴M(2t﹣8，9﹣ t)，
∴MN=(2t﹣8)﹣(4﹣t)=3t﹣12，
∵NQ∥OC，
∴△AQN∽△AOC，
∴ = ，
∴NQ=9﹣ t，
當NQ=MN時，
∴9﹣ t=3t﹣12，
∴t= ，
∴此時QB= ，符合題意
如圖3，當∠NQM=90°，
過點Q作QE⊥MN于點E，
過點M作MF⊥x軸于點F，
設QE=a，
令y=a代入y=﹣ x+3，
∴x=4﹣ ，
∴M(4﹣ a，a)，
令y=a代入y= x+3，
∴x= ﹣2，
∴N( ﹣2，0)，
∴MN=(4﹣ a)﹣( a﹣2)=6﹣2a，
當MN=2QE時，
∴6﹣2a=2a，
∴a= ，
∴MF=QE= ，
∵MF∥OC，
∴△BMF∽△BCO，
∴ = ，
∴BF=2，
∴QB=QF+BF= +2= ，
∴t= ，此情況符合題意，
綜上所述，當△QMN為等腰直角三角形時，此時t= 或 或 .
【點評】本題考查二次函數的綜合問題，涉及待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，相似三角形判定與性質，等腰直角三角形的性質知識，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.
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