隨州市中考數學試題及答案

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隨州市中考數學試題及答案

　　數學是研究現實世界空間形式和數量關系的一門科學。它在科學發展和現代生活生產中的應用非常廣泛，是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。下面百分網小編為大帶來2016年隨州市中考的數學試題，文末附有答案，有需要的同學可以看一看，更多內容歡迎關注應屆畢業生網!

隨州市中考數學試題及答案

　　一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的)

　　1.﹣ 的相反數是(　　)

　　A.﹣ B. C. D.﹣

　　2.隨著我國經濟快速發展，轎車進入百姓家庭，小明同學在街頭觀察出下列四種汽車標志，其中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.下列運算正確的是(　　)

　　A.a2a3=a6B.a5÷a2=a3C.(﹣3a)3=﹣9a3D.2x2+3x2=5x4

　　4.如圖，直線a∥b，直線c分別與a、b相交于A、B兩點，AC⊥AB于點A，交直線b于點C.已知∠1=42°，則∠2的度數是(　　)

　　A.38° B.42° C.48° D.58°

　　5.不等式組的解集表示在數軸上，正確的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　6.為了響應學校“書香校園”建設，陽光班的同學們積極捐書，其中宏志學習小組的同學捐書冊數分別是：5，7，x，3，4，6.已知他們平均每人捐5本，則這組數據的眾數、中位數和方差分別是(　　)

　　A.5，5， B.5，5，10 C.6，5.5， D.5，5，

　　7.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是(　　)

　　A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：25

　　8.隨州市尚市“桃花節”觀賞人數逐年增加，據有關部門統計，2014年約為20萬人次，2016年約為28.8萬人次，設觀賞人數年均增長率為x，則下列方程中正確的是(　　)

　　A.20(1+2x)=28.8 B.28.8(1+x)2=20

　　C.20(1+x)2=28.8 D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8

　　9.如圖是某工件的三視圖，則此工件的表面積為(　　)

　　A.15πcm2B.51πcm2C.66πcm2D.24πcm2

　　10.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x=2，下列結論：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點A(﹣3，y1)、點B(﹣ ，y2)、點C( ，y3)在該函數圖象上，則y1

　　A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

　　二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

　　11.2015年“圣地車都”﹣﹣隨州改裝車的總產值為14.966億元，其中14.966億元用科學記數法表示為　　　　　　元.

　　12.已知等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x2﹣8x+15=0的根，則該等腰三角形的周長為　　　　　　.

　　13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD= BD，連接DM、DN、MN.若AB=6，則DN=　　　　　　.

　　14.如圖，直線y=x+4與雙曲線y= (k≠0)相交于A(﹣1，a)、B兩點，在y軸上找一點P，當PA+PB的值最小時，點P的坐標為　　　　　　.

　　15.如圖(1)，PT與⊙O1相切于點T，PAB與⊙O1相交于A、B兩點，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2=PAPB.請應用以上結論解決下列問題：如圖(2)，PAB、PCD分別與⊙O2相交于A、B、C、D四點，已知PA=2，PB=7，PC=3，則CD=　　　　　　.

　　16.如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ(0°<θ<90°)，PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論中正確的是　　　　　　.

　　(1)EF= OE;(2)S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4;(3)BE+BF= OA;(4)在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ;(5)OGBD=AE2+CF2.

　　三、解答題(本題共9小題，共72分，解答應寫出必要演算步驟，文字說明或證明過程)

　　17.計算：﹣|﹣1|+ cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0.

　　18.先化簡，再求值：( ﹣x+1)÷ ，其中x= ﹣2.

　　19.某校學生利用雙休時間去距學校10km的炎帝故里參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車沿相同路線出發，結果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度和汽車的速度.

　　20.國務院辦公廳2015年3月16日發布了《中國足球改革的總體方案》，這是中國足球歷史上的重大改革.為了進一步普及足球知識，傳播足球文化，我市舉行了“足球進校園”知識競賽活動，為了解足球知識的普及情況，隨機抽取了部分獲獎情況進行整理，得到下列不完整的統計圖表：

　　獲獎等次頻數頻率

　　一等獎 10 0.05

　　二等獎 20 0.10

　　三等獎 30 b

　　優勝獎 a 0.30

　　鼓勵獎 80 0.40

　　請根據所給信息，解答下列問題：

　　(1)a=　　　　　　，b=　　　　　　，且補全頻數分布直方圖;

　　(2)若用扇形統計圖來描述獲獎分布情況，問獲得優勝獎對應的扇形圓心角的度數是多少?

　　(3)在這次競賽中，甲、乙、丙、丁四位同學都獲得一等獎，若從這四位同學中隨機選取兩位同學代表我市參加上一級競賽，請用樹狀圖或列表的方法，計算恰好選中甲、乙二人的概率.

　　21.某班數學興趣小組利用數學活動課時間測量位于烈山山頂的炎帝雕像高度，已知烈山坡面與水平面的夾角為30°，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進1620尺到達E點，在點E處測得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度.

　　22.如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD，且DE=DB.

　　(1)判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由;

　　(2)若CD=15，BE=10，tanA= ，求⊙O的直徑.

　　23.九年級(3)班數學興趣小組經過市場調查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90，且x為整數)的售價與銷售量的相關信息如下.已知商品的進價為30元/件，設該商品的售價為y(單位：元/件)，每天的銷售量為p(單位：件)，每天的銷售利潤為w(單位：元).

　　時間x(天) 1 30 60 90

　　每天銷售量p(件) 198 140 80 20

　　(1)求出w與x的函數關系式;

　　(2)問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;

　　(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結果.

　　24.愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關系查閱資料時，發現了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是△ABC的中線，AN⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設BC=a，AC=b，AB=c.

　　【特例探究】

　　(1)如圖1，當tan∠PAB=1，c=4 時，a=　　　　　　，b=　　　　　　;

　　如圖2，當∠PAB=30°，c=2時，a=　　　　　　，b=　　　　　　;

　　【歸納證明】

　　(2)請你觀察(1)中的計算結果，猜想a2、b2、c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結論.

　　【拓展證明】

　　(3)如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點G，AD=3 ，AB=3，求AF的長.

　　25.已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0)，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經過點A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個交點為D.

　　(1)若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數解析式;

　　(2)若在第三象限內的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標;

　　(3)在(1)的條件下，設點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接BE.一動點Q從點B出發，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少?

　　參考答案與試題解析

　　一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的)

　　1.﹣ 的相反數是(　　)

　　A.﹣ B. C. D.﹣

　　【考點】實數的性質.

　　【分析】利用相反數的定義計算即可得到結果.

　　【解答】解：﹣ 的相反數是，

　　故選C

　　2.隨著我國經濟快速發展，轎車進入百姓家庭，小明同學在街頭觀察出下列四種汽車標志，其中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.

　　【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

　　【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形;

　　B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形;

　　C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形;

　　D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.

　　故選C.

　　3.下列運算正確的是(　　)

　　A.a2a3=a6B.a5÷a2=a3C.(﹣3a)3=﹣9a3D.2x2+3x2=5x4

　　【考點】同底數冪的除法;合并同類項;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.

　　【分析】直接根據同底數冪的乘除法以及冪的乘方運算法則計算出各選項結果，進而作出判斷.

　　【解答】解：A、a2a3=a5，此選項錯誤;

　　B、a5÷a2=a3，此選項正確;

　　C、(﹣3a)3=﹣27a3，此選項錯誤;

　　D、2x2+3x2=5x2，此選項錯誤;

　　故選B.

　　4.如圖，直線a∥b，直線c分別與a、b相交于A、B兩點，AC⊥AB于點A，交直線b于點C.已知∠1=42°，則∠2的度數是(　　)

　　A.38° B.42° C.48° D.58°

　　【考點】平行線的性質.

　　【分析】先根據平行線的性質求出∠ACB的度數，再根據垂直的定義和余角的性質求出∠2的度數.

　　【解答】解：∵直線a∥b，

　　∴∠1=∠BCA，

　　∵∠1=42°，

　　∴∠BCA=42°，

　　∵AC⊥AB，

　　∴∠2+∠BCA=90°，

　　∴∠2=48°，

　　故選C.

　　5.不等式組的解集表示在數軸上，正確的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考點】解一元一次不等式組;在數軸上表示不等式的解集.

　　【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：大小小大中間找確定不等式組的解集，再根據“大于向右，小于向左，包括端點用實心，不包括端點用空心”的原則分析選項可得答案.

　　【解答】解：解不等式 x﹣1≤7﹣ x，得：x≤4，

　　解不等式5x﹣2>3(x+1)，得：x> ，

　　∴不等式組的解集為：

　　故選：A.

　　A.5，5， B.5，5，10 C.6，5.5， D.5，5，

　　【考點】方差;中位數;眾數.

　　【分析】根據平均數，可得x的值，根據眾數的定義、中位數的定義、方差的定義，可得答案.

　　【解答】解：由5，7，x，3，4，6.已知他們平均每人捐5本，得

　　x=5.

　　眾數是5，中位數是5，

　　方差 = ，

　　故選：D.

　　7.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是(　　)

　　A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：25

　　【考點】相似三角形的判定與性質.

　　【分析】根據相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根據相似三角形的性質定理得到 = ， = = ，結合圖形得到 = ，得到答案.

　　【解答】解：∵DE∥AC，

　　∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，

　　∴ = ，

　　∵DE∥AC，

　　∴ = = ，

　　∴ = ，

　　∴S△BDE與S△CDE的比是1：4，

　　故選：B.

　　A.20(1+2x)=28.8 B.28.8(1+x)2=20

　　C.20(1+x)2=28.8 D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8

　　【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

　　【分析】設這兩年觀賞人數年均增長率為x，根據“2014年約為20萬人次，2016年約為28.8萬人次”，可得出方程.

　　【解答】解：設觀賞人數年均增長率為x，那么依題意得20(1+x)2=28.8，

　　故選C.

　　9.如圖是某工件的三視圖，則此工件的表面積為(　　)

　　A.15πcm2B.51πcm2C.66πcm2D.24πcm2

　　【考點】由三視圖判斷幾何體.

　　【分析】根據三視圖，可得幾何體是圓錐，根據勾股定理，可得圓錐的母線長，根據扇形的面積公式，可得圓錐的側面積，根據圓的面積公式，可得圓錐的底面積，可得答案.

　　【解答】解：由三視圖，得

　　，

　　OB=3cm，0A=4cm，

　　由勾股定理，得AB= =5cm，

　　圓錐的側面積 ×6π×5=15πcm2，

　　圓錐的底面積π×( )2=9πcm，

　　圓錐的表面積15π+9π=24π(cm2)，

　　故選：D.

　　A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

　　【考點】二次函數圖象與系數的關系.

　　【分析】(1)正確.根據對稱軸公式計算即可.

　　(2)錯誤，利用x=﹣3時，y<0，即可判斷.

　　(3)正確.由圖象可知拋物線經過(﹣1，0)和(5，0)，列出方程組求出a、b即可判斷.

　　(4)錯誤.利用函數圖象即可判斷.

　　(5)正確.利用二次函數與二次不等式關系即可解決問題.

　　【解答】解：(1)正確.∵﹣ =2，

　　∴4a+b=0.故正確.

　　(2)錯誤.∵x=﹣3時，y<0，

　　∴9a﹣3b+c<0，

　　∴9a+c<3b，故(2)錯誤.

　　(3)正確.由圖象可知拋物線經過(﹣1，0)和(5，0)，

　　∴ 解得，

　　∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，

　　∵a<0，

　　∴8a+7b=2c>0，故(3)正確.

　　(4)錯誤，∵點A(﹣3，y1)、點B(﹣ ，y2)、點C( ，y3)，

　　∵ ﹣2= ，2﹣(﹣ )= ，

　　∴ <

　　∴點C離對稱軸的距離近，

　　∴y3>y2，

　　∵a<0，﹣3<﹣ <2，

　　∴y1

　　(5)正確.∵a<0，

　　∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0，

　　即(x+1)(x﹣5)>0，

　　故x<﹣1或x>5，故(5)正確.

　　∴正確的有三個，

　　故選B.

　　二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

　　11.2015年“圣地車都”﹣﹣隨州改裝車的總產值為14.966億元，其中14.966億元用科學記數法表示為　1.4966×109　元.

　　【考點】科學記數法—表示較大的數.

　　【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式.其中1≤|a|<10，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>10時，n是正數;當原數的絕對值<1時，n是負數.

　　【解答】解：14.966億=1.4966×109.

　　故答案為：1.4966×109.

　　12.已知等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x2﹣8x+15=0的根，則該等腰三角形的周長為　19或21或23　.

　　【考點】解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關系;等腰三角形的性質.

　　【分析】求出方程的解，分為兩種情況，看看是否符合三角形三邊關系定理，求出即可.

　　【解答】解：由方程x2﹣8x+15=0得：(x﹣3)(x﹣5)=0，

　　∴x﹣3=0或x﹣5=0，

　　解得：x=3或x=5，

　　當等腰三角形的三邊長為9、9、3時，其周長為21;

　　當等腰三角形的三邊長為9、9、5時，其周長為23;

　　當等腰三角形的三邊長為9、3、3時，3+3<9，不符合三角形三邊關系定理，舍去;

　　當等腰三角形的三邊長為9、5、5時，其周長為19;

　　綜上，該等腰三角形的周長為19或21或23，

　　故答案為：19或21或23.

　　13.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD= BD，連接DM、DN、MN.若AB=6，則DN=　3　.

　　【考點】三角形中位線定理;直角三角形斜邊上的中線;平行四邊形的判定與性質.

　　【分析】連接CM，根據三角形中位線定理得到NM= CB，MN∥BC，證明四邊形DCMN是平行四邊形，得到DN=CM，根據直角三角形的性質得到CM= AB=3，等量代換即可.

　　【解答】解：連接CM，

　　∵M、N分別是AB、AC的中點，

　　∴NM= CB，MN∥BC，又CD= BD，

　　∴MN=CD，又MN∥BC，

　　∴四邊形DCMN是平行四邊形，

　　∴DN=CM，

　　∵∠ACB=90°，M是AB的中點，

　　∴CM= AB=3，

　　∴DN=3，

　　故答案為：3.

　　14.如圖，直線y=x+4與雙曲線y= (k≠0)相交于A(﹣1，a)、B兩點，在y軸上找一點P，當PA+PB的值最小時，點P的坐標為　(0， )　.

　　【考點】反比例函數與一次函數的交點問題;軸對稱-最短路線問題.

　　【分析】根據一次函數和反比例函數的解析式求出點A、B的坐標，然后作出點A關于y軸的對稱點C，連接BC，與y軸的交點即為點P，然后求出直線BC的解析式，求出點P的坐標.

　　【解答】解：把點A坐標代入y=x+4得，

　　﹣1+4=a，

　　a=3，

　　即A(﹣1，3)，

　　把點A坐標代入雙曲線的解析式：3=﹣k，

　　解得：k=﹣3，

　　聯立兩函數解析式得：，

　　解得：，，

　　即點B坐標為：(﹣3，1)，

　　作出點A關于y軸的對稱點C，連接BC，與y軸的交點即為點P，使得PA+PB的值最小，

　　則點C坐標為：(1，3)，

　　設直線BC的解析式為：y=ax+b，

　　把B、C的坐標代入得：，

　　解得：，

　　函數解析式為：y= x+ ，

　　則與y軸的交點為：(0， ).

　　故答案為：(0， ).

　　【考點】相似三角形的判定與性質;切線的性質.

　　【分析】如圖2中，過點P作⊙O的切線PT，切點是T，根據PT2=PAPB=PCPD，求出PD即可解決問題.

　　【解答】解：如圖2中，過點P作⊙O的切線PT，切點是T.

　　∵PT2=PAPB=PCPD，

　　∵PA=2，PB=7，PC=3，

　　∴2×7=3×PD，

　　∴PD=

　　∴CD=PD﹣PC= ﹣3= .

　　16.如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ(0°<θ<90°)，PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論中正確的是　(1)，(2)，(3)，(5)　.

　　(1)EF= OE;(2)S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4;(3)BE+BF= OA;(4)在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ;(5)OGBD=AE2+CF2.

　　【考點】四邊形綜合題.

　　【分析】(1)由四邊形ABCD是正方形，直角∠MPN，易證得△BOE≌△COF(ASA)，則可證得結論;

　　(2)由(1)易證得S四邊形OEBF=S△BOC= S正方形ABCD，則可證得結論;

　　(3)由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性質，證得BE+BF= OA;

　　(4)首先設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數的最值問題，求得答案;

　　(5)易證得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得OGOB=OE2，再利用OB與BD的關系，OE與EF的關系，即可證得結論.

　　【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

　　∴∠BOF+∠COF=90°，

　　∵∠EOF=90°，

　　∴∠BOF+∠COE=90°，

　　∴∠BOE=∠COF，

　　在△BOE和△COF中，

　　，

　　∴△BOE≌△COF(ASA)，

　　∴OE=OF，BE=CF，

　　∴EF= OE;故正確;

　　(2)∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= S正方形ABCD，

　　∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4;故正確;

　　(3)∴BE+BF=BF+CF=BC= OA;故正確;

　　(4)過點O作OH⊥BC，

　　∵BC=1，

　　∴OH= BC= ，

　　設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，

　　∴S△BEF+S△COF= BEBF+ CFOH= x(1﹣x)+ (1﹣x)× =﹣ (x﹣ )2+ ，

　　∵a=﹣<0，

　　∴當x= 時，S△BEF+S△COF最大;

　　即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ;故錯誤;

　　(5)∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，

　　∴△OEG∽△OBE，

　　∴OE：OB=OG：OE，

　　∴OGOB=OE2，

　　∵OB= BD，OE= EF，

　　∴OGBD=EF2，

　　∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，

　　∴EF2=AE2+CF2，

　　∴OGBD=AE2+CF2.故正確.

　　故答案為：(1)，(2)，(3)，(5).

　　三、解答題(本題共9小題，共72分，解答應寫出必要演算步驟，文字說明或證明過程)

　　17.計算：﹣|﹣1|+ cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0.

　　【考點】實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.

　　【分析】本題涉及絕對值、二次根式化簡、特殊角的三角函數值、負指數冪、零指數冪5個考點.在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果.

　　【解答】解：原式=﹣1+2 × ﹣4+1

　　=﹣1+3﹣4+1

　　=﹣1.

　　18.先化簡，再求值：( ﹣x+1)÷ ，其中x= ﹣2.

　　【考點】分式的化簡求值.

　　【分析】首先將括號里面的通分相減，然后將除法轉化為乘法，化簡后代入x的值即可求解.

　　【解答】解：原式=[ ﹣ ]

　　= ，

　　當x= ﹣2時，

　　原式= = =2 .

　　【考點】分式方程的應用.

　　【分析】求速度，路程已知，根據時間來列等量關系.關鍵描述語為：“一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車沿相同路線出發，結果他們同時到達”，根據等量關系列出方程.

　　【解答】解：設騎車學生的速度為x千米/小時，汽車的速度為2x千米/小時，

　　可得：，

　　解得：x=15，

　　經檢驗x=15是原方程的解，

　　2x=2×15=30，

　　答：騎車學生的速度和汽車的速度分別是每小時15km，30km.

　　獲獎等次頻數頻率

　　一等獎 10 0.05

　　二等獎 20 0.10

　　三等獎 30 b

　　優勝獎 a 0.30

　　鼓勵獎 80 0.40

　　請根據所給信息，解答下列問題：

　　(1)a=　60　，b=　0.15　，且補全頻數分布直方圖;

　　(2)若用扇形統計圖來描述獲獎分布情況，問獲得優勝獎對應的扇形圓心角的度數是多少?

　　【考點】列表法與樹狀圖法;頻數(率)分布表;頻數(率)分布直方圖;扇形統計圖.

　　【分析】(1)根據公式頻率=頻數÷樣本總數，求得樣本總數，再根據公式得出a，b的值即可;

　　(2)根據公式優勝獎對應的扇形圓心角的度數=優勝獎的頻率×360°計算即可;

　　(3)畫樹狀圖或列表將所有等可能的結果列舉出來，利用概率公式求解即可.

　　【解答】解：(1)樣本總數為10÷0.05=200人，

　　a=200﹣10﹣20﹣30﹣80=60人，

　　b=30÷200=0.15，

　　故答案為200，0.15;

　　(2)優勝獎所在扇形的圓心角為0.30×360°=108°;

　　(2)列表：甲乙丙丁分別用ABCD表示，

　　A B C D

　　A AB AC AD

　　B BA BC BD

　　C CA CB CD

　　D DA DB DC

　　∵共有12種等可能的結果，恰好選中A、B的有2種，

　　畫樹狀圖如下：

　　∴P(選中A、B)= = .

　　【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

　　【分析】構造直角三角形，利用銳角三角函數，進行簡單計算即可.

　　【解答】解：如圖，

　　過點E作EF⊥AC，EG⊥CD，

　　在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，

　　∴EG=DEsin∠D=1620× =810，

　　∵BC=857.5，CF=EG，

　　∴BF=BC﹣CF=47.5，

　　在Rt△BEF中，tan∠BEF= ，

　　∴EF= BF，

　　在Rt△AEF中，∠AEF=60°，設AB=x，

　　∵tan∠AEF= ，

　　∴AF=EF×tan∠AEF，

　　∴x+47.5=3×47.5，

　　∴x=95，

　　答：雕像AB的高度為95尺.

　　22.如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD，且DE=DB.

　　(1)判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由;

　　(2)若CD=15，BE=10，tanA= ，求⊙O的直徑.

　　【考點】直線與圓的位置關系;垂徑定理;相似三角形的判定與性質.

　　【分析】(1)連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBD=90°，即可證明BD是⊙O的切線;

　　(2)過點D作DG⊥BE于G，根據等腰三角形的性質得到EG= BE=5，由兩角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形對應角相等得到sin∠EDG=sinA= ，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的長，根據三角形相似得到比例式，代入數據即可得到結果.

　　【解答】(1)證明：連接OB，

　　∵OB=OA，DE=DB，

　　∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，

　　又∵CD⊥OA，

　　∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，

　　∴∠OBA+∠ABD=90°，

　　∴OB⊥BD，

　　∴BD是⊙O的切線;

　　(2)如圖，過點D作DG⊥BE于G，

　　∵DE=DB，

　　∴EG= BE=5，

　　∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，

　　∴∠GDE=∠A，

　　∴△ACE∽△DGE，

　　∴sin∠EDG=sinA= = ，即CE=13，

　　在Rt△ECG中，

　　∵DG= =12，

　　∵CD=15，DE=13，

　　∴DE=2，

　　∵△ACE∽△DGE，

　　∴ = ，

　　∴AC= DG= ，

　　∴⊙O的直徑2OA=4AD= .

　　時間x(天) 1 30 60 90

　　每天銷售量p(件) 198 140 80 20

　　(1)求出w與x的函數關系式;

　　(2)問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;

　　(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結果.

　　【考點】二次函數的應用;一元一次不等式的應用.

　　【分析】(1)當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b，由點的坐標利用待定系數法即可求出此時y關于x的函數關系式，根據圖形可得出當50

　　(2)根據w關于x的函數關系式，分段考慮其最值問題.當0≤x≤50時，結合二次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值;當50

　　(3)令w≥5600，可得出關于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結論.

　　【解答】解：(1)當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b(k、b為常數且k≠0)，

　　∵y=kx+b經過點(0，40)、(50，90)，

　　∴ ，解得：，

　　∴售價y與時間x的函數關系式為y=x+40;

　　當50

　　∴售價y與時間x的函數關系式為y= .

　　由書記可知每天的銷售量p與時間x成一次函數關系，

　　設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n(m、n為常數，且m≠0)，

　　∵p=mx+n過點(60，80)、(30，140)，

　　∴ ，解得：，

　　∴p=﹣2x+200(0≤x≤90，且x為整數)，

　　當0≤x≤50時，w=(y﹣30)p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;

　　當50

　　綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數關系式是w= .

　　(2)當0≤x≤50時，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050，

　　∵a=﹣2<0且0≤x≤50，

　　∴當x=45時，w取最大值，最大值為6050元.

　　當50

　　∵k=﹣120<0，w隨x增大而減小，

　　∴當x=50時，w取最大值，最大值為6000元.

　　∵6050>6000，

　　∴當x=45時，w最大，最大值為6050元.

　　即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元.

　　(3)當0≤x≤50時，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，

　　解得：30≤x≤50，

　　50﹣30+1=21(天);

　　當50

　　解得：50

　　∵x為整數，

　　∴50

　　53﹣50=3(天).

　　綜上可知：21+3=24(天)，

　　故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元.

　　【特例探究】

　　(1)如圖1，當tan∠PAB=1，c=4 時，a=　4 　，b=　4 　;

　　如圖2，當∠PAB=30°，c=2時，a=　　，b=　　;

　　【歸納證明】

　　(2)請你觀察(1)中的計算結果，猜想a2、b2、c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結論.

　　【拓展證明】

　　(3)如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點G，AD=3 ，AB=3，求AF的長.

　　【考點】四邊形綜合題.

　　【分析】(1)①首先證明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題.

　　②連接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性質求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題.

　　(2)結論a2+b2=5c2.設MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題.

　　(3)取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，首先證明△ABF是中垂三角形，利用(2)中結論列出方程即可解決問題.

　　【解答】(1)解：如圖1中，∵CE=AE，CF=BF，

　　∴EF∥AB，EF= AB=2 ，

　　∵tan∠PAB=1，

　　∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，

　　∴PF=PE=2，PB=PA=4，

　　∴AE=BF= =2 .

　　∴b=AC=2AE=4 ，a=BC=4 .

　　故答案為4 ，4 .

　　如圖2中，連接EF，

　　，∵CE=AE，CF=BF，

　　∴EF∥AB，EF= AB=1，

　　∵∠PAB=30°，

　　∴PB=1，PA= ，

　　在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，

　　∴PE= ，PF= ，

　　∴AE= = ，BF= = ，

　　∴a=BC=2BF= ，b=AC=2AE= ，

　　故答案分別為， .

　　(2)結論a2+b2=5c2.

　　證明：如圖3中，連接EF.

　　∵AF、BE是中線，

　　∴EF∥AB，EF= AB，

　　∴△FPE∽△APB，

　　∴ = = ，

　　設FP=x，EP=y，則AP=2x，BP=2y，

　　∴a2=BC2=4BF2=4(FP2+BP2)=4x2+16y2，

　　b2=AC2=4AE2=4(PE2+AP2)=4y2+16x2，

　　c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，

　　∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.

　　(3)解：如圖4中，在△AGE和△FGB中，

　　，

　　∴△AGE≌△FGB，

　　∴BG=FG，取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，

　　同理可證△APH≌△BFH，

　　∴AP=BF，PE=CF=2BF，

　　即PE∥CF，PE=CF，

　　∴四邊形CEPF是平行四邊形，

　　∴FP∥CE，

　　∵BE⊥CE，

　　∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

　　∴△ABF是中垂三角形，

　　由(2)可知AB2+AF2=5BF2，

　　∵AB=3，BF= AD= ，

　　∴9+AF2=5×( )2，

　　∴AF=4.

　　25.已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0)，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經過點A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個交點為D.

　　(1)若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數解析式;

　　(2)若在第三象限內的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標;

　　【考點】二次函數綜合題.

　　【分析】(1)根據二次函數的交點式確定點A、B的坐標，求出直線的解析式，求出點D的坐標，求出拋物線的解析式;

　　(2)作PH⊥x軸于H，設點P的坐標為(m，n)，分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根據相似三角形的性質計算即可;

　　(3)作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據正切的定義求出Q的運動時間t=BE+EF時，t最小即可.

　　【解答】解：(1)∵y=a(x+3)(x﹣1)，

　　∴點A的坐標為(﹣3，0)、點B兩的坐標為(1，0)，

　　∵直線y=﹣ x+b經過點A，

　　∴b=﹣3 ，

　　∴y=﹣ x﹣3 ，

　　當x=2時，y=﹣5 ，

　　則點D的坐標為(2，﹣5 )，

　　∵點D在拋物線上，

　　∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5 ，

　　解得，a=﹣ ，

　　則拋物線的解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3 ;

　　(2)作PH⊥x軸于H，

　　設點P的坐標為(m，n)，

　　當△BPA∽△ABC時，∠BAC=∠PBA，

　　∴tan∠BAC=tan∠PBA，即 = ，

　　∴ = ，即n=﹣a(m﹣1)，

　　∴ ，

　　解得，m1=﹣4，m2=1(不合題意，舍去)，

　　當m=﹣4時，n=5a，

　　∵△BPA∽△ABC，

　　∴ = ，即AB2=ACPB，

　　∴42= ，

　　解得，a1= (不合題意，舍去)，a2=﹣ ，

　　則n=5a=﹣ ，

　　∴點P的坐標為(﹣4，﹣ );

　　當△PBA∽△ABC時，∠CBA=∠PBA，

　　∴tan∠CBA=tan∠PBA，即 = ，

　　∴ = ，即n=﹣3a(m﹣1)，

　　∴ ，

　　解得，m1=﹣6，m2=1(不合題意，舍去)，

　　當m=﹣6時，n=21a，

　　∵△PBA∽△ABC，

　　∴ = ，即AB2=BCPB，

　　∴42= ，

　　解得，a1= (不合題意，舍去)，a2=﹣ ，

　　則點P的坐標為(﹣6，﹣ )，

　　綜上所述，符合條件的點P的坐標為(﹣4，﹣ )和(﹣6，﹣ );

　　(3)作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，

　　則tan∠DAN= = = ，

　　∴∠DAN=60°，

　　∴∠EDF=60°，

　　∴DE= = EF，

　　∴Q的運動時間t= + =BE+EF，

　　∴當BE和EF共線時，t最小，

　　則BE⊥DM，y=﹣4 .

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