2016年深圳市中考數學試題及答案

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2016年深圳市中考數學試題及答案

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2016年深圳市中考數學試題及答案

　　一、單項選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分

　　1.下列四個數中，最小的正數是(　　)

　　A.﹣1 B.0 C.1 D.2

　　2.把下列圖標折成一個正方體的盒子，折好后與“中”相對的字是(　　)

　　A.祝 B.你 C.順 D.利

　　3.下列運算正確的是(　　)

　　A.8a﹣a=8 B.(﹣a)4=a4C.a3•a2=a6D.(a﹣b)2=a2﹣b2

　　4.下列圖形中，是軸對稱圖形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　5.據統計，從2005年到2015年中國累積節能1570000000噸標準煤，1570000000這個數用科學記數法表示為(　　)

　　A.0.157×1010B.1.57×108C.1.57×109D.15.7×108

　　6.如圖，已知a∥b，直角三角板的直角頂角在直線b上，若∠1=60°，則下列結論錯誤的是(　　)

　　A.∠2=60° B.∠3=60° C.∠4=120° D.∠5=40°

　　7.數學老師將全班分成7個小組開展小組合作學習，采用隨機抽簽確定一個小組進行展示活動，則第3個小組被抽到的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　8.下列命題正確的是(　　)

　　A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

　　B.兩邊及其一角相等的兩個三角形全等

　　C.16的平方根是4

　　D.一組數據2，0，1，6，6的中位數和眾數分別是2和6

　　9.施工隊要鋪設一段全長2000米的管道，因在中考期間需停工兩天，實際每天施工需比原計劃多50米，才能按時完成任務，求原計劃每天施工多少米.設原計劃每天施工x米，則根據題意所列方程正確的是(　　)

　　A. ﹣ =2 B. ﹣ =2

　　C. ﹣ =2 D. ﹣ =2

　　10.給出一種運算：對于函數y=xn，規定y′=nxn﹣1.例如：若函數y=x4，則有y′=4x3.已知函數y=x3，則方程y′=12的解是(　　)

　　A.x1=4，x2=﹣4 B.x1=2，x2=﹣2 C.x1=x2=0 D.x1=2 ，x2=﹣2

　　11.如圖，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的頂點C是的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當正方形CDEF的邊長為2 時，則陰影部分的面積為(　　)

　　A.2π﹣4 B.4π﹣8 C.2π﹣8 D.4π﹣4

　　12.如圖，CB=CA，∠ACB=90°，點D在邊BC上(與B、C不重合)，四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結論：

　　①AC=FG;②S△FAB：S四邊形CEFG=1：2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ•AC，

　　其中正確的結論的個數是(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分

　　13.分解因式：a2b+2ab2+b3=　　　　　　.

　　14.已知一組數據x1，x2，x3，x4的平均數是5，則數據x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均數是　　　　　　.

　　15.如圖，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以點B的圓心，以任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于點P、Q，再分別以P、Q為圓心，以大于 PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內交于點M，連接BM并延長交AD于點E，則DE的長為　　　　　　.

　　16.如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，OA=2，AB=6，點C在x軸的負半軸上，將▱ABCO繞點A逆時針旋轉得到▱ADEF，AD經過點O，點F恰好落在x軸的正半軸上，若點D在反比例函數y= (x<0)的圖象上，則k的值為　　　　　　.

　　三、解答題：本大題共7小題，其中17題5分，18題6分，19題7分，20題8分，共52分

　　17.計算：|﹣2|﹣2cos60°+( )﹣1﹣(π﹣ )0.

　　18.解不等式組： .

　　19.深圳市政府計劃投資1.4萬億元實施東進戰略.為了解深圳市民對東進戰略的關注情況.某校數學興趣小組隨機采訪部分深圳市民，對采訪情況制作了統計圖表的一部分如下：

　　關注情況頻數頻率

　　A.高度關注 M 0.1

　　B.一般關注 100 0.5

　　C.不關注 30 N

　　D.不知道 50 0.25

　　(1)根據上述統計圖可得此次采訪的人數為　　　　　　人，m=　　　　　　，n=　　　　　　;

　　(2)根據以上信息補全條形統計圖;

　　(3)根據上述采訪結果，請估計在15000名深圳市民中，高度關注東進戰略的深圳市民約有　　　　　　人.

　　20.某興趣小組借助無人飛機航拍校園.如圖，無人飛機從A處水平飛行至B處需8秒，在地面C處同一方向上分別測得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°.已知無人飛機的飛行速度為4米/秒，求這架無人飛機的飛行高度.(結果保留根號)

　　21.荔枝是深圳的特色水果，小明的媽媽先購買了2千克桂味和3千克糯米糍，共花費90元;后又購買了1千克桂味和2千克糯米糍，共花費55元.(每次兩種荔枝的售價都不變)

　　(1)求桂味和糯米糍的售價分別是每千克多少元;

　　(2)如果還需購買兩種荔枝共12千克，要求糯米糍的數量不少于桂味數量的2倍，請設計一種購買方案，使所需總費用最低.

　　22.如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦.AB與CD交于點M，將沿CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，連接PC

　　(1)求CD的長;

　　(2)求證：PC是⊙O的切線;

　　(3)點G為的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E.交于點F(F與B、C不重合).問GE•GF是否為定值?如果是，求出該定值;如果不是，請說明理由.

　　23.如圖，拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點，且B(1，0)

　　(1)求拋物線的解析式和點A的坐標;

　　(2)如圖1，點P是直線y=x上的動點，當直線y=x平分∠APB時，求點P的坐標;

　　(3)如圖2，已知直線y= x﹣ 分別與x軸、y軸交于C、F兩點，點Q是直線CF下方的拋物線上的一個動點，過點Q作y軸的平行線，交直線CF于點D，點E在線段CD的延長線上，連接QE.問：以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值?若存在，請求出這個最大值;若不存在，請說明理由.

　　參考答案與試題解析

　　一、單項選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分

　　1.下列四個數中，最小的正數是(　　)

　　A.﹣1 B.0 C.1 D.2

　　【分析】先找到正數，再比較正數的大小即可得出答案.

　　【解答】解：正數有1，2，

　　∵1<2，

　　∴最小的正數是1.

　　故選：C.

　　【點評】本題實質考查有理數大小的比較，較為簡單，學生在做此題時，應看清題意和選項.

　　2.把下列圖標折成一個正方體的盒子，折好后與“中”相對的字是(　　)

　　A.祝 B.你 C.順 D.利

　　【分析】利用正方體及其表面展開圖的特點解題.

　　【解答】解：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“祝”與面“利”相對，面“你”與面“考”相對，面“中”與面“順”相對.

　　故選C.

　　【點評】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題.

　　3.下列運算正確的是(　　)

　　A.8a﹣a=8 B.(﹣a)4=a4C.a3•a2=a6D.(a﹣b)2=a2﹣b2

　　【分析】分別利用冪的乘方運算法則以及合并同類項法則以及完全平方公式、同底數冪的乘法運算法則分別化簡求出答案.

　　【解答】解：A、8a﹣a=7a，故此選項錯誤;

　　B、(﹣a)4=a4，正確;

　　C、a3•a2=a5，故此選項錯誤;

　　D、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2，故此選項錯誤;

　　故選：B.

　　【點評】此題主要考查了冪的乘方運算以及合并同類項以及完全平方公式、同底數冪的乘法運算等知識，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

　　4.下列圖形中，是軸對稱圖形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】根據軸對稱圖形的概念求解.

　　【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤;

　　B、是軸對稱圖形，故本選項正確;

　　C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤;

　　D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

　　故選B.

　　【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

　　5.據統計，從2005年到2015年中國累積節能1570000000噸標準煤，1570000000這個數用科學記數法表示為(　　)

　　A.0.157×1010B.1.57×108C.1.57×109D.15.7×108

　　【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值大于10時，n是正數;當原數的絕對值小于1時，n是負數.

　　【解答】解：1570000000這個數用科學記數法表示為1.57×109，

　　故選：C.

　　【點評】此題考查了科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

　　6.如圖，已知a∥b，直角三角板的直角頂角在直線b上，若∠1=60°，則下列結論錯誤的是(　　)

　　A.∠2=60° B.∠3=60° C.∠4=120° D.∠5=40°

　　【分析】根據平行線的性質：兩直線平行，同位角相等，以及對頂角相等等知識分別求出∠2，∠3，∠4，∠5的度數，然后選出錯誤的選項.

　　【解答】解：∵a∥b，∠1=60°，

　　∴∠3=∠1=60°，∠2=∠1=60°，

　　∠4=180°﹣∠3=180°﹣60°=120°，

　　∵三角板為直角三角板，

　　∴∠5=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°.

　　故選D.

　　【點評】本題考查了平行線的性質，解答本題的關鍵上掌握平行線的性質：兩直線平行，同位角相等.

　　7.數學老師將全班分成7個小組開展小組合作學習，采用隨機抽簽確定一個小組進行展示活動，則第3個小組被抽到的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】根據概率是所求情況數與總情況數之比，可得答案.

　　【解答】解：第3個小組被抽到的概率是，

　　故選：A.

　　【點評】本題考查了概率的知識.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

　　8.下列命題正確的是(　　)

　　A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

　　B.兩邊及其一角相等的兩個三角形全等

　　C.16的平方根是4

　　D.一組數據2，0，1，6，6的中位數和眾數分別是2和6

　　【分析】根據平行四邊形的判定定理、三角形全等的判定定理、平方根的概念、中位數和眾數的概念進行判斷即可.

　　【解答】解：A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故錯誤;

　　B.兩邊及其一角相等的兩個三角形不一定全等，故錯誤;

　　C.16的平方根是±4，故錯誤，

　　D.一組數據2，0，1，6，6的中位數和眾數分別是2和6，故正確，

　　故選：D.

　　【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

　　A. ﹣ =2 B. ﹣ =2

　　C. ﹣ =2 D. ﹣ =2

　　【分析】設原計劃每天鋪設x米，則實際施工時每天鋪設(x+50)米，根據：原計劃所用時間﹣實際所用時間=2，列出方程即可.

　　【解答】解：設原計劃每天施工x米，則實際每天施工(x+50)米，

　　根據題意，可列方程： ﹣ =2，

　　故選：A.

　　【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是讀懂題意，找出合適的等量關系，列出方程.

　　10.給出一種運算：對于函數y=xn，規定y′=nxn﹣1.例如：若函數y=x4，則有y′=4x3.已知函數y=x3，則方程y′=12的解是(　　)

　　A.x1=4，x2=﹣4 B.x1=2，x2=﹣2 C.x1=x2=0 D.x1=2 ，x2=﹣2

　　【分析】首先根據新定義求出函數y=x3中的n，再與方程y′=12組成方程組得出：3x2=12，用直接開平方法解方程即可.

　　【解答】解：由函數y=x3得n=3，則y′=3x2，

　　∴3x2=12，

　　x2=4，

　　x=±2，

　　x1=2，x2=﹣2，

　　故選B.

　　【點評】本題考查了利用直接開平方法解一元二次方程，同時還以新定義的形式考查了學生的閱讀理解能力;注意：①二次項系數要化為1，②根據平方根的意義開平方時，是兩個解，且是互為相反數，不要丟解.

　　11.如圖，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的頂點C是的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當正方形CDEF的邊長為2 時，則陰影部分的面積為(　　)

　　A.2π﹣4 B.4π﹣8 C.2π﹣8 D.4π﹣4

　　【分析】連結OC，根據勾股定理可求OC的長，根據題意可得出陰影部分的面積=扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積，依此列式計算即可求解.

　　【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的頂點C是的中點，

　　∴∠COD=45°，

　　∴OC= =4，

　　∴陰影部分的面積=扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積

　　= ×π×42﹣ ×(2 )2

　　=2π﹣4.

　　故選：A.

　　【點評】考查了正方形的性質和扇形面積的計算，解題的關鍵是得到扇形半徑的長度.

　　12.如圖，CB=CA，∠ACB=90°，點D在邊BC上(與B、C不重合)，四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結論：

　　①AC=FG;②S△FAB：S四邊形CEFG=1：2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ•AC，

　　其中正確的結論的個數是(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【分析】由正方形的性質得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，證出∠CAD=∠AFG，由AAS證明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正確;

　　證明四邊形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四邊形CEFG，②正確;

　　由等腰直角三角形的性質和矩形的性質得出∠ABC=∠ABF=45°，③正確;

　　證出△ACD∽△FEQ，得出對應邊成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正確.

　　【解答】解：∵四邊形ADEF為正方形，

　　∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，

　　∴∠CAD+∠FAG=90°，

　　∵FG⊥CA，

　　∴∠C=90°=∠ACB，

　　∴∠CAD=∠AFG，

　　在△FGA和△ACD中，，

　　∴△FGA≌△ACD(AAS)，

　　∴AC=FG，①正確;

　　∵BC=AC，

　　∴FG=BC，

　　∵∠ACB=90°，FG⊥CA，

　　∴FG∥BC，

　　∴四邊形CBFG是矩形，

　　∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四邊形CEFG，②正確;

　　∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，

　　∴∠ABC=∠ABF=45°，③正確;

　　∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，

　　∴△ACD∽△FEQ，

　　∴AC：AD=FE：FQ，

　　∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正確;

　　故選：D.

　　【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質、矩形的判定與性質、等腰直角三角形的性質;熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵.

　　二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分

　　13.分解因式：a2b+2ab2+b3=　b(a+b)2　.

　　【分析】先提取公因式，再利用公式法把原式進行因式分解即可.

　　【解答】解：原式=b(a+b)2.

　　故答案為：b(a+b)2.

　　【點評】本題考查的是提公因式法與公式法的綜合運用，熟記完全平方公式是解答此題的關鍵.

　　14.已知一組數據x1，x2，x3，x4的平均數是5，則數據x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均數是　8　.

　　【分析】根據平均數的性質知，要求x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均數，只要把數x1，x2，x3，x4的和表示出即可.

　　【解答】解：∵x1，x2，x3，x4的平均數為5

　　∴x1+x2+x3+x4=4×5=20，

　　∴x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均數為：

　　=(x1+3+x2+3+x3+3+x4+3)÷4

　　=(20+12)÷4

　　=8，

　　故答案為：8.

　　【點評】本題考查的是算術平均數的求法.解決本題的關鍵是用一組數據的平均數表示另一組數據的平均數.

　　15.如圖，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以點B的圓心，以任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于點P、Q，再分別以P、Q為圓心，以大于 PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內交于點M，連接BM并延長交AD于點E，則DE的長為　2　.

　　【分析】根據作圖過程可得得AE平分∠ABC;再根據角平分線的性質和平行四邊形的性質可證明∠AEB=∠CBE，證出AE=AB=3，即可得出DE的長.，

　　【解答】解：根據作圖的方法得：AE平分∠ABC，

　　∴∠ABE=∠CBE

　　∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴AD∥BC，AD=BC=5，

　　∴∠AEB=∠CBE，

　　∴∠ABE=∠AEB，

　　∴AE=AB=3，

　　∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2;

　　故答案為：2.

　　【點評】此題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定.熟練掌握平行四邊形的性質，證出AE=AB是解決問題的關鍵.

　　16.如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，OA=2，AB=6，點C在x軸的負半軸上，將▱ABCO繞點A逆時針旋轉得到▱ADEF，AD經過點O，點F恰好落在x軸的正半軸上，若點D在反比例函數y= (x<0)的圖象上，則k的值為　4 　.

　　【分析】根據旋轉的性質以及平行四邊形的性質得出∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，進而求出D點坐標，進而得出k的值.

　　【解答】解：如圖所示：過點D作DM⊥x軸于點M，

　　由題意可得：∠BAO=∠OAF，AO=AF，AB∥OC，

　　則∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，

　　故∠AOF=60°=∠DOM，

　　∵OD=AD﹣OA=AB﹣OA=6﹣2=4，

　　∴MO=2，MD=2 ，

　　∴D(﹣2，﹣2 )，

　　∴k=﹣2×(﹣2 )=4 .

　　故答案為：4 .

　　【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征，正確得出D點坐標是解題關鍵.

　　三、解答題：本大題共7小題，其中17題5分，18題6分，19題7分，20題8分，共52分

　　17.計算：|﹣2|﹣2cos60°+( )﹣1﹣(π﹣ )0.

　　【分析】直接利用絕對值的性質以及特殊角的三角函數值和負整數指數冪的性質、零指數冪的性質分別化簡求出答案.

　　【解答】解：|﹣2|﹣2cos60°+( )﹣1﹣(π﹣ )0

　　=2﹣2× +6﹣1

　　=6.

　　【點評】此題主要考查了絕對值的性質以及特殊角的三角函數值和負整數指數冪的性質、零指數冪的性質等知識，正確化簡各數是解題關鍵.

　　18.解不等式組： .

　　【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.

　　【解答】解：，

　　解①得x<2，

　　解②得x≥﹣1，

　　則不等式組的解集是﹣1≤x<2.

　　【點評】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解集的規律：同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到.

　　關注情況xk|b|1 頻數頻率

　　A.高度關注 M 0.1

　　B.一般關注 100 0.5

　　C.不關注 30 N

　　D.不知道 50 0.25

　　(1)根據上述統計圖可得此次采訪的人數為　200　人，m=　20　，n=　0.15　;

　　(2)根據以上信息補全條形統計圖;

　　(3)根據上述采訪結果，請估計在15000名深圳市民中，高度關注東進戰略的深圳市民約有　1500　人.

　　【分析】(1)根據頻數÷頻率，求得采訪的人數，根據頻率×總人數，求得m的值，根據30÷200，求得n的值;

　　(2)根據m的值為20，進行畫圖;

　　(3)根據0.1×15000進行計算即可.

　　【解答】解：(1)此次采訪的人數為100÷0.5=200(人)，m=0.1×200=20，n=30÷200=0.15;

　　(2)如圖所示;

　　(3)高度關注東進戰略的深圳市民約有0.1×15000=1500(人).

　　【點評】本題主要考查了條形統計圖以及頻數與頻率，解決問題的關鍵是掌握：頻率是指每個對象出現的次數與總次數的比值(或者百分比)，即頻率= .解題時注意，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確.

　　【分析】如圖，作AD⊥BC，BH⊥水平線，根據題意確定出∠ABC與∠ACB的度數，利用銳角三角函數定義求出AD與BD的長，由CD+BD求出BC的長，即可求出BH的長.

　　【解答】解：如圖，作AD⊥BC，BH⊥水平線，

　　由題意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，

　　∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，

　　∵AB=32m，

　　∴AD=CD=AB•sin30°=16m，BD=AB•cos30°=16 m，

　　∴BC=CD+BD=(16+16 )m，

　　則BH=BC•sin30°=(8+8 )m.

　　【點評】此題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數定義是解本題的關鍵.

　　(1)求桂味和糯米糍的售價分別是每千克多少元;

　　(2)如果還需購買兩種荔枝共12千克，要求糯米糍的數量不少于桂味數量的2倍，請設計一種購買方案，使所需總費用最低.

　　【分析】(1)設桂味的售價為每千克x元，糯米糍的售價為每千克y元;根據單價和費用關系列出方程組，解方程組即可;

　　(2)設購買桂味t千克，總費用為W元，則購買糯米糍(12﹣t)千克，根據題意得出12﹣t≥2t，得出t≤4，由題意得出W=﹣5t+240，由一次函數的性質得出W隨t的增大而減小，得出當t=4時，W的最小值=220(元)，求出12﹣4=8即可.

　　【解答】解：(1)設桂味的售價為每千克x元，糯米糍的售價為每千克y元;

　　根據題意得：，

　　解得： ;

　　答：桂味的售價為每千克15元，糯米糍的售價為每千克20元;

　　(2)設購買桂味t千克，總費用為W元，則購買糯米糍(12﹣t)千克，

　　根據題意得：12﹣t≥2t，

　　∴t≤4，

　　∵W=15t+20(12﹣t)=﹣5t+240，

　　k=﹣5<0，

　　∴W隨t的增大而減小，

　　∴當t=4時，W的最小值=220(元)，此時12﹣4=8;

　　答：購買桂味4千克，糯米糍8千克時，所需總費用最低.

　　【點評】本題考查了一次函數的應用、二元一次方程組的應用;根據題意方程方程組和得出一次函數解析式是解決問題的關鍵.

　　22.如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦.AB與CD交于點M，將沿CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，連接PC

　　(1)求CD的長;

　　(2)求證：PC是⊙O的切線;

　　(3)點G為的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E.交于點F(F與B、C不重合).問GE•GF是否為定值?如果是，求出該定值;如果不是，請說明理由.

　　【分析】(1)連接OC，根據翻折的性質求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可;

　　(2)利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根據圓的切線的定義證明即可;

　　(3)連接GA、AF、GB，根據等弧所對的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根據兩組角對應相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似，根據相似三角形對應邊成比例可得 = ，從而得到GE•GF=AG2，再根據等腰直角三角形的性質求解即可.

　　【解答】(1)解：如圖，連接OC，

　　∵ 沿CD翻折后，點A與圓心O重合，

　　∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA，

　　∵OC=2，

　　∴CD=2CM=2 =2 =2 ;

　　(2)證明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°，

　　∴PC= = =2 ，

　　∵OC=2，PO=2+2=4，

　　∴PC2+OC2=(2 )2+22=16=PO2，

　　∴∠PCO=90°，

　　∴PC是⊙O的切線;

　　(3)解：GE•GF是定值，證明如下：

　　如圖，連接GA、AF、GB，

　　∵點G為的中點，

　　∴ = ，

　　∴∠BAG=∠AFG，

　　又∵∠AGE=∠FGA，

　　∴△AGE∽△FGA，

　　∴ = ，

　　∴GE•GF=AG2，

　　∵AB為直徑，AB=4，

　　∴∠BAG=∠ABG=45°，

　　∴AG=2 ，

　　∴GE•GF=8.

　　【點評】本題是圓的綜合題型，主要利用了翻折變換的性質，垂徑定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圓的切線的定義，相似三角形的判定與性質，難點在于(3)作輔助線構造出相似三角形.

　　23.如圖，拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點，且B(1，0)

　　(1)求拋物線的解析式和點A的坐標;

　　(2)如圖1，點P是直線y=x上的動點，當直線y=x平分∠APB時，求點P的坐標;

　　【分析】(1)把B點坐標代入拋物線解析式可求得a的值，可求得拋物線解析式，再令y=0，可解得相應方程的根，可求得A點坐標;

　　(2)當點P在x軸上方時，連接AP交y軸于點B′，可證△OBP≌△OB′P，可求得B′坐標，利用待定系數法可求得直線AP的解析式，聯立直線y=x，可求得P點坐標;當點P在x軸下方時，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的內部，可知此時沒有滿足條件的點P;

　　(3)過Q作QH⊥DE于點H，由直線CF的解析式可求得點C、F的坐標，結合條件可求得tan∠QDH，可分別用DQ表示出QH和DH的長，分DQ=DE和DQ=QE兩種情況，分別用DQ的長表示出△QDE的面積，再設出點Q的坐標，利用二次函數的性質可求得△QDE的面積的最大值.

　　【解答】解：

　　(1)把B(1，0)代入y=ax2+2x﹣3，

　　可得a+2﹣3=0，解得a=1，

　　∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，

　　令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，

　　∴A點坐標為(﹣3，0);

　　(2)若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，

　　如圖1，若P點在x軸上方，PA與y軸交于點B′，

　　由于點P在直線y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，

　　在△BPO和△B′PO中

　　，

　　∴△BPO≌△B′PO(ASA)，

　　∴BO=B′O=1，

　　設直線AP解析式為y=kx+b，把A、B′兩點坐標代入可得

　　，解得，

　　∴直線AP解析式為y= x+1，

　　聯立，解得，

　　∴P點坐標為( ， );

　　若P點在x軸下方時，同理可得△BOP≌△B′OP，

　　∴∠BPO=∠B′PO，

　　又∠B′PO在∠APO的內部，

　　∴∠APO≠∠BPO，即此時沒有滿足條件的P點，

　　綜上可知P點坐標為( ， );

　　(3)如圖2，作QH⊥CF，交CF于點H，

　　∵CF為y= x﹣ ，

　　∴可求得C( ，0)，F(0，﹣ )，

　　∴tan∠OFC= = ，

　　∵DQ∥y軸，

　　∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，

　　∴tan∠HDQ= ，

　　不妨設DQ=t，DH= t，HQ= t，

　　∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，

　　∴若DQ=DE，則S△DEQ= DE•HQ= × t×t= t2，

　　若DQ=QE，則S△DEQ= DE•HQ= ×2DH•HQ= × t× t= t2，

　　∵ t2< t2，

　　∴當DQ=QE時△DEQ的面積比DQ=DE時大.

　　設Q點坐標為(x，x2+2x﹣3)，則D(x， x﹣ )，

　　∵Q點在直線CF的下方，

　　∴DQ=t= x﹣ ﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣ x+ ，

　　當x=﹣ 時，tmax=3，

　　∴(S△DEQ)max= t2= ，

　　即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為 .

　　【點評】本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、角平分線的定義、全等三角形的判定和性質、三角形的面積、等腰三角形的性質、二次函數的性質及分類討論等.在(2)中確定出直線AP的解析式是解題的關鍵，在(3)中利用DQ表示出△QDE的面積是解題的關鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量大，難度較大.

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