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房山區高二上學期理科數學期末考試題及答案
期末考試前的復習十分重要，關系到成績的高低。下面百分網小編為大家帶來一份房山區高二上學期理科數學的期末考試題，文末附有答案，有需要的同學可以看一看，更多內容歡迎關注應屆畢業生網!
本試卷共6頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回。
第一部分 (選擇題 共50分)
一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
(1)已知拋物線的方程是 ，則它的焦點坐標是
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查拋物線的定義。基礎題
(2)已知平面 的法向量為 ，平面 的法向量為 ，若 ，則
﹙A﹚ (B)
﹙C﹚ (D﹚
命題意圖：考查兩個平行平面的法向量的關系。知道空間向量平行的條件就可得出答案。基礎題
(3)圓 與圓 的位置關系是
(A)相離 (B)相交
(C)外切 (D)內切
命題意圖：考查圓的一般方程與標準方程，圓與圓的位置關系。用畫圖或者兩圓心間的距離判斷可知答案。
(4)如圖，在四面體 中，設 是 的中點，則 等于
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查空間向量的加法。熟悉三角形法則平行四邊形法則就可得出答案。
(5)“直線 與平面 無公共點”是“直線 與平面 平行”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
命題意圖：考查直線與平面平行的定義，充要條件。理解直線與平面平行的定義，理解充要條件才不會錯選。
(6)若方程 表示焦點在 軸上的橢圓，則實數 的取值范圍是
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查橢圓的定義，標準方程，性質。此題若學生沒有關注到方程非標準方程，錯誤認為 也能得出正確答案。因為此題考查的重點是焦點在 軸上的橢圓方程的特點，學生能犯這個錯誤而選A也說明他知道這個知識點。初稿的方程是 ，但擔心學生因為 的粗心處理而錯選答案，所以改簡單了。
(7)設 表示直線， 表示兩個不同的平面，下列命題中正確的是
(A)若 ， ，則 (B)若 ， ，則
(C)若 ， ，則 (D)若 ， ，則
命題意圖：考查線面位置關系的判定。此題需要排除錯誤選項，對學生空間想象能力和對相關定理的熟練程度要求高。試卷講評時錯誤選項舉反例讓學生體會。答錯的學生建議面談糾正。
(8)棱長為 的正方體 中， 的值為
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查學生畫圖能力，考查空間向量的數量積。此題難度不大，方法有很多。
，或 或建系做。此題需要學生自己作圖分析，所以題目雖難度不大，但位置靠后。
(9)設橢圓 的左、右焦點分別為 ， ， 是橢圓上的點.若 ，
，則橢圓的離心率為
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查橢圓定義，幾何性質，考查學生的計算能力。利用 ， 及直角三角形的三邊關系是解決此題的關鍵。對學生能力要求高，難度適中。
(10)如圖，在四棱錐 中， 底面 ，底面 為梯形， ， ，
， ， .若點 是線段 上的動點，則滿足 的點 的個數是
(A) (B)
(C) (D)
命題意圖：考查直線與平面垂直性質，考查計算能力，是選擇題里難度最大的題目。此題轉化為在梯形 中，滿足 的點 的個數，再利用直角三角形中的勾股定理得出。此題對學生能力要求高，轉化為求滿足 的點 是關鍵思維點，講評時重點引導學生怎么思考。
第二部分 (非選擇題 共100分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
(11)命題“ ， ”的否定是 .
命題意圖：考查含有全稱量詞的命題的否定。基礎題
(12)已知向量 ， ，則 .
命題意圖：考查空間向量的運算。基礎題
(13)已知 是雙曲線 的一個焦點，則 ，該雙曲線的漸近線方程
為 .
命題意圖：考查雙曲線的標準方程，幾何性質。基礎題
(14)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐最長的棱長為 .
命題意圖：考查簡單空間幾何圖形的三視圖，考查空間想象能力。由三視圖正確還原原幾何體的解題的關鍵。
(15)已知點 ， 是拋物線 的焦點， 是拋物線上任意一點，則 的最小
值為 ;點 到直線 的距離的最小值為 .
命題意圖：考查拋物線的定義和性質，考查點到直線的距離，重點是把所求問題進行轉化，得出答案。此類題目的通性通法需要學生掌握。
(16)在平面直角坐標系中，動點 到點 的距離比它到 軸的距離多 ，記點 的軌跡為曲線 ，
給出下列三個結論：
①曲線 過坐標原點;
②曲線 關于 軸對稱;
③曲線 的軌跡是拋物線.
其中，所有正確結論的序號是 .
命題意圖：考查根據條件求曲線方程，根據方程研究曲線性質。根據幾何條件寫出代數關系式，就可以判斷①②正確。曲線是由一條射線和拋物線組成的。
三、解答題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
(17)(本小題10分)
已知直線 過點 ，且與直線 平行.
(Ⅰ)求直線 的方程;
(Ⅱ)若直線 與直線 垂直，且在 軸上的截距為 ，求直線 的方程.
命題意圖：考查直線平行和垂直斜率的關系，直線方程的點斜式、斜截式和一般式。基礎題。
(18)(本小題10分)
已知圓 的圓心為點 ，且經過點 .
(Ⅰ)求圓 的方程;
(Ⅱ)若直線 與圓 相交于 兩點，且 ，求 的值.
命題意圖：考查圓的標準方程，直線與圓的位置關系，(兩點間的距離公式，點到直線的距離公式)，考查學生的計算能力。求圓的弦長的方法要求學生熟練掌握，得分不理想的學生一定督促其鞏固。
(19)(本小題12分)
如圖，在四棱錐 中，底面 是菱形， ，過 的平面分別交棱 ， 于點 ， .
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求證： 平面 .
命題意圖：考查線面平行的性質定理，線面垂直的判定定理，考查空間想象能力。此題證明過程要求表述清晰，書寫規范。評分的標準制定考慮了定理中的每個條件，有缺失的要扣分，力求讓學生意識到書寫規范的重要性。
(20)(本小題13分)
已知拋物線 ： ，過點 且斜率為 的直線 與拋物線 交于不同的兩點 .
(Ⅰ)求拋物線 的準線方程;
(Ⅱ)求實數 的取值范圍;
(Ⅲ)若線段 中點的橫坐標為 ，求 的長度.
命題意圖：考查拋物線的基本性質，直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力。直線與圓錐曲線位置關系的判定及相交弦弦長的求法都是常考知識點，要求學生掌握并能準確解答。根據第三問的條件得出兩個 值，根據條件需要舍去一個，粗心的學生可能忽略，即使不影響弦長的計算，未說明舍去的也扣1分。
(21)(本小題13分)
如圖，正方形 與梯形 所在的平面互相垂直， ， ，
.
(Ⅰ)求證： 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值;
(Ⅲ) 為線段 上一點，若直線 與直線 所成的角為 ，求 的長.
命題意圖：考查線面平行的判定，面面垂直的性質，用向量求面面角，線線角，考查空間想象能力和計算能力。第一問大部分學生會想到構造平行四邊形證明，利用面面平行來證明更簡潔明了，講評時要復習這一部分的整體知識網絡。第二問和第三題利用向量解決角的度量問題，常規角度，難度不大。
(22)(本小題12分)
橢圓 的中心在坐標原點，右焦點為 ，點 到短軸的一個端點的距離等于焦距.
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)設橢圓 與曲線 的交點為 ，求△ 面積的最大值.
命題意圖：考查橢圓的標準方程和簡單性質，第一問求橢圓方程需根據橢圓的性質得出 。第二問思路不復雜，分析清楚可以得出答案。最后一題不想太難為學生，希望一部分學生能得滿分。此題雖敘述簡潔，但有一定的思維含量，第一問命題時的想法就是條件不能“白”，也要考查學生的分析問題的能力。第二問的難點主要是求 的最大值，需要運用以前的知識。最后一題也鼓勵學生做，不僅僅是只做第一問。
高二數學(理)參考答案
一、選擇題(每小題5分，共50分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C A D B B C
二、填空題(每小題5分，共30分，有兩空的第一空3分，第二空2分)
(11) ，
(12)
(13) ;
(14)
(15) ;
(16)①② (只寫一個正確的得3分，有錯的不得分)
三、解答題(共6小題，共70分)
(17)(本小題10分)
解：
(Ⅰ)由直線 與直線 平行可知 的斜率為 ， ------------------2分
又直線 過點 ，則直線 的方程為
即 ------------------3分
(Ⅱ)由直線 與直線 垂直可知 的斜率為 ， ------------------2分
又直線 在 軸上的截距為 ，則直線 的方程為
即 ------------------3分(18)(本小題10分)
解：
(Ⅰ)圓 的半徑 ------------------2分
由圓心為點 ，所以圓 的方程為
------------------3分(Ⅱ)圓心為點 ，半徑為 ， ，
所以圓心 到直線 的距離為 ， ------------------2分
即 ------------------2分
(注：未得出 ，但有點到直線的距離公式得1分)
解得 ， ------------------1分
(19)(本小題12分)
(Ⅰ)∵底面 為菱形
∴ ------------------2分
又 平面 ， 平面 ------------------1分
∴ 平面 ------------------1分
又∵ 平面 ，平面 平面 ------------------1分
∴ ------------------1分
(Ⅱ)∵底面 為菱形
∴ ------------------2分
設 交 于點 ，連接
∵ ， 為 的中點
∴ ------------------2分
∵ ， 平面 ， 平面
------------------1分
∴ 平面 ------------------1分
(20)(本小題13分)
解：
(Ⅰ)由拋物線 的方程 ，得 ，
所以拋物線 的準線方程為 -------------------3分
(Ⅱ)直線 方程與拋物線 的方程聯立，得方程組
-------------------1分
消 ，整理得 ， ① -------------------2分
由直線 與拋物線 交于不同的兩點 ，則有
-------------------1分
解得
當 時，直線 與拋物線 只有一個交點，所以 的取值范圍是
且 ------------------1分
(Ⅲ)若線段 中點的橫坐標為 ，設 ， ，由(Ⅱ)中的①式得
， -------------------2分
解得 或 (舍) -------------------1分
-------------------2分
(結果不對，但弦長公式對得1分，沒有“舍去 ”扣1分;求出 坐標用兩
點間距離公式依照此標準得分)
(21)(本小題13分)
解：
(Ⅰ)法一：
∵四邊形 是正方形，
∴ -----------------1分
又∵ -----------------1分
，
平面 ， 平面
平面 ， 平面
∴平面 平面 -----------------1分
∵ 平面 ， -----------------1分
∴ 平面 -----------------1分
法二：
取 的中點 ，連接 ，
∵ ，
∴四邊形 是平行四邊形
∴ -----------------1分
∵四邊形 是正方形，
∴ -----------------1分
∴ -----------------1分
∴四邊形 是平行四邊形
∴ -----------------1分
∵ 平面 ， 平面
∴ 平面 -----------------1分
(第一問的評分標準是采點給分，出現了分值對應的結論就對應給分，非采分點的
地方有缺失不扣分)
(Ⅱ)∵正方形 與梯形 所在的平面互相垂直，
平面 平面
在正方形 ，
∴ 平面
∴ (沒有∵的內容，只有最后結論不得分) ----------------1分
又 ， ，
以 為 軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標系， -----------------1分
(建系1分，文字說明或者圖上標注都可以)
則 ， ， ，
是平面 的一個法向量
設平面 的法向量為 ，則
------------------1分
即
令 ，得 ------------------1分
則
------------------1分
設二面角 為 ，由圖可知 為銳角，
所以二面角 的余弦值為 ------------------1分
(Ⅲ)設 ( ) ------------------1分
又
解得 或 (舍) -----------------1分
的長為 -----------------1分
(22)(本小題12分)
解：
(Ⅰ)由右焦點為 ，得 -----------------1分
由點 到短軸的一個端點的距離等于焦距，得 -----------------2分
即
則
所以橢圓 的方程為 -----------------1分
(Ⅱ)設點 ( )，則 ，
設 交 軸于點 ，由對稱性知：
-----------------2分
由 得得 ， -----------------2分
所以 -----------------3分
當且僅當 ， 時取等號，
所以△ 面積的最大值 . -----------------1分
說明：每道解答題基本提供一種解題方法，如有其他解法請仿此標準給分。
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