《平行四邊形的性質》教案
作為一位優秀的人民教師，就不得不需要編寫教案，教案是備課向課堂教學轉化的關節點。來參考自己需要的教案吧！以下是小編整理的《平行四邊形的性質》教案，僅供參考，歡迎大家閱讀。
《平行四邊形的性質》教案1
【知識目標】
1、掌握平行四邊形有關概念；
2、在動手操作實踐的過程中，探索并掌握平行四邊形的性質。
【能力目標】
1、通過探索與證明平行四邊形的性質，發展演繹推理的能力；
2、在證明平行四邊形的性質的過程中，體會將平行四邊形問題為三角形問題的轉化思想．
【情感態度與價值觀】
在進行探索的活動過程中發展合作交流的意識．
【數學核心素養目標】
1、通過操作活動，在發現平行四邊形的性質的過程中培養直觀想象的數學素養；
2、通過對性質的證明，進一步提升邏輯推理的數學核心素養．
教材
分析
重點
掌握平行四邊形的概念與性質
難點
對平行四邊形性質的探究與證明
教學方法
引導類比、鼓勵操作、啟發推理
學法指導
探索發現、猜想證明、遷移應用
教學過程
一、引入新課
PPT呈現：類比是偉大的引路人，轉化是智慧的思想家．
幾何學習，是一場充滿挑戰與驚喜的旅行，老師很榮幸今天能和在座的同學們繼續我的平面幾何之旅．
回顧我們學過的平面圖形：
直線、射線、線段角三角形？
同學們推測一下，接著我們會研究那種平面圖形？四邊形
我們就從生活中常見的一類特殊的四邊形——平行四邊形研究起．
你能舉出一些生活中常見的平行四邊形實例嗎？
地磚、推拉門、活動衣架、窗格……
二、實踐探究
1、平行四邊形的相關概念
平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形．
D
C
A
B
如圖：
學生活動：邀請學生指導老師畫兩組分別平行的線段，并上黑板協助老師畫圖，從而得到平行四邊形．
平行四邊形的符號表示：ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”
（注意表示時，四個頂點A、B、C、D的書寫順序只能按順時針方向或逆時針方向）
邊、對邊、鄰邊；角、對角、鄰角
對角線：平行四邊形不相鄰的'兩個頂點連成的線段叫做它的對角線．
ABCD的對角線有兩條：AC、BD
2、平行四邊形是中心對稱圖形
活動：利用平行四邊形紙片探索平行四邊形的性質
活動方式：同桌或四人小組合作、討論交流．
教具：畫好平行四邊形的彩紙、透明紙各一張、圖釘一枚．
平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心．
3、平行四邊形的性質
性質1：平行四邊形的對邊相等．
已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以∠A=∠C，∠B=∠D
求證：AB=CD，BC=DA．
證明：連接AC
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB∥CD，BC∥DA（平行四邊形的定義）
所以∠1=∠2，∠3=∠4
在△ABC與△CDA中：
所以（ASA）
所以AB=CD，BC=DA
幾何語言：
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB=CD，BC=DA
性質2：平行四邊形的對角相等．
幾何語言：
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以∠A=∠C，∠B=∠D
三、應用遷移
【例題探究，夯實基礎】
例：已知：如圖，在□ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，并且AE=CF。
求證：
證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB=CD（平行四邊形的對邊相等）
AB∥CD（平行四邊形的定義）
所以∠BAE=∠DCF
在12鈭咥BE/與12鈭咰DF/中：
因為
所以（SAS）
所以BE=DF
【例題變式，靈活思維】
變式1：已知：如圖，在ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，并且AE∥DF。
求證：
變式2：已知：如圖，在ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，并且BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．
求證：
變式1圖變式2圖
【接龍練習，鞏固遷移】
1、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，
若∠A=130°，則∠B=______，∠C=______，∠D=______；
若AB=4，AD=5，則BC=__________，CD=________。
第1題圖第2題圖
2、如圖，在平面直角坐標系中，□ABCD的三個頂點為A（0，0）、B（4，0）、D（1，2），則頂點C的坐標是_____________。
3、小強用30米的鐵絲圍成一個平行四邊形的場地（不計接口長度），其中一條邊長是10米，則與這條邊相鄰的邊的長度是________米．
4、如圖，在□ABCD中，若BE平分∠ABC，則ED＝．
5、如圖，在□ABCD中，AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，∠AMB____。
第4題圖第5題圖
【游戲設計，拓展提升】
四位同學玩傳球游戲，三位同學已經站好位置，要求以這四位同學所占位置為頂點，組成平行四邊形，請問第四位同學應該站在哪里？
解：如圖，第四位同學可以站在P、Q、M這三個位置．
四、本課總結
知識：平行四邊形的概念與性質
探究方法與思想：類比探究，轉化思想
五、作業布置
必做題：課本P1372、3、4題．
選做題：將【游戲設計，拓展提升】部分的問題整理在好題本“分類討論”這一問題中．
設計意圖
提醒并滲透“類比的方法、轉化的思想”．
提醒學生本節課是幾何探究課程．
本節課是《平行四邊形》這一章的章起始課，促使學生對平面圖形的學習進行系統性的認識．
小學已經感知上認識了平行四邊形，由學生主動舉生活中平行四邊形的實例，感受數學源于生活而服務于生活，同時逐漸調動學生主動思考，為接下來的探究熱身．
突出學生課堂主體的地位，加深對平行四邊形定義的認識．
突出重點：
1、學生通過觀察、動手操作，經歷平行四邊形性質的探索和發現過程，發展合作交流的意識，提升探究能力；
2、在動手操作額過程中，發現并驗證了平行四邊形是中心對稱圖形；
3、使學生發現平行四邊形中有關元素之間的相等關系，獲得平行四邊形有關性質的猜想．
突破難點：
1、學生探索猜想性質是合情推理，而規范證明則是演繹推理，通過規范的幾何證明，提升學生的推理論證能力．
2、轉化思想：將四邊形問題轉化為三角形問題來研究．
1、引導學生探索并展示多種證明方法．
2、激勵學生分析、解決問題的熱情，進一步提升推理論證的能力．
本例是對所學的平行四邊形性質定理的簡單應用。教學時讓學生先獨立思考，再組織學生進行交流。鼓勵學生充分表達他們尋求證明思路的過程。
這兩個問題是對例題條件進行變化，結論不變，以促進學生對平行四邊形性質的熟練掌握與靈活運用．
1、這組練習的設計，層層遞進，由淺入深，可有效地開發各層次學生的潛能及上進心，實現分類推進的教學思想．
2、第4題引導學生發現平行四邊形一條角平分線可以構造出等腰三角形；
3、第5題引導學生發現平行四邊形兩個鄰角的角平分線可以構造出直角三角形三角形．
（此問題根據實際授課情況，可刪減）
1、游戲情境，激發學生興趣；
2、此問題有三種情況，體現分類討論的思想，促進學生思考問題的全面性；
1、作業一部分是必做題，體現新課標下落實“學有價值的數學”，達到“人人都能獲得必需數學”，另一部分是選做題，讓“不同的人在數學上得到不同的發展”．
2、選做部分為了促進學生養成分類梳理數學問題的習慣．
《平行四邊形的性質》教案2
教學目標：
1。經歷探索平行四邊形有關概念和性質的過程，在活動中發展學生的探究意識和合作交流的習慣;
2。索并掌握平行四邊形的性質，并能簡單應用;
3。在探索活動過程中發展學生的探究意識。
教學重點：平行四邊形性質的探索。
教學難點：平行四邊形性質的理解。
教學準備：多媒體課件
教學過程
第一環節：實踐探索，直觀感知（5分鐘，動手實踐、探索、感知，學生進一步探索了平行四邊形的概念，明確了平行四邊形的本質特征。）
1。小組活動一
內容：
問題1：同學們拿出準備好的剪刀、彩紙或白紙一張。將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，將它們相等的一邊重合，得到一個四邊形。
（1）你拼出了怎樣的四邊形？與同桌交流一下;
（2）給出小明拼出的四邊形，它們的對邊有怎樣的位置關系？說說你的理由，請用簡捷的語言刻畫這個圖形的特征。
2。小組活動二
內容：生活中常見到平行四邊形的實例有什么呢？你能舉例說明嗎？
第二環節 探索歸納、合作交流（5分鐘，學生動手、動嘴，全班交流）
小組活動3：
用 一張半透明的紙復制你剛才畫的平行四邊形，并將復制 后的四邊形繞一個頂點旋轉180，你能平移該紙片，使它與你畫的平行四邊形重合嗎？由此你能得到哪些結論？四邊形的`對邊、對角分別有什么關系？能用別的方法驗證你的結論嗎？
（1）讓學生動手操作、復制、旋轉 、觀察、分析;
（2）學生交流、議論;
（3）教師利用多媒體展示實踐的過程。
第三環節 推理論證、感悟升華（10分鐘，學生通過說理，由直觀感受上升到理性分析，在操作層面感知的基礎上提升，并了解圖形具有的數學本質。）
實踐 探索內容
（1）通過剪紙，拼紙片，及旋轉，可以觀察到平行四邊行的對角線把它分成的兩個三角形全等。
（2）可以通過推理來證明這個結論，如圖連結AC。
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形
AD /pic/pic/p>
2，4
△AB C和△CDA中
1
AC=C A
4
△ABC≌△CDA（ASA）
AB=DC， AD=CB，B
又∵2
4
3=4
即BAD=DCB
第四環節 應用鞏固 深化提高（10分鐘，通過議一議，練一練，學生進一步理解平行四邊形的性質，并進行簡單合情推理，體現性質的應用，同時從不同角度平移、旋轉等再一次認識平行四邊形的本質特征。）
1。活動內容：
（1）議一議：如果已知平行四邊形的一個內角度數，能確定其它三個內角的度數嗎？
A（學生思考、議論）
B總結歸納：可以確定其它三個內角的度數。
由平行四邊形對 邊分邊平行 得到鄰角互補;又由于平行四邊形對角相等，由此已知平行四邊形的一個內角的度數，可以確定其它三個角度數。
（2）練一練（P99隨堂練習）
練1 如圖：四邊形ABCD是平行四邊形。
（1）求ADC、BCD度數
（2）邊AB、BC的度數、長度。
練2 四邊形ABCD是平行四邊形
（1）它的四條邊中哪些 線段可以通過平移相到得到？
（2）設對角線AC、BD交于O;AO與OC、BO與OD有何關系？說說理由。
歸 納：平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分。
第五環節 評價反思 概括總結（8分鐘，學生踴躍談感受和收獲）
活動內容
師生相互交流、反思、總結。
（1）經歷了對平行四邊形的特征探索，你有什么感受和收獲？給自己一個評價。
（2）在與同伴合作交流中練表現，優秀方面有哪些？你看到同伴哪些優點？
（3）本節學習到了什么？（知識上、方法上）
考一考：
1。 ABCD中，B=60，則A= ，C= ，D= 。
2。 ABCD中，A比B大20，則C= 。
3。 ABCD中，AB=3，BC=5，則AD= CD= 。
4。 ABCD中，周長為40cm，△ABC周長為25，則對角線AC=（ ）cm。
布置作業
課本習題4。1
A組（學優生）1 、2
B組（中等生）1、2
C組（后三分之一生）1、2
教學反思
《平行四邊形的性質》教案3
【學習目標】
1．能運用勾股定理解決生活中與直角三角形有關的問題；
2．能從實際問題中建立數學模型，將實際問題轉化為數學問題，同時滲透方程、轉化等數學思想。
3．進一步發展有條理思考和有條理表達的能力，體會數學的應用價值
【學習重、難點】
重點：勾股定理的應用
難點：將實際問題轉化為數學問題
【新知預習】
1.如圖，單杠AC的高度為5m，若鋼索的底端B與單杠底端C的距離為12m，求鋼索AB的長.
【導學過程】
一、情境創設
欣賞生活中含有直角三角形的圖片，如果知道斜拉橋上的索塔AB的高，如何計算各條拉索的長？
二、探索活動
活動一 如圖，起重機吊運物體，已知BC=6m,AC=10m,求AB的長.
活動二 在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各為多少？
活動三 一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖所示的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？
三、例題講解：
1.《中華人民共和國道路交通安全法》規定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70km/h，如圖一輛小汽車在一條城市中的直道上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀的.正前方30m處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？
2.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部地面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，問吸管需要多長？
【反饋練習】
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,則AB=______;若AB=4,BC=2,則AC=_____;
(2)一個直角三角形的模具，量得其中兩邊的長分別為5cm，3cm，則第三邊的長是______;
(3)甲乙兩人同時從同一地出發，甲往東走4km，乙往南走6km，這時甲乙兩人相距____km.
2．如圖，圓柱高為8cm，地面半徑為2cm ,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是 ( )
A．20cm B．10cm C．14cm D．無法確定
3.如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA=15km，CB=10km，現在要在公路的AB段上建一個土特產品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點多遠處？
【課后作業】P67 習題2.7 1、4題
八年級數學競賽輔導教案：由中點想到什么
第十八講 由中點想到什么
線段的中點是幾何圖形中一個特殊的點，它關聯著三角形中線、直角三角形斜邊中線、中心對稱圖形、三角形中位線、梯形中位線等豐富的知識，恰當地利用中點，處理中點是解與中點有關問題的關鍵，由中點想到什么?常見的聯想路徑是：
1．中線倍長；
2．作直角三角形斜邊中線；
3．構造中位線；
4．構造中心對稱全等三角形等．
熟悉以下基本圖形，基本結論：
例題求解
【例1】 如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點， AB=10cm，則MD的長為 ．
(“希望杯”邀請賽試題)
思路點撥 取AB中點N，為直角三角形斜邊中線定理、三角形中位線定理的運用創造條件．
注 證明線段倍分關系是幾何問題中一種常見題型，利用中點是一個有效途徑，基本方法有：
(1)利用直角三角斜邊中線定理；
(2)運用中位線定理；
(3)倍長(或折半)法．
【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，一組對邊AB=CD，另一組對邊AD≠BC，分別取AD、BC的中點M、N，連結MN．則AB與MN的關系是( )
A．AB=MN B．AB>MN C．AB (20xx年河北省初中數學創新與知識應用競賽試題) 思路點撥 中點M、N不能直接運用，需增設中點，常見的方法是作對角線的中點． 【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD＝AB，E為AB中點，連結CE、CD，求證：C D=2EC． (浙江省寧波市中考題) 思路點撥 聯想到與中位線相關的豐富知識，將線段倍分關系的證明轉化為線段相等關系的證明，解題的關鍵是恰當添輔助線． 【例4】 已知：如圖l，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分別為F、G，連結FG，延長AF、AG，與直線BC相交，易證FG= (AB+BC+AC)． 若(1)BD、CF分別是△ABC的內角平分線(如圖2)； (2)BD為△ABC的內角平分線，CE為△ABC的外角平分線(如圖3)，則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明． (20xx年黑龍江省中考題) 思路點撥 圖1中FG與△ABC三邊的數量關系的求法(關鍵是作輔助線)，對尋求后兩個圖形中線段FG與△ABC三邊的數量關系起著重要作用，而由平分線、垂線發現中點，這是解題的基礎． 注 三角形與梯形的中位線．在位置上涉及到平行，在數量上是上下底和的一半，它起著傳遞角的位置關系和線段長度的功能，在證明線段倍分關系、兩直線位置關系、線段長度的計算等方面有著廣泛的應用． 【例5】 如圖，任意五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為AB、CD、BC、DE的中點，K、L分別為MN、PQ的中點，求證：KL∥AE且KL= AE． (20xx年天津賽區試題) 思路點撥 通過連線，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多個中點的 利用創造條件，這是解本例的突破口． 注 需要什么，構造什么，構造基本圖形、構造線段的和差(倍分)關系、構造角的關系等，這是作輔助線的有效思考方法之一． 學歷訓練 1．BD、CE是△ABC的中線，G、H分別是BE、CD的中點，BC=8，則GH= ． (20xx年廣西中考題) 2．如圖,△ABC中、BC＝a，若D1、E1；分別是AB、AC的中點，則 ；若 D2、E2分別是D1B、E1C的中點，則 ：若 D3、E3分別是D2B、E2C的中點.則 ……若Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點，則DnEn= (n≥1且 n為整數). (200l年山東省濟南市中考題) 3．如圖，△ABC邊長分別為AD=14，BC=l6，AC=26，P為∠A的平分線AD上一點，且BP⊥AD，M為BC的中點，則PM的值是 ． 4．如圖， 梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，則該梯形的中位線的長等于 cm． (20xx年天津市中考題) 5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，則EF+GH=( ) A．40 B．48 C 50 D．56 6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是對角線BD、AC的中點，若AD=6cm，BC=18?，則EF的長為( ) A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm 7．如圖，矩形紙片ABCD沿DF折疊后，點C落在AB上的E點，DE、DF三等分∠ADC，AB的長為6，則梯形ABCD的中位線長為( ) A．不能確定 B．2 C． D． +1 (20xx年浙江省寧波市中考題) 8．已知四邊形ABCD和對角線AC、BD，順次連結各邊中點得四邊形MNPQ，給出以下6個命題： ①若所得四邊形MNPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形； ②若所得四邊形MNPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形； ③若所得四邊形MNPQ為矩形，則AC⊥BD； ④若所得四邊形MNPQ為菱形，則AC=BD； ⑤若所得四邊形MNPQ為矩形，則∠BAD=90°； ⑥若所得四邊形MNPQ為菱形，則AB=AD． 以上命題中，正確的是( ) A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④ (20xx年江蘇省蘇州市中考題) 9．如圖，已知△ABC中，AD是 高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足．求證：(1)G 是CE的 中點；(2)∠B=2∠BCE． (20xx年上海市中考題) 10．如圖，已知在正方形ABCD中，E為DC上一點，連結BE，作CF⊥BE于P，交AD于F點，若恰好使得AP=AB，求證：E是DC的中點． 11．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD為邊作平行四邊形ACED，DC的延長線交BE于F． (1)求證：EF＝FB； (2)S△BCE能否為S梯形ABCD的 ?若不能，說明理由；若能，求出AB與CD的關系． 12．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF=2，ED=3，GC=4，則△ABC的周長為 ． (20xx年四川省競賽題) 13．四邊形ADCD的對角線AC、BD相交于點F，M、N分別為AB、CD中點，MN分別交BD、AC于P、Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD=10，則AC= ． (重慶市競賽題) 1 4．四邊形ABCD中，AD>BC，C、F分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線分別與EF的延長線交于H、G，則∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”號) 15．如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線AD=2，AB+AC=3+ ，則S△ABC等于( ) A． B． C． D． 16．如圖，正方形ABCD中，AB＝8，Q是CD的中點，設∠DAQ=α，在CD上取一點P，使∠BAP＝2α，則CP的長是( ) A．1 D．2 C．3 D． 17．如圖，已知A為DE的中點，設△DBC、△ABC、△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的關系式是( ) A． B． C． D． 18．如圖，已知在△ABC中，D為AB的中點，分別延長CA、CB到E、F，使DE=DF，過E、F分別作CA、 CB的垂線，相交于點P．求證：∠PAE=∠PBF． (20xx年全國初中數學聯賽試題) 19．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，試判斷AB+CD與AD+BC的大小，并證明你的結論． (山東省競賽題) 20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連結DE，設M為D正的中點． (1)求證：MB=MC； (2)設∠BAD=∠CAE，固定△ABD， 讓Rt△ACE繞頂點A在平面內旋轉到圖乙的位置，試問：MB；MC是否還能成立?并證明其結論． (江蘇省競賽題) 21．如圖甲，平行四邊形ABCD外有一條直線MN，過A、B、C、D4個頂點分別作MN的垂線AA1、BB1、CCl、DDl，垂足分別為Al、B1、Cl、D1． (1)求證AA1+ CCl = BB1 +DDl； (2)如圖乙，直線MN向上移動，使點A與點B、C、D位于直線MN兩側，這時過A、B、C、D向直線MN引垂線，垂足分別為Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DDl 之間存在什么關系? 教學目的： 1、深入了解平行四邊形的不穩定性； 2、理解兩條平行線間的距離定義（區別于兩點間的距離、點到直線的距離） 3、熟練掌握平行四邊形的定義，平行四邊形性質定理1、定理2及其推論、定理3和四個平行四邊形判定定理，并運用它們進行有關的論證和計算； 4、在教學中滲透事物總是相互聯系又相互區別的辨證唯物主義觀點，體驗“特殊--一般--特殊”的辨證唯物主義觀點。 教學重點： 平行四邊形的性質和判定。 教學難點： 性質、判定定理的運用。 教學程序： 一、復習創情導入 平行四邊形的性質： 邊：對邊平行（定義）；對邊相等（定理2）；對角線互相平分（定理3）夾在平行線間的平行線段相等。 角：對角相等（定理1）；鄰角互補。 平行四邊形的判定： 邊：兩組 對邊平行（定義）；兩組對邊相等（定理2）；對角線互相平分（定理3）；一組對邊平行且相等（定理4）；兩組對角分別相等（定理1） 二、授新 1、提出問題：平行四邊形有哪些性質：判定平行四邊形有哪些方法： 2、自學質疑：自學課本P79-82頁，并提出疑難問題。 3、分組討論：討論自學中不能解決的問題及學生提出問題。 4、反饋歸納：根據預習和討論的效果，進行點撥指導。 5、嘗試練習：完成習題，解答疑難。 6、深化創新：平行四邊形的性質： 邊：對邊平行（定義）；對邊相等（定理2）；對角線互相平分（定理3）夾在平行線間的平行線段相等。 角：對角相等（定理1）；鄰角互補。 平行四邊形的判定： 邊：兩組 對邊平行（定義）；兩組對邊相等（定理2）；對角線互相平分（定理3）；一組對邊平行且相等（定理4）；兩組對角分別相等（定理1） 7、推薦作業 1、熟記“歸納整理的內容”； 2、完成《練習卷》； 3、預習：（1）矩形的定義？ （2）矩形的性質定理1、2及其推論的內容是什么？ （3）怎樣證明？ （4）例1的解答過程中，運用哪些性質？ 思考題 1、平行四邊形的性質定理3的'逆命題是否是真命題？根據題設和結論寫出已 知求證； 2、如何證明性質定理3的逆命題？ 3、有幾種方法可以證明？ 4、例2的證明中，運用了哪些性質及判定？是否有其他方法？ 5、例3的證明中，運用了哪些性質及判定？是否有其他方法？ 跟蹤練習 1、在四邊形ABCD中，AC交BD 于點O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,則四邊形ABCD是平行四邊形。（ ） 2、在四邊形ABCD中，AC交BD 于點O，若OC= 且 ,則四邊形ABCD是平行四邊形。 3、下列條件中，能夠判斷一個四邊形是平行四邊形的是（ ） （A）一組對角相等； （B）對角線相等； （C）兩條鄰邊相等； （D）對角線互相平分。 創新練習 已知，如圖，平行四邊形ABCD的AC和BD相交于O點，經過O點的直線交BC和AD于E、F，求證：四邊形BEDF是平行四邊形。（用兩種方法） 達標練習 1、已知如圖，O為平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，EF經過點O，且與AB交于E，與CD 交于F。求證：四邊形AECF是平行四邊形。 2、已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，M、N分別是OA、OC的中點，求證：BM∥DN，且BM=DN 。 綜合應用練習 1、下列條件中，能做出平行四邊形的是（ ） （A）兩邊分別是4和5，一對角線為10； （B）一邊為4，兩條對角線分別為2和5； （C）一角為600，過此角的對角線為3，一邊為4； （D）兩條對角線分別為3和5，他們所夾的銳角為450。 推薦作業 1、熟記“判定定理3”； 2、完成《練習卷》； 3、預習： （1）“平行四邊形的判定定理4”的內容 是什么？ （2）怎樣證明？還有沒有其它證明方法？ （3）例4、例5還有哪些證明方法？ 教材分析 本節課既是七年級平行線的性質、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學習矩形、菱形、正方形等知識的堅實基礎。本節課是在學生掌握了平移等知識的基礎上探究平行四邊形的性質，能使學生經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動，對于培養學生的推理能力、發散思維能力以及探索、體驗數學思維規律等方面起著重要的作用。 學情分析 八年級學生有一定的自學、探索能力，求知欲強。并且，學生 在小學里已經初步學習過平行四邊形，對平行四邊形有直觀的感知和認識。在掌握平行線和相交線有關幾何事實的過程中，學生已經初步經歷過觀察、操作等活動過程，獲得了一定的探索圖形性質的活動經驗；同時，在學習數學的過程中也經歷了很多合作過程，具有了一定的學習經驗，具備了一定的合作和交流能力。借助于遠教資源的優勢，能使腦、手充分動起來，學生間相互探討，積極性也被充分調動起來。在此基礎上學習平行四邊形的性質，可以比較自然地得出平行四邊形的性質。 教學目標 ㈠、知識與技能： 1、理解并掌握平行四邊形的定義； 2、掌握平行四邊形的性質定理； 3、理解兩條平行線的.距離的概念； 4、培養學生綜合運用知識的能力； ㈡、過程與方法：經歷探索平行四邊形的有關概念和性質的過程， 發展學生的探究意識和合情推理的能力。 ㈢、情感態度與價值觀：培養學生嚴謹的思維和勇于探索的思想意識，體會幾何知識的內涵與實際應用價值。 教學重點和難點 重點：平行四邊形的定義，平行四邊形對角、對邊相等的性質以及性質的應用。 難點：運用平行四邊形的性質進行有關的論證和計算。 一、教材分析 1．教材的地位與作用 平行四邊形是最基本的幾何圖形，也是 “空間與圖形”領域中研究的主要對象之一．它在生活中有著十分廣泛的應用，這不僅表現在日常生活中有許多平行四邊形的圖案，還包括其性質在生產、生活各領域的實際應用． 本節課既是平行線的性質、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學習矩形、菱形、正方形等知識的堅實基礎，在教材中起著承上啟下的作用．平行四邊形的性質還為證明兩條線段相等、兩角相等、兩直線平行提供了新的方法和依據，拓寬了學生的解題思路． 另外本節課是在學生掌握了平移、旋轉知識的基礎上探究平行四邊形的性質，能使學生經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動，對于培養學生的合情推理能力、發散思維能力以及探索、體驗數學思維規律等方面起著重要的作用． 2．教學目標： 知識技能：理解并掌握平行四邊形的相關概念和性質，培養學生初步應用這些知識解決問題的能力． 數學思考：通過觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動進一步發展學生的演繹推理能力和發散思維能力． 解決問題：學生親自經歷探索平行四邊形有關概念和性質的過程，體會解決問題策略的多樣性． 情感態度：培養學生獨立思考的.習慣與合作交流的意識，激發學生探索數學的興趣，體驗探索成功后的快樂． 3．教學重點、難點： 重點：理解并掌握平行四邊形的概念及其性質． 難點：運用平移、旋轉的圖形變換思想探究平行四邊形的性質． 4．教材處理： 基于“創造性地使用教材”和“真正地以學生為本”的教學理念，我將教材內容進行合理內化、整合． 首先，打破了原教材的知識結構，構建成一個新的教學體系，分為探索平行四邊形的性質和平行四邊形性質的應用這樣兩部分，本節課是探索平行四邊形的性質．這樣安排能很好地體現知識結構的完整性和系統性． 然后，將教材中平行四邊形性質的探究活動完全開放，給學生充分探索的時間與空間，動手實驗，動腦思考．力圖構建學生主動探索、獲取知識的平臺，使學生真正成為實踐的探索者、知識的構建者、愉快的收獲者． 最后，把一道命題證明的練習題改編成實驗操作型問題．學生利用課前準備好的教具制作成模型，讓圖形動起來．這樣設計有利于學生在圖形運動變化的過程中去發現其中不變的關系，從而發現圖形的性質． 總之，教材處理力求在深挖概念內涵；拓展性質外延；深化練習效用的過程中達到培養學生創新意識和實踐能力的教學目的． 二．教學方法與手段 本節課在教法上體現教師的“啟發引導”，幫助學生實現認識上與態度上的跨越；在學法上突出學生的“探索發現”，在教學過程中立足于讓學生自己去觀察、去發現、去創造．利用多媒體、自制教具輔助教學，增強教學的直觀性、實效性． 一、教學目標 1知識目標 理解平行四邊形的概念;探索并掌握平行四邊形的對邊相等，對角相等的性質。 2能力目標 在探索過程中發展學生的探究能力，提高學生運用數學知識解決問題的能力; 3情感目標 培養學生合作交流的習慣，提高克復困難的勇氣和信心。 二、教學重點、難點 教學重點：探索平行四邊形的性質 教學難點：通過操作、思考、歸納出結論 三、教學方法 探索歸納法 四、教學過程 (一)創設情境，引入新課 1.(幻燈片展示)觀察圖片中有你熟悉的哪種圖形?(平行四邊形)請你舉出自己身邊存在的平行四邊形的例子。 例如：汽車的防護鏈，地板磚，籬笆格子等(用幻燈打出實物的照片) 2.觀察圖形有什么特征?(有兩組對邊分別平行) 平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形如圖：四邊形ABCD是平行四邊形記作：ABCD今天我們就來探究平形四邊形的性質。 (二)講授新課 1、拼一拼(出示幻燈片)小組合作，探究新知 用兩個全等的三角形紙片可以拼出幾種形狀不同的平行四邊形?從拼圖中你能得到哪些啟示?相對的邊、角分別有什么關系? (讓學生實際動手操作，可分組討論結論，用ppt課件展示) 2、學生分析總結出：平行四邊形的對邊平行 平行四邊形的.對邊相等 平行四邊形的對角相等 平行四邊形的鄰角互補 用符號語言表示：如圖 小結：平行四邊形的性質是證明線段相等、角相等的重要依據和方法。 3.用什么方法驗證平行四邊形：兩組對邊分別相等 兩組對角分別相等 (小組討論比一比看誰的速度最快、方法最多) 4、例題講解 如圖：小明用一根36m長的繩子圍成了一個平行四邊形的場地，其中一條邊AB長為8m，其他三條邊各長多少? 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD, AD=BC ∵AB=8m ∴CD=8m 又AB+BC+CD+AD=36 ∴ AD=BC=10m (三)隨堂練習(幻燈片展示) (四)感悟與收獲 1.兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 2.平行四邊形的性質：對邊平行 對邊相等 對角相等 鄰角互補 3.解決平行四邊形的有關問題經常連結對角線轉化為三角形。 (五)作業 (六)板書與設計 (見幻燈片) 教學目標 教學知識點 1 、掌握平行四邊形有關概念和性質。 2 、探索并掌握平行四邊形的對邊相等，對角相等的性質。 能力訓練要求 1 、動手操作實踐的過程中，探索發現平行四邊形的性質。 2 、知道解決平行四邊形問題的基本思想是化為三角形問題來解決，滲透轉化思想。 3 、通過探索平行四邊形的性質，培養學生簡單的推理能力和邏輯思維能力。 情感與價值觀要求 1 、探索平行四邊形性質的過程中，感受幾何圖形中呈現的數學美。 2 、在進行探索的活動過程中發展學生的探究意識和合作交流的習慣。 教學重點 探索平行四邊形的性質。 教學難點 平行四邊形性質的理解。 教學方法：探索歸納法 教學過程： 一、觀賞生活中的圖片，引入課題 下面的'圖片中，有你熟悉的哪些圖形？ （設計這個活動，一方面可讓學生認識到平行四邊形在生活、生產中的應用，另一方面讓學生在復雜的圖形中認識平行四邊形。） 二、開啟智慧 1 、操作活動： 讓學生進行如下操作后，思考以下問題： 將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，設法找到某一邊的中點，記作點O，將上層的三角形紙片繞點O旋轉180度，下層的三角形紙片保持不動，得到一個圖形。（用幾何畫板平臺展示整個過程） 2 、觀察、討論： （1）兩張紙片拼成了怎樣的圖形？它是四邊形嗎？ （2）這個圖形中有哪些相等的角？有沒有互相平行的線段？你是怎樣得到的？ （3）用簡潔的語言刻畫這個圖形的特征，并與同伴交流。 3 、平行四邊形的定義 4 、介紹平行四邊形的書寫方式及對角線的定義。 5 、請學生舉出自己身邊存在的平行四邊形的例子。 6 、學生動手畫一個平行四邊形，并表示出來。 三、知識源于悟： 1 、做一做（讓學生實際動手操作） 用一張半透明的紙復制你剛才畫的平行四邊形，并將復制后的四邊形繞一個頂點旋轉180度，你能平移該紙片，使它與你畫的平行四邊形ABCD重合嗎？ 2 、討論：（小組交流） （1）通過以上活動，你能得到哪些結論？ （2）平行四邊形ABCD對邊、對角分別有什么關系？能用別的方法驗證你的結論嗎？ 3 、結論：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等 四、能力的源泉： 1 、如果已知平行四邊形一個內角的度數，能確定其它三個內角的度數嗎？說說你的理由。 2 、變換角的度數，試一試。 3 、你得到了什么結論？ 五、隨堂練習 六、試一試：用平行四邊形設計美麗的圖案。 七、新課小結： 通過本節課的學習，你有什么收獲？ （同桌互講，小組交流，師生共同小結） 八、作業設計： 必做題：習題4.1第1 、 2題。 提高題：（解決問題）農民李某想發展副業致富，經考察地形后，在耕地旁邊的荒地上開墾一平行四邊形形狀的魚塘。能測得∠ BAD＝120 0，量得AB＝50米，AD＝80米。請你幫助李某一下魚塘的對邊AD 、 BC之間的距離及這個魚塘的面積。 九、課后反思 本節課，通過學生們自己動手操作，自己推導，自己發現從而得到平行四邊形的有關知識，充分發揮學生們的探究意識和合作交流習慣。 【學習目標】 1、平行四邊形性質(對角線互相平分) 2、平行線之間的距離定義及性質 【新課探究】 活動一： 如圖，□ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O. (1)圖中有哪些三角形是全等的?有哪些線段是相等的? (2)想辦法驗證你的猜想? (3)平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線 幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知) ∴AO==AC，BO==BD() 活動二：如圖,直線∥,過直線上任意兩點A,B分別向直線做垂線,交直線與點C,點D. (1)線段AC,BD有怎樣的位置關系? (2)比較線段AC,BD的長短. (3)若兩條直線互相平行,,則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離,這個距離稱為平行線之間的距離。平行線之間的垂線段處處. 【知識應用】 1.已知□ABCD的兩條對角線相交于點O，OA=5，OB=6，則AC=，BD= 2.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DB⊥AD，求BC，CD及OB,OA的`長. 3.已知□ABCD中，AB=12，BC=6，對邊AD和BC的距離是4，則對邊AB和CD間的距離是 【當堂反饋(小測)】： 1、平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于O，OA，OB，AB的長度分別為3cm、4cm、5cm，求其它各邊以及兩條對角線的長度。 2、如圖，在□ABCD中，，已知∠ODA=90°，OA=6cm，OB=3cm，求AD、AC的長 3、如圖，在□ABCD中，已知AB、BC、CD三條邊的長度分別為(x+3)cm,(x-4)cm,16cm,這個平行四邊形的周長是多少? 【鞏固提升】 1.平行四邊形的兩條對角線 2、已知□ABCD的兩條對角線相交于點O，OA=5，OB=6，則AC=，BD= 3、已知□ABCD中，AB=8，BC=6，對邊AD和BC的距離是2，則對邊AB和CD間的距離是 4、下列性質中，平行四邊形不一定具備的是() A、對角互補B、鄰角互補C、對角相等D、內角和是360° 5、下列說法中，不正確的是() A、平行四邊形的對角線相等B、平行四邊形的對邊相等 C、平行四邊形的對角線互相平分D、平行四邊形的對角相等 6、如圖，在□ABCD中，，已知∠BAC=90°，OB=8cm，OA=4cm，求AB、BC的長 7、如圖，已知□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△AOD的周長是80cm，已知AD的長是35cm，求AC+BD的長。 8、如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F。 (1)寫出圖中每一對你認為全等的三角形; (2)選擇(1)中的任意一對進行證明。 9.對角線可以將平行四邊形分成全等的兩部分，這樣的直線還有很多。 (1)多做幾條這樣的直線，看看它們有什么共同的特征 (2)試著用旋轉的有關知識解釋你的發現。 【回顧與思考】： 活動一： 準備兩個全等的三角形，將它們相等的一組邊重合，得到一個四邊形. (1)你得到了怎樣的四邊形?與同伴交流一下 (2)觀察拼出的這樣一個四邊形,這個四邊形的對邊有怎樣的位置關系?為什么? (3)平行四邊形的定義: 的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形 連成的線段叫做對角線 如圖,四邊形ABCD是平行四邊形, 記作” ” 活動二：(1)觀察你所拼的平行四邊形中,有哪些相等的線段、相等的角?為什么? (2)平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊 平行四邊形的對角 幾何語言： ∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知） ∴AB= ，BC= （ ） ∠A = ，∠B = （ ） 【知識應用】： 1． □ABCD中，AB=3，BC=5，則AD= CD= 。 2． □ABCD中，∠B=60°，則∠A= ，∠C= ，∠D= 。 3. 如圖：四邊形ABCD是平行四邊形。 （1）邊AB、BC的長度 （2）求∠D、∠C度數。 【當堂反饋(小測)】： 1.已知□ABCD中，∠B=70°，則∠A=______，∠C=______，∠D=______. 2.在□ABCD中，∠A +∠C =270°，則∠B=______，∠C=______.； 3.在□ABCD中，AB=3，BC=4，則□ABCD的周長等于_______. 4.平行四邊形的周長等于56 cm，兩鄰邊長的比為3∶1，那么這個平行四邊形較長的邊長為_______. 5.已知，如圖，□ABCD中，∠A=70°，AD=5 cm，求∠B，∠C，∠D的.度數及BC的長度。 6.已知，如圖，□ABCD中，∠CAD=20°，∠D=50°，求∠B，∠BCD的度數 【鞏固提升】： 1、已知□ABCD中，∠B=70°，則∠A =______，∠D =______。 2、在□ABCD中，AB=3，BC=4，則□ABCD的周長等于_______。 3、在□ABCD中，已知BC=8，周長等于24， 則CD=_______。 4、 在□ABCD中,∠A=65°,則∠D的度數是 ( ) A. 105° B. 115° C. 125° D. 65° 5、在□ABCD中,∠B比∠A大20°,則∠D的度數是 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 6、一個四邊形的三個內角的度數依次如下選項，其中是平行四邊形的是（ ） A、88°，108°，88°B、88°，104°，108° C、88°，92°，88° D、88°，92°，92° 7、□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ） A、1：2：3：4 B 、1：2：2：1 C、2：2：1：1 D、 2：1：2：1 8、已知，如圖，□ABCD中，∠A=65°，AD=6 cm，求∠B，∠C，∠D的度數及BC的長度。 9、如圖，□ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，若∠AEB=20°，求∠D的度數 10.四邊形ABCD是平行四邊形，它的四條邊中哪些線段可以通過平移而互相得到？ 教學目標 1、知識目標 （1）使學生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線間的距離的概念。 （2）掌握平行四邊形的性質定理1、2，并能運用這些知識進行有關的證明或計算． 2、能力目標 （1）通過啟發、引導，讓學生猜想結論，培養學生的觀察能力和猜想能力。 （2）驗證猜想結論，培養學生的論證和邏輯思維能力。 （3）通過開放式教學，培養學生的創新意識和實踐能力。 3、非智力目標 滲透從具體到抽象、化未知為已知的數學思想及事物之間相互轉化的辯證唯物主義觀點． 教學重點、難點 重點：平行四邊形的概念及其性質． 難點：正確理解兩條平行線間的距離的概念和性質定理2的推論。 平行四邊形的概念及性質的靈活運用 教學方法：講解、分析、轉化 教學過程設計 一、利用分類、特殊化的方法引出平行四邊形的概念 1．復習四邊形的知識． （1）引導學生畫任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點、邊、角、對角線的性質，強調對角線的作用：將四邊形分割化歸為三角形來研究． （2）將四邊形的邊角按位置關系分為兩類： 教學時應結合圖形，讓學生識別清楚，并注意與三角形中角的對邊、邊的對角及第一章中的鄰角相區別． 2．教師提問：四邊形中的兩組對邊按位置關系分為幾種情況？ 引導學生畫圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關系，如圖4－11． 3．對比引出平行四邊形的概念． （1）引導學生根據圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題． （2）注意它與梯形的對比，及它與四邊形的特殊與一般的關系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質（共性）．同時它還具有一般四邊形不具備的特殊性質（個性）． （3）強調定義既是平行四邊形的一個判定方法，同時又是平行四邊形的一個性質． （4）介紹平行四邊形的符號表示及定義的使用方法：如圖4－12． ①∵ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD．（平行四邊形的定義） ②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（平行四邊形的定義） 練習1（投影） 如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個，它們是__． 二、探索平行四邊形的性質并證明 1．探索性質． 啟發學生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對角線的位置關系及數量關系入手，來觀察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質如下： （3）對角線 ⑤對角線互相平分（性質定理3） 教師注意解釋并強調對角線互相平分的含義及表示方法． 2．利用化歸的方法對性質逐一進行證明． （1）由平行四邊形的定義及平行線的性質很快證出性質①，④，③． （2）啟發學生添加一條或兩條對角線，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識證出性質②，⑤． （3）寫出證明過程． 3．關于“兩條平行線間的平行線段和距離”的教學． （1）利用性質定理2 導出推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等． ①提問：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數量有何關系？引導學生根據平行四邊形的定義和性質進行證明． ②引導學生用語言簡練地敘述圖4－14所反映的幾何命題，并強調它的作用．證題時可節省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線間的平行線段相等． ③強調推論中的條件：“夾”、“平行線間”、“平行線段”的含義和重要性，并做一組辨析練習． 練習2 （投影）如圖4－15，判斷下列幾組圖形能否體現推論所代表的含義． （2）根據圖4－15（d）引出兩條平行線的距離的概念，并通過練習區別三個距離． 練習3 在圖4－15（d）中， ①點A與點C的距離是線段__的長； ②點A到直線l2的距離是線段__的長； ③兩條平行線l1與l2的距離是線段__或__的長； ④由推論可得：兩條平行線間的距離__． 三、平行四邊形的定義及性質的應用 1．計算． 例1填空． （1）在ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則ABCD的周長為__，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__； （2）在ABCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__； （3）已知平行四邊形周長為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長度分別為__； （4）已知ABCD對角線交點為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長為__；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長大___； （5）在ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，SABCD＝__； 說明：通過此題讓學生熟悉平行四邊形的性質，會用它及方程的思想進行計算，并復習平行四邊形的面積公式． 2．證明． 例2 已知：如圖4－16，ABCD中，E，F分別為BC，AD上的點，AE∥CF．求證（1）BE＝DF；（2）EF過BD的中點． 分析： （1）盡量利用平行四邊形的定義和性質，避免證三角形全等． （2）考慮特殊化情形．在ABCD中，若E，F在BC，AD上運動到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF．在題目的變化與聯系中靈活選用性質來解題． 例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的頂點分別是△B′C′A′各邊的中點． 著重引導學生先分解基本圖形，圖中有3個平行四邊形：C′BCA，ABCB′，ABA′C，分別利用對角相等和對邊相等的性質使問題得到證明．對于第（2）問也可用“夾在兩條平行線間的平行線段相等”來證明． 例4 已知：如圖4－18（a），ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O與AB，CD分別相交于點E，F．求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF． 分析： （1）引導學生證明以OE，OF為邊的兩個三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF． （2）根據學生實際，對圖4－18（a）可作適當引申，如圖4－18（b），（c），（d），并歸納結論如下：過平行四邊形對角線的交點作直線交對邊或對邊的延長線，所得對應線段相等． （3）圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質對解答復雜問題是很有幫助的． 3．供選用例題． （1）從平行四邊形的一個銳角頂點作平行四邊形的兩條高線．如果這兩條高線的夾角為135°，則這個平行四邊形相鄰兩內角的度數為__；若高線分別為1cm和2cm，則平行四邊形的.周長為__，面積為___；若兩條高線夾角為120°呢？ （2）如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過D作DE∥AC交AB于E，過E作EF∥DC交AC于F．求證：AE＝FC． （3）如圖4－20，在ABCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長，使AE＝BF＝AB．求證：EC⊥FD． 四、師生共同小結 1．平行四邊形與四邊形的關系． 2．學習了平行四邊形哪些方面的性質？ 3．兩條平行線的距離是怎樣定義的？有什么性質？ 五、作業 課本第143頁第2，3，4，5，6題． 課堂教學設計說明 本教學設計需2課時完成． 這節內容分2課時．第1課時在復習四邊形的有關知識的基礎上，用對比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應啟發學生從邊、角、對角線三個方面探索平行四邊形的性質，使知識更加系統，更符合學生的認知規律，而且突出了第1課時的重點，同時更能培養學生主動探求知識的精神和思維的條理性．第2課時重點應用平行四邊形的定義、性質進行計算和證明，教師注意讓學生鞏固基礎知識和基本技能，加強對解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導和結論的升華． 平行四邊形及其性質 教學目標 1、知識目標 （1）使學生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線間的距離的概念。 （2）掌握平行四邊形的性質定理1、2，并能運用這些知識進行有關的證明或計算． 2、能力目標 （1）通過啟發、引導，讓學生猜想結論，培養學生的觀察能力和猜想能力。 （2）驗證猜想結論，培養學生的論證和邏輯思維能力。 （3）通過開放式教學，培養學生的創新意識和實踐能力。 3、非智力目標 滲透從具體到抽象、化未知為已知的數學思想及事物之間相互轉化的辯證唯物主義觀點． 教學重點、難點 重點：平行四邊形的概念及其性質． 難點：正確理解兩條平行線間的距離的概念和性質定理2的推論。 平行四邊形的概念及性質的靈活運用 教學方法：講解、分析、轉化 教學過程設計 一、利用分類、特殊化的方法引出平行四邊形的概念 1．復習四邊形的知識． （1）引導學生畫任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點、邊、角、對角線的性質，強調對角線的作用：將四邊形分割化歸為三角形來研究． （2）將四邊形的邊角按位置關系分為兩類： 教學時應結合圖形，讓學生識別清楚，并注意與三角形中角的對邊、邊的對角及第一章中的鄰角相區別． 2．教師提問：四邊形中的兩組對邊按位置關系分為幾種情況？ 引導學生畫圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關系，如圖4－11． 3．對比引出平行四邊形的概念． （1）引導學生根據圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題． （2）注意它與梯形的對比，及它與四邊形的特殊與一般的關系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質（共性）．同時它還具有一般四邊形不具備的特殊性質（個性）． （3）強調定義既是平行四邊形的一個判定方法，同時又是平行四邊形的一個性質． （4）介紹平行四邊形的符號表示及定義的使用方法：如圖4－12． ①∵ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD．（平行四邊形的定義） ②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（平行四邊形的定義） 練習1（投影） 如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個，它們是__． 二、探索平行四邊形的性質并證明 1．探索性質． 啟發學生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對角線的位置關系及數量關系入手，來觀察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質如下： （3）對角線 ⑤對角線互相平分（性質定理3） 教師注意解釋并強調對角線互相平分的含義及表示方法． 2．利用化歸的方法對性質逐一進行證明． （1）由平行四邊形的定義及平行線的性質很快證出性質①，④，③． （2）啟發學生添加一條或兩條對角線，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識證出性質②，⑤． （3）寫出證明過程． 3．關于“兩條平行線間的平行線段和距離”的教學． （1）利用性質定理2 導出推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等． ①提問：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數量有何關系？引導學生根據平行四邊形的定義和性質進行證明． ②引導學生用語言簡練地敘述圖4－14所反映的幾何命題，并強調它的作用．證題時可節省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線間的平行線段相等． ③強調推論中的條件：“夾”、“平行線間”、“平行線段”的含義和重要性，并做一組辨析練習． 練習2 （投影）如圖4－15，判斷下列幾組圖形能否體現推論所代表的含義． （2）根據圖4－15（d）引出兩條平行線的距離的概念，并通過練習區別三個距離． 練習3 在圖4－15（d）中， ①點A與點C的距離是線段__的長； ②點A到直線l2的距離是線段__的長； ③兩條平行線l1與l2的距離是線段__或__的長； ④由推論可得：兩條平行線間的距離__． 三、平行四邊形的定義及性質的應用 1．計算． 例1填空． （1）在ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則ABCD的周長為__，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__； （2）在ABCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__； （3）已知平行四邊形周長為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長度分別為__； （4）已知ABCD對角線交點為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長為__；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長大___； （5）在ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，SABCD＝__； 說明：通過此題讓學生熟悉平行四邊形的性質，會用它及方程的思想進行計算，并復習平行四邊形的面積公式． 2．證明． 例2 已知：如圖4－16，ABCD中，E，F分別為BC，AD上的點，AE∥CF．求證（1）BE＝DF；（2）EF過BD的中點． 分析： （1）盡量利用平行四邊形的定義和性質，避免證三角形全等． （2）考慮特殊化情形．在ABCD中，若E，F在BC，AD上運動到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF．在題目的變化與聯系中靈活選用性質來解題． 例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的頂點分別是△B′C′A′各邊的中點． 著重引導學生先分解基本圖形，圖中有3個平行四邊形：C′BCA，ABCB′，ABA′C，分別利用對角相等和對邊相等的性質使問題得到證明．對于第（2）問也可用“夾在兩條平行線間的平行線段相等”來證明． 例4 已知：如圖4－18（a），ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O與AB，CD分別相交于點E，F．求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF． 分析： （1）引導學生證明以OE，OF為邊的兩個三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF． （2）根據學生實際，對圖4－18（a）可作適當引申，如圖4－18（b），（c），（d），并歸納結論如下：過平行四邊形對角線的交點作直線交對邊或對邊的延長線，所得對應線段相等． （3）圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質對解答復雜問題是很有幫助的． 3．供選用例題． （1）從平行四邊形的一個銳角頂點作平行四邊形的兩條高線．如果這兩條高線的夾角為135°，則這個平行四邊形相鄰兩內角的度數為__；若高線分別為1cm和2cm，則平行四邊形的周長為__，面積為___；若兩條高線夾角為120°呢？ （2）如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過D作DE∥AC交AB于E，過E作EF∥DC交AC于F．求證：AE＝FC． （3）如圖4－20，在ABCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長，使AE＝BF＝AB．求證：EC⊥FD． 四、師生共同小結 1．平行四邊形與四邊形的關系． 2．學習了平行四邊形哪些方面的性質？ 3．兩條平行線的距離是怎樣定義的？有什么性質？ 五、作業 課本第143頁第2，3，4，5，6題． 課堂教學設計說明 本教學設計需2課時完成． 這節內容分2課時．第1課時在復習四邊形的有關知識的基礎上，用對比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應啟發學生從邊、角、對角線三個方面探索平行四邊形的性質，使知識更加系統，更符合學生的認知規律，而且突出了第1課時的重點，同時更能培養學生主動探求知識的精神和思維的條理性．第2課時重點應用平行四邊形的定義、性質進行計算和證明，教師注意讓學生鞏固基礎知識和基本技能，加強對解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導和結論的升華． 學習目標： 1、理解并掌握平行四邊形的定義 2、掌握平行四邊形的性質定理1及性質定理2 3、提高綜合運用知識的能力 預習指導： 1、在四邊形中，最常見、價值最大的是平行四邊形，生活中也常見平行四邊形的實例，如________________ _____________________________ ______等，都是平行四邊形。 2、____________________________________是平行四邊形。 3、平行四邊形的性質是：_________________________________________. 學習過程： 一、學習新知 1、平行四邊形的定義 （1）定義：________________ ________________________叫做平行四邊形。 （2）幾何語言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四邊形ABCD是平行四邊形 （3）定義的雙重性: 具備_____ _____________的四邊形，才是平行四邊形， 反過來，平行四邊形就一定具有性質。 （4）平行四邊形的表示：平行四邊形ABCD 記作_________,讀作___________. 2、平行四邊形的性質 平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除具有四邊形的性質和兩組對邊分別平行外，還有什么特殊的性質呢？ 已知：如圖 ABCD， 求證：AB＝CD，CB＝AD． 分析：要證AB＝CD，CB＝AD．我們可以考慮只要證明四條線段所在的兩個三角形全等，因此我們可以作輔助線_____ _____________,它將平行四邊形分成_________和__________，我們只要證明這兩個三角形全等即可得到結論． 證明： 總結：本題提供了證明線段相等的方法，也體現了數學中的轉化思想。 在上題中你能證明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD嗎？利用我們學過的`方法試一試。 證明： 通過上面的證明，我們得到了： 平行四邊形的性質定理1是_______________________________________. 平行四邊形的性質定理2是_______________________________________. 二、應用舉例： 例1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF，求證：AF=CE． 例2、（1）在平行四邊形ABCD中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D的度數。 （2）在平行四邊形ABCD中，∠A=∠B+400，求∠A的鄰角的 度數。 例1、如圖，在平行四邊形ABC D中，AE=CF，求證：AF=CE． 例2、（1）在平行四邊形ABCD中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D的度數。 （2）在平行四邊形ABCD中，∠A=∠B+400，求∠A的鄰角的度數。 三、隨堂練習 1．平行四邊形的兩鄰邊的比是2：5，周長為28cm，求四邊形的各邊的長。 2、在平行四邊形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，求∠C、∠D的度數。 四、課堂小結 ： 1、平行四邊形的概念。 2、平行四邊形的性質定理及其應用。 五、當堂檢測 1.（選擇）在下列圖形的性質中，平行四邊形不一定具有的是（ ）． （A）對角相等 （B）對角互補 （C）鄰角互補 （D）內角和是 2.（選擇）如圖，在 ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD， EF與GH相交與點O，那么圖中的平行四邊形一共有（ ）． （A）4個 （B）5個 （C）8個 （D）9個 3．如圖，在 ABCD中，AC為對角線，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F為垂足，求證：BE＝DF． 教學目標： 1.經歷探索平行四邊形有關概念和性質的過程，在活動中發展學生的探究意識和合作交流的習慣; 2.索并掌握平行四邊形的性質，并能簡單應用; 3.在探索活動過程中發展學生的探究意識。 教學重點：平行四邊形性質的探索。 教學難點：平行四邊形性質的理解。 教學準備：多媒體課件 教學過程 第一環節：實踐探索，直觀感知(5分鐘，動手實踐、探索、感知，學生進一步探索了平行四邊形的概念，明確了平行四邊形的本質特征。) 1.小組活動一 內容： 問題1：同學們拿出準備好的剪刀、彩紙或白紙一張。將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，將它們相等的一邊重合，得到一個四邊形。 (1)你拼出了怎樣的四邊形?與同桌交流一下; (2)給出小明拼出的四邊形，它們的對邊有怎樣的位置關系?說說你的理由，請用簡捷的語言刻畫這個圖形的`特征。 2.小組活動二 內容：生活中常見到平行四邊形的實例有什么呢?你能舉例說明嗎? 第二環節探索歸納、合作交流(5分鐘，學生動手、動嘴，全班交流) 小組活動3： 用一張半透明的紙復制你剛才畫的平行四邊形，并將復制后的四邊形繞一個頂點旋轉180°，你能平移該紙片，使它與你畫的平行四邊形重合嗎?由此你能得到哪些結論?四邊形的對邊、對角分別有什么關系?能用別的方法驗證你的結論嗎? (1)讓學生動手操作、復制、旋轉、觀察、分析; (2)學生交流、議論; (3)教師利用多媒體展示實踐的過程。 第三環節推理論證、感悟升華(10分鐘，學生通過說理，由直觀感受上升到理性分析，在操作層面感知的基礎上提升，并了解圖形具有的數學本質。) 實踐探索內容 (1)通過剪紙，拼紙片，及旋轉，可以觀察到平行四邊行的對角線把它分成的兩個三角形全等。 (2)可以通過推理來證明這個結論，如圖連結AC。 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD/pic/pic/p> ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△ABC和△CDA中 ∠2=∠1 AC=CA ∠3=∠4 ∴△ABC≌△CDA(ASA) ∴AB=DC，AD=CB，∠D=∠B 又∵∠1=∠2 ∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4 即∠BAD=∠DCB 第四環節應用鞏固深化提高(10分鐘，通過議一議，練一練，學生進一步理解平行四邊形的性質，并進行簡單合情推理，體現性質的應用，同時從不同角度平移、旋轉等再一次認識平行四邊形的本質特征。) 1.活動內容： (1)議一議：如果已知平行四邊形的一個內角度數，能確定其它三個內角的度數嗎? A(學生思考、議論) B總結歸納：可以確定其它三個內角的度數。 由平行四邊形對邊分邊平行得到鄰角互補;又由于平行四邊形對角相等，由此已知平行四邊形的一個內角的度數，可以確定其它三個角度數。 (2)練一練(P99隨堂練習) 練1如圖：四邊形ABCD是平行四邊形。 (1)求∠ADC、∠BCD度數 (2)邊AB、BC的度數、長度。 練2四邊形ABCD是平行四邊形 (1)它的四條邊中哪些線段可以通過平移相到得到? (2)設對角線AC、BD交于O;AO與OC、BO與OD有何關系?說說理由。 歸納：平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分。 第五環節評價反思概括總結(8分鐘，學生踴躍談感受和收獲) 活動內容 師生相互交流、反思、總結。 (1)經歷了對平行四邊形的特征探索，你有什么感受和收獲?給自己一個評價。 (2)在與同伴合作交流中練表現，優秀方面有哪些?你看到同伴哪些優點? (3)本節學習到了什么?(知識上、方法上) 考一考： 1.ABCD中，∠B=60°，則∠A=，∠C=，∠D=。 2.ABCD中，∠A比∠B大20°，則∠C=。 3.ABCD中，AB=3，BC=5，則AD=CD=。 4.ABCD中，周長為40cm，△ABC周長為25，則對角線AC=()cm。 布置作業 課本習題4.1 A組(學優生)1、2 B組(中等生)1、2 C組(后三分之一生)1、2 1．知識結構 2．重點和難點分析 重點：本節的重點是平行四邊形的概念和性質.雖然平行四邊形的概念在小學學過，但對于概念本質屬性的理解并不深刻，為了加深學生對概念的理解，為以后學習特殊的平行四邊形打下基礎，所以教師不要忽視平行四邊形的概念教學.平行四邊形的性質是以后證明四邊形問題的基礎，也是學好全章的關鍵.尤其是平行四邊形性質定理的推論，推論的應用有兩個條件： 一個是夾在兩條平行線間； 一個是平行線段，具備這兩個條件才能得出一個結論平行線段相等，缺少任何一個條件結論都不成立，這也是學生容易犯錯的地方，教師要反復強調. 難點：本節的難點是平行四邊形性質定理的靈活應用.為了能熟練的應用性質定理及其推論，要把性質定理和推論的條件和結論給學生講清楚，哪幾個條件，決定哪個結論，如何用數學符號表示即書寫格式，都要在講練中反復強化. 3．教法建議 （1）教科書一開始就給出了平行四邊形的定義，我感覺這樣引入新課，不利于調動學生的積極性.自己設計了一個動畫，建議老師們用它作為本節的引入，既可以激發學生的學習興趣，又可以激活學生的思維. （2）在生產或生活中，平行四邊形是常見圖形之一，教師可以多給學生提供一些平行四邊形的圖片，增加學生的感性認識，然后，讓他們自己總結出平行四邊形的定義，教師最后做總結.平行四邊形是特殊的四邊形，要判定一個四邊形是不是平行四邊形，要判斷兩點：首先是四邊形，然后四邊形的兩組對邊分別平行.平行四邊形的定義既是平行四邊形的一個判定方法，又是平行四邊形的一個性質. （3）對于教師來說講課固然重要，但講完課后有目的的強化訓練也是不可缺少的'，通過做題，幫助學生更好的理解所講內容，也就是我們平時說的要反思回顧，總結深化. 平行四邊形及其性質第一課時 一、素質教育目標 （一）知識教學點 1．使學生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線間的距離的概念． 2．掌握平行四邊形的性質定理1、2． 3．并能運用這些知識進行有關的證明或計算． （二）能力訓練點 1．知道解決平行四邊形問題的基本思想是化為三角形問題來處理，滲透轉化思想． 2．通過推導平行四邊形的性質定理的過程，培養學生的推導、論證能力和邏輯思維能力． （三）德育滲透點 通過要求學生書寫規范，培養學生科學嚴謹的學風． （四）美育滲透點 通過學習，滲透幾何方法美和幾何語言美及圖形內在美和結構美 二、學法引導 閱讀、思考、講解、分析、轉化 三、重點·難點·疑點及解決辦法 1．教學重點：平行四邊形性質定理的應用 2．教學難點：正確理解兩條平行線間的距離的概念和運用性質定理2的推論；在計算或證明中綜合應用本節前一章的知識． 3．疑點及解決辦法：關于性質定理2的推論；兩點的距離，點到直線的距離，兩平行直線中間的距離的區別與聯系，注重對概念的教學，使學生深刻理解上述概念，搞清它們之間的關系；平行四邊形的高有關問題． 四、課時安排 2課時 五、教具學具準備 教具（做兩個全等的三角形），投影儀，投影膠片，小黑板，常用畫圖工具 六、師生互動活動設計 教師復習提問，學習思考口答；教師設疑引思，學生討論分析；師生共同總結結論，教師示范講解，學生達標練習 第一課時 七、教學步驟 【復習提問】 1．什么叫做四邊形？什么叫四邊形的一組對邊？ 2．四邊形的兩組對邊在位置上有幾種可能？ （教師隨著學生回答畫出圖1） 圖1 【引入新課】 在四邊形中，我們常見的實用價值最大的就是平行四邊形，如汽車的防護鏈，無軌電車的擊電桿都是平行四邊形的形象，平行四邊形有什么性質呢？這是這節課研究的主要內容（寫出課題）． 【講解新課】 1．平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形． 注意：一個四邊形必須具備有兩組對邊分別平行才是平行四邊形，反過來，平行四邊形就一定是有“兩組對邊分別平行”的一個四邊形．因此定義既是平行四邊形的一個判定方法（定義判定法）又是平行四邊形的一個性質． 2．平行四邊形的表示：平行四邊形用符號“ ”表示，如圖1就是平行四邊形 ，記作“ ”． align=middle> 圖1 3．平行四邊形的性質 講解平行四邊形性質前必須使學生明確平行四邊形從屬于四邊形，因此它具有四邊形的一切性質（共性），同時它又是特殊的四邊形，當然還有其特性（個性），下面介紹的性質就是其特性，這是一般四邊形所不具有的． 平行四邊形性質定理1：平行四邊形的對角相等． 平行四邊形性質定理2：平行四邊形對邊相等． （教具用兩個全等的三角形拼湊的平行四邊形演示，由此得到證明以上兩個定理的方法．如圖2） 圖2如圖3 所以四邊形是平行四邊形，所以．由此得到 推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等． 圖3 要注意：必須有兩個平行，即夾兩條平行線段的兩條直線平行，被夾的兩條線段平行，缺一不可，如圖4中的幾種情況都不可以推出圖4 4．平行線間的距離 從推論可以知道，如果兩條直線平行，那么從一條直線上所有各點到另一條直線的距離相等，如圖5． 我們把兩條平行線中一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做平行線的距離． 圖5 注意：（1）兩相交直線無距離可言． （2）連結兩點間的線段的長度叫兩點間的距離，從直線外一點到一條直線的垂線段的長，叫點到直線的距離．兩條平行線中一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離，一定要注意這些概念之間的區別與聯系． 例1 已知：如圖1， 一、學習目標 １、經歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過程，發展有條理的思考及語言表達能力。 2、 會進行簡單的多項式與多項式的乘法運算 二、學習過程 （一）自學導航 1、創設情境 某地區在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區現在的面積。 這塊林區現在的長為 米，寬為 米。因而面積為________米2。 還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。 由于這兩個算式表示的都是同一塊地的面積，則有 = 如果把（m+n）看作一個整體，你還能用別的方法得到這個等式嗎？ 2、概括： 多項式乘以多項式的法則： 3、計算 （1） （2） 4、練一練 （1） （二）合作攻關 1、某酒店的廚房進行改造，在廚房的中間設計一個準備臺，要求四面的過道寬都為x米，已知廚房的長寬分別為8米和5米，用代數式表示該廚房過道的總面積。 2、解方程 （三）達標訓練 1、填空題： （1） = = （2） = 。 2、計算 （1） （2） （3） (4) （四）提升 1、怎樣進行多項式與多項式的乘法運算？ 2、若 的乘積中不含 和 項，則a= b= 應用題 第三十五講 應用題 在本講中將介紹各類應用題的解法與技巧． 當今數學已經滲入到整個社會的各個領域，因此，應用數學去觀察、分析日常生活現象，去解決日常生活問題，成為各類數學競賽的一個熱點． 應用性問題能引導學生關心生活、關心社會，使學生充分到數學與自然和人類社會的密切聯系，增強對數學的理解和應用數學的信心． 解答應用性問題，關鍵是要學會運用數學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，揭示其數學本質，將其轉化為數學模型．其求解程序如下： 在初中范圍內常見的數學模型有：數式模型、方程模型、不等式模型、函數模型、平面幾何模型、圖表模型等． 例題求解 一、用數式模型解決應用題 數與式是最基本的數學語言，由于它能夠有效、簡捷、準確地揭示數學的本質，富有通用性和啟發性，因而成為描述和表達數學問題的重要方法． 【例1】(2003年安徽中考題)某風景區對5個旅游景點的門票價格進行了調整，據統計，調價前后各景點的游客人數基本不變。有關數據如下表所示： 景點ABCDE 原價（元）1010152025 現價（元）55152530 平均日人數（千人）11232 （1）該風景區稱調整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平。問風景區是怎樣計算的？ （2）另一方面，游客認為調整收費后風景區的平均日總收入相對于調價前，實際上增加了約9.4%。問游客是 怎樣計算的？ （3）你認為風景區和游客哪一個的說法較能反映整體實際？ 思路點撥 （1）風景區是這樣計算的： 調整前的平均價格： ，設整后的平均價格： ∵調整前后的平均價格不變，平均日人數不變． ∴平均日總收入持平． （ 2）游客是這樣計算的： 原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元） 現平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元） ∴平均日總收入增加了 （3）游客的說法較能反映整體實際． 二、用方程模型解應用題 研究和解決生產實際和現實生恬中有關問題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數量關系和相等關系的角度去認識和理解現實世界． 【例2】 (重慶中考題)某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同．安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2min內可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，4mln內可以通過800名學生． (1)求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生? (2)檢查中發現，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規定：在緊急情況下全大樓的學生應在5min內通過這4道門安全撤離．假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門整否符合安全規定?請說明理由． 思路點撥 列方程(組)的關鍵是找到題中等量關系：兩種測試中通過的學生數量．設未知數時一般問什么設什么．“符合安全規定”之義為最大通過量不小于學生總數． (1)設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生，由題意得： ,解得： (2)這棟樓最多有學生4×8×4 5=1440(名)． 擁擠時5min4道門能通過． 5×2(120+80)(1－20％)=1600(名), 因1600>1440，故建造的4道門符合安全規定． 三、用不等式模型解應用題 現實世界中的不等關系是普遍存在的，許多問題有時并不需要研究它們之間的相等關系，只需要確定某個量的變化范圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認識． 【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年內月平均的風速不小于3m／s的時間共約160天，其中日平均風速不小于6m／s的時間占60天．為了充分利用“風能”這種“綠色資源”，該地擬建一個小型風力發電場，決定選用A、B兩種型號的風力發電機，根據產品說明，這兩種風力發電機在各種風速下的日發電量(即一天的發電量)如下表：一天的發電量)如下表： 日平均風速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6 日發電量 (千瓦?時)A型發電機O≥36≥150 B型發電機O≥24≥90 根據上面的數據回答： (1)若這個發電場購x臺A型風力發電機，則預計這些A型風力發電機一年的發電總量至少為 千瓦?時； (2)已知A型風力發電機每臺O.3萬元，B型風力發電機每臺O.2萬元．該發電場擬購置風力發電機共10臺，希望購機的費用不超過2.6萬元，而建成的風力發電場每年的發電總量不少于102000千瓦?時，請你提供符合條件的購機方案． 根據上面的數據回答： 思路點撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x； (2)設購A型發電機x臺，則購B型發電機(10—x)臺, 解法一根據題意得： 解得5≤x ≤6． 故可購A型發電機5臺，B型發電機5臺；或購A型發電機6臺，B型發電視4臺． 四、用函數知識解決的應用題 函數類應用問題主要有以下兩種類型：(1)從實際問題出發，引進數學符號，建立函數關系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數關系式． 【例4】 (揚州)楊嫂在再就業中心的扶持下，創辦了“潤楊”報刊零售點．對經營的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息： ①買進每份0.20元，賣出每份0.30元； ②一個月內(以30天計)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份； ③一個月內，每天從報社買進的報紙份數必須相同．當天賣不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社； (1)填表： 一個月內每天買進該種晚報的份數100150 當月利潤(單位：元) (2)設每天從報社買進該種晚報x份，120≤x≤200時，月利潤為y元，試求出y與x的函數關系式，并求月利潤的最大值． 思路點撥(1)填表： 一個月內每天買進該種晚報的份數100150 當月利潤(單位：元)300390 (2)由題意可知，一個月內的20天可獲利潤： 20×=2x(元)；其余10天可獲利潤： 10=240—x(元)； 故y=x+240，(120≤x≤200)， 當x=200時，月利潤y的最大值為440元． 注 根據題意，正確列出函數關系式，是解決問題的關鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍． 另外，初三還會提及統計型應用題，幾何型應用題． 【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成． （1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數． (2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用200 0元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時間內：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工 程； C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢最少? 思路點撥 這是一道策略優選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時． (1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據題意得： , x=30合題意， 所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天． (2)各種方案所需的費用分別為： A．請甲隊需2000×20=40000元； B．請乙隊需1400×30=4200元； C．請甲、乙兩隊合作需(2000+1400)×12=40800元． 所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢最少． 【例6】 (2全國聯賽初賽題)一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態區，他們以每天17km的速度出發，沿河岸向上游行進若干天后到達目的地，然后在生態區考察了若干天，完成任務后以每天25km的速度返回，在出發后的第60天，考察隊行進了24km后回到出發點，試問：科學考察隊的生態區考察了多少天? 思路點撥 挖掘題目中隱藏條件是關鍵! 設考察隊到 生態區去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60， 17x－25y=－1，即25y－17x=1． ① 這里x、y是正整數，現設 法求出①的`一組合題意的解，然后計算出z的值． 為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負整數)．用輾轉相除法． 25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25． 與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2． 下面再求出①的合題意的解． 由不定方程的知識可知，①的一切整數解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t， ∴ x+y=42t－5，t為整數．按題意0 ∴z=60—(x+y)=23． 答：考察隊在生態區考察的天數是23天． 注 本題涉及到的未知量多，最終轉化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細咀嚼所用方法． 【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實行優惠購物，規定如下： (1)若一次購物少于200元，則不予優惠； (2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優惠； (3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優惠，超過500元部分給予八折 優惠． 小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現在小亮決定一次去購 買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少? 思路點撥 應付198元購物款討論： 第一次付款198元，可是所購物品的實價，未 享受優惠；也可能是按九折優惠后所付的款．故應分兩種情況加以討論． 情形1 當198元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為198元 ． 又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)． 因此，554元所購物品的原價為130+500=630(元)，于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）． 情形2 當198元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)． 綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應付款712.40元或730元 【例8】 (2002年全國數學競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2 天完成，需付160000元．現在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少? 思路點撥 關鍵問題是甲、乙、丙單獨做各需的天數及獨做時各方日付工資．分兩個層次考慮： 設甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成． 則 ，解得 再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元， 則 ，解得 于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000 (元)． 由乙隊單獨承包，費用是29500×6= 177000 (元)． 而丙隊不能在一周內完成．所以由乙隊承包費用最少． 學歷訓練 （A級） 1．(河南)在防治“SARS”的戰役中，為防止疫情擴散，某制藥廠接到了生產240箱過氧乙酸消毒液的任務．在生產了60箱后，需要加快生產，每天比原來多生產15箱，結果6天就完成了任務．求加快速度后每天生產多少箱消毒液? 2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節約用水，對自來水妁收費標準作如下規定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費；超過20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶比乙戶多繳水費7.10元，乙戶比丙戶多繳水費3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來水按整噸收費) 3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數學題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題? 4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費標準是起步價10元，每千米1.2元；另一種出租車收費標準是起步價8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適? (提示：根據目前出租車管理條例，車型不同，起步價可以不同，但起步價的最大行駛里程是相同的，且此里程內只收起步價而不管其行駛里程是多少) （B級） 1．(全國初中數學競賽題)江堤邊一洼地發生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機 臺． 2．(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷： 購買臺數1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上 每臺價格760元720元680元640元600元 乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折； 每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折． （1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺數與每臺價格的對照表； (2)現在有A、B、C三個單位，且單位要買10臺VCD，B單位要買16臺VCD，C單位要買20臺VCD，問他們到哪家商場購買花費較少? 3．(河北創新與知識應用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據此設計兌換方案． 4．從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動且男孩每分鐘走動的級數是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級)．問： (1)扶梯露在外面的部分有多少級? (2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數和扶梯的級數相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階? 5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍． 6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內的數字為產量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a 多邊形的邊角與對角線 j.Co M 第十四講 多邊形的邊角與對角線 邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數 、內外角度數、對角線條數是解與多邊形相關的基本問題，常用到三角形內角和、多邊形內、外角和定理、不等式、方程等知識． 多邊形 的內角和定理反映出一定的規律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質的規律；360°是一個常數，把內角問題轉化為外角問題，以靜制動是解多邊形有關問題的常用技巧． 將多邊形問題轉化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對角線或向外補形、對內分割是轉化的常用方法，從凸 邊形的一個頂點引出的對角線把 凸 邊形分成 個多角形，凸n邊形一共可引出 對角線． 例題求解 【例1】在一個多邊形中，除了兩個內角外，其余內角之和為2002°，則這個多邊形的邊數是 ． (江蘇省競賽題) 思路點撥 設除去的角為°，y°，多邊形的邊數 為 ，可建立關于x、y的不定方程；又0° 鏈接 世界上的萬事萬物是一個不斷地聚合和分裂的過程，點是幾何學最原始的概念，點生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發現新的幾何性質，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些幾何圖形． 【例2】 在凸10邊形的所有內角中，銳角的個數最多是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 (全國初中數學競賽題) 思路點撥 多邊形的內角和是隨著多邊形的邊數變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內角為銳角的個數討論轉化為 外角為鈍角的個數的探討． 【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角)，并分別寫出所拼四邊形的對角線的長． (烏魯木齊市中考題) 思路點撥 把動手操作與合情想象相結合 ，解題的關鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形． 注 教學建模是當今教學教育、考試改革最熱門的一個話題，簡單地說，“數學建模”就是通過數學化(引元、畫圖等)把實際問題特化為一個數學問題，再運用相應的數學知識方法(模型)解決問題． 本例通過設元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉譯成等式，通過不定方程求解． 【例4】 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內角大小有關，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角(360°)時，就拼成了一個平面圖形． (1)請根據下列圖形，填寫表中空格： (2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形? (3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說明你的理由． (陜西省中考題) 思路點撥 本例主要研究兩個問題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點接合的地方，n個內角的和為360°，這樣，將問題的討論轉化為求不定方程的正整數解． 【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'． （1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個五邊形嗎?說明理由． (2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位． (江蘇省競賽題) 思路點撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個五邊形須滿足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長逼近估算． 1．如圖，用硬紙片剪一個長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對角線把它分成兩個三角形，用這兩個三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ?，周長最小的是 cm． (選6《莢國中小學數學課程標準》) 2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是 ． 4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規律，拼成若干個圖案： (1)第4個圖案中有白色地面磚 塊； (2)第n個圖案中有白色地面磚 塊． (江西省中考題) 5．凸n邊形中有且僅有兩個內角為鈍角，則n的最大值是( ) A．4 B．5 C． 6 D．7 ( “希望杯”邀請賽試題) 6．一個凸多邊 形的每一內角都等于140°，那么，從這個多邊形的一個頂點出發的對角線的條數是( ) A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條 7．有一個邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( ) A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊 ( “希望杯”邀請賽試題) 8．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個含有30°角的直角三角形，現將△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD． （1）)畫出四邊形ABCD； (2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長． (上海市閔行區中考題) 9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數． (北京市競賽題) 10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點，連結A1B1，我們稱A1B1是這個五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行． (安徽省中考題) 11．如圖，凸四邊形有 個；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ． (重慶市競賽題) 12．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于 ；若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個角的和等于 ． ( “希望杯”邀請賽試題) 13．設有一個邊長為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長是 ；A4這個多邊形的面積是原三角形面積的 倍． (全國初中數學聯賽題) 14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題) 15．在一個n邊形中，除了一個內角外，其余(n一1)個內角的和為2750°，則這個內角的度數為( ) A．130° D．140° C ．105° D．120° 16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長為( ) A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題) 注 按題中的方法'不斷地做下去，就會成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數學家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數學現象都導致分形，分形是新興學科“混沌”的重要分支． 17．如圖，設∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( ) A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α (山東省競賽題) 18．平面上有A、B，C、D四點，其中任何三點都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個三角形的內角不超過45°． 19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數，求n． (上海市競賽題) 20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個內角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長． 21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點都是活動的)，活動床頭是根據三角形的穩定性和四邊形的不穩定性設計而成的，其折疊過程可由圖2的變換反映出來． 如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長時，才能實現上述的折疊變化? (淄博市中考題) 22．一個凸n邊形由若干個邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸n邊形各個內角的大小，并畫出這樣的 凸n邊形的草圖． 圖形的平移與旋轉 前蘇聯數學家亞格龍將幾何學定義為：幾何學是研究幾何圖形在運動中不變的那些性質的學科． 幾何變換是指把一個幾何圖形Fl變換成另一個幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉是常見的合同變換． 如圖1，若把平面圖形Fl上的各點按一定方向移動一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換． 平移前后的圖形全等，對應線段平行且相等，對應角相等． 如圖2，若把平面圖Fl繞一定點旋轉一個角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉變換，其中定點叫旋轉中心，定角叫旋轉角． 旋轉前后的圖形全等，對應線段相等，對應角相等，對應點到旋轉中心的距離相等． 通過平移或旋轉，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與待求結論之間的關系明朗化，促使問題的解決． 注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關系，而線段本身的大小要改變． 例題求解 【例1】如圖，P為正方形ABCD內一點，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ． 思路點撥 通過旋轉，把PA、PB、PC或關聯的線段集中到同一個三角形． 【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線 段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變 思路點撥 把△ACN繞C點順時針旋轉45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可． 注 下列情形，常實施旋轉變換： (1)圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角分別定為60°、90°； (2)圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉180°，構造中心對稱全等三角形； (3)圖形中出現有公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點，旋轉兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合． 【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等． (全俄數學奧林匹克競賽題) 思路點撥 設法將復雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個基本圖形表示，題設中有平行條件，可考慮實施平移變換． 注 平移變換常與平行線相關，往往要用到平行四邊形的性質，平移變換可將角，線段移到適當的位置，使分散的條件相對集中，促使問題的解決． 【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題) 思路點撥 本例實際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過平移把BC與EF集中到同一個三角形中． 注 三角形中的不等關系，涉及到以下基本知識： (1)兩點間線段最短，垂線段最短； (2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； (3)同一個三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角． 【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長為 ，點P是△ABC內的一點，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長． (“希望杯”邀請賽試題) 思路點撥 題設條件滿足勾股關系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構成三角形，不能直接應用，通過旋轉變換使其集中到一個三角形中，這是解本例的關 鍵． 學歷訓練 1．如圖，P是正方形ABCD內一點，現將△ABP繞點B顧時針方向旋轉能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ． 2．如圖，P是等邊△ABC內一點，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ． 3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長為 ． 4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動的距離AA'是( ) A． B． C．l D． (2002年荊州市中考題) 5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點C、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP． 當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合)，上述結論中始終正確的有( ) A．1個 B．2個 C ．3個 D．4個 (2003年江蘇省蘇州市中考題) 6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長為( ) A．2 B．3 C ． D． (2004年武漢市選拔賽試題) 7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為 和 ，對角線BD、FH都在直線 上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長叫做兩個正方形的中心距，當中心O2在直線 上平移時，正方形EFGH也隨之平移，在平移時正方形EFGH的形狀、大小沒有變化． (1)計算：O1D= ，O2F= ； (2)當中心O2在直線 上平移到兩個正方形只有一個公共點時，中心距O1O2= ； (3)隨著中心O2在直線 上平移，兩個正方形的公共點的個數還有哪些變化?并求出相對應的中心距的值或取值范圍(不必寫出計算過程)． (徐州市中考題) 8．圖形的操做過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a，豎直 方向的邊長均為b）： 在圖a中，將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）； 在圖b中， 將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）； （1）在圖c中,請你類似地畫一條有兩個折點的折線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,并用斜線畫出陰影； （2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ； （3）聯想與探索： 如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的． (2002年河北省中考題) 9．如圖，已知點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM． 說明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現要求： (1)將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉180°，使A點落在CB上，請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)． (2)在①所得的圖形中，結論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由． (3)在①得到的圖形中，設MA的延長線與BN相交于D點，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結論． 10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點3cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉90°至△DEF，則旋轉前后兩個直角三角形重疊部分的面積是 cm2． 11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點E在DC上，AE、BC的延長線交于點F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ． (紹興市中考題) 12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內一點，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關系是( ) A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無法確定 13．如圖，設P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2、3，則PC所能達到的最大值為( ) A． B． C ．5 D．6 (2004年武漢市選拔賽試題) 14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC 延長線上一點，BD=CE，連DE，求證：DE>DC． 15．如圖，P為等邊△ABC內一點，PA、PB、PC的長為正整數，且PA2+PB2=PC2，設PA=m，n為大于5的實數，滿 ，求△ABC的面積． 16．如圖，五羊大學建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點間來往路程最短，兩座橋都按這個目標而建，那么，此時A、D兩點間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題) 17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內一點，點O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點O順時針旋轉45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ． (1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形； (2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題) 18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞O點旋轉，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值． (2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉， 當扇形紙板的圓心角為 時，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；當扇形紙板的圓心角為 時，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a． (3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉．當扇形紙板的圓心角為 時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長度為定值a；這時正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關系；若不是定值，請說明理由． 【《平行四邊形的性質》教案】相關文章： 《小數的性質》教案11-19 雙曲線的幾何性質教案09-29 分數的基本性質的教案10-09 不等式的性質教案01-23 分數的基本性質教案04-04 小數的意義和性質教學教案12-26 數學小數的意義和性質教案12-21 減法的運算性質教案（通用23篇）03-05 化學《金屬的化學性質》教案02-02《平行四邊形的性質》教案4
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《平行四邊形的性質》教案6
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《平行四邊形的性質》教案10
【學習目標】：1．掌握平行四邊形的有關概念及性質（對邊平行且相等，對角相等）
《平行四邊形的性質》教案11
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