不等式的性質教案

時間：2025-11-01 04:14:07 教案

不等式的性質教案

　　作為一名辛苦耕耘的教育工作者，時常需要用到教案，教案是實施教學的主要依據，有著至關重要的作用。優秀的教案都具備一些什么特點呢？下面是小編為大家整理的不等式的性質教案，歡迎大家分享。

不等式的性質教案

不等式的性質教案1

　　教學目的

　　掌握不等式的基本性質，會用不等式的基本性質進行不等式的變形。

　　教學過程

　　師：我們已學過等式，不等式，現在我們來看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請同學們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？

　　第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。

　　第二組：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6， a+2 ≥0; 3≠4。

　　生：第一組都是等式，第二組都是不等式。

　　師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

　　生：表示相等關系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

　　師：在數學熾，我們用等號“=”來表示相等關系，用不等式號“〈”、“〉”或“≠”表示不等關系，其中“＞”和“＜”表示大小關系。表示大小關系的不等式是我們中學教學所要研究的。

　　前面我們學過了等式，同學們還記得等式的性質嗎？

　　生：等式有這樣的性質：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數不為零）同一個數，所得到的仍是等式。

　　師：很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯想到，是否有與等式相類似的性質，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經（除數不為零）同一個數，結果將會如何呢？讓我們先做一些試驗練習。

　　練習1 (回答)用小于號“<”或大于號“>”填空。

　　（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2；（4）- 4_____-6

　　練習2（口答）分別從練習1中四個不等式出發，進行下面的運算。

　　（1）兩邊都加上（或都減去）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

　　（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

　　（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

　　生：我們發現：在練習2中，第（1）、（2）題的結果是不等號的方向不變；在第（3）題中，結果是不等號的方向改變了！

　　師：同學們觀察得很認真，大家再進一步探討一下，在什么情況下不等號的方向就會發生改變呢？

　　生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負數的情況下，不等號的方向要改變。

　　師：有沒有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學不放心，讓我們再做一些試驗。

　　練習3（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號的方向是否改變：

　　7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

　　師：現在我們可以歸納出不等式的基本性質，一般地說，不等式的基本性質有三條：

　　性質1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數，不等號的方向。

　　（讓同學回答。）

　　性質2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數，不等號的方向。（讓同學回答。）

　　性質3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數，不等號的方向。（讓同學回答。）

　　現在請大家翻開課本，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質。

　　不等式的這三條基本性質，都可以用數學語言表達出來，先請一位同學說一說第一條基本性質。

　　生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

　　師：對a和b有什么要求嗎？對c有什么要求？

　　生：沒有什么要求。

　　師：哪位同學來回答第二、三條性質？

　　生甲：如果a0，那么acb，且c>0，那么ac>bc(或

　　生乙：如果abc(或 )；如果a>b，且c<0，那么ac

　　師：這兩條性質中，對a、b、c有什么要求？

　　生：對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數還是負數。

　　師：很好，c可以為零嗎？

　　生：c不能為零。因為c為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了。

　　師：好！應用剛才學到的基本性質，我們來看下面的例題。

　　[例1]按照下列條件，寫出仍能成立的'不等式：

　　（1）5＜9，兩邊都加上-3；

　　（2）9＞4，兩邊都減去10；

　　（3）-5＜3，兩邊都乘以4；

　　（4）14＞-8，兩邊都除以-2。

　　解（1）根據不等式基本性質1，在不等式59的兩邊都加上-3，不等號的方向不變，所以

　　5+（-3）＜9+（-3），

　　2＜6

　　（2）根據不等式基本性質1，得

　　9-10＞4-10

　　-1＞-6

　　（3）根據不等式基本性質2，得

　　-5×4＜3×4

　　-20＜12

　　（4）根據不等式基本性質3，得

　　14÷（-2）＜（-8）÷（-2）

　　-7＜4

　　[例2]設a＞b，用不等號連結下列各題中的兩式：

　　（1）a-3與b-3;（2）2a與2b;（3）-a與-b。

　　師：哪一位同學來做這題？解題時，要講清一步的理由。

　　生甲：因為a＞b，兩邊都減去3，由不等式的基本性質1，得

　　a-3＞b-3．

　　師：很好，大家都是這樣做的嗎？

　　生乙：我是這樣做的，因為a＞b，兩邊都加上（-3），由基本性質1，得

　　a-3＞b-3．

　　師：好！這兩位同學從不同的角度來分析題目，都得到了正確的結論。

　　生丙：因為a＞b，2＞0，由基本性質2，得2a＞2b。

　　生丁：因為a＞b，-1＞0，由基本性質3，得-a＞-b。

　　師：下面我們來看一組較復雜的問題，請大家都來開動腦筋，認真審題，仔細分析。[例3]判斷以下各題的結論是否正確，并說明都理由：

　　(1)如果a>b，且c>0，那么ac>bd;

　　(2)如果a>b，那么ac2>bc2;

　　(3)如果ac2>bc2，那么a>b;

　　(4)如果a>b，那么a-b>0;

　　(5)如果ax>b，且a≠0，那么x< ;

　　(6)如果a+b>a;

　　生甲：（1）不對，當c=d≤0時，ac＞bd不成立。

　　生乙：（2）也不對，因為c2是一個非負數，當c=0時，ac2＞bc2不成立。

　　生丙：（3）對，因為ac2＞bc2成立，則c2一定大于零，根據不等式基本性質2，得a＞b出。

　　（4）對，根據不等式基本性質，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。

　　（5）不對，當a＜0時，根據不等式基本性質3，得。

　　（6）不對，因為當b＜0時，根據不等式基本性質1，得a+b＜a；而當b=0時，則有a+b=a。

　　師：同學們回答得很好。今天我們學習了不等式的基本性質，我們不僅要理解這三條性質，還要能靈活運用。

　　課外做以下作業：略。

　　教案說明

　　（1）不等式的基本性質的教學，是分成兩個階段進行的。在初中階段，對不等式的基本性質，并不作證明，只引導學生用試驗的方法，歸納出三條基本性質。通過試驗，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認識事物規律的重要方法。科學上的許多發現，大多離不開試驗和觀察。大數學家歐拉說過：“數學這門科學，需要觀察，也需要試驗。”通過教學培養學生掌握由試驗發現規律的方法，具有重要的意義。當然通過幾個特殊的試驗，就得出一般的結論，是不嚴密的。但對初中學生來說，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴密的。

　　（2）不等式的基本性質的教學，還應采用對比的方法。學生已學過等式和等式的性質，為了便于和加深對不等式基本性質的理解，在教學過程中，應將不等式的性質與等式的性質加以比較：強調等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，所得到的仍是等式，這個數可以是正數、負數或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，當這個數是正數、負數或零時，對不等式的方向，有什么不同的影響。通過這樣的對比，不但可以復習已學過的等式有關知識，便于引入新課，而且也有利于掌握不等式的基本性質。對比的方法，也是學習數學的一種重要方法。

　　（3）在應用不等式的基本性質對不等式進行變形時，學生對不等式兩邊是具體數，判定大小關系比較容易。因為這實際上是有理數大小的比較。對于不等式兩邊是含字母的代數式時，根據題給的條件，運用不等式基本性質判別大小關系或不等號方向，就比較困難。因為它比較抽象，特別是在運用不等式的基本性質2和性質3時，學生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個用字母表示的數的符號是什么，或者還要對這個用字母表示的數，按正數、負數或零三種情況加以討論。在教學過程中，對于這類題目，采用討論法是比較好的。因為在討論時，學生可以充分發表各種見解。對于正確的見解，教師可以讓學生說出解題的依據；對于錯誤的見解，教師可以進行啟發引導，發動學生自己找出錯誤的原因，自己修正見解。這樣，有利于發現問題，有的放矢地解決問題，有利于深化對不等式基本性質的認識。

不等式的性質教案2

　　教學目標：

　　知識目標：掌握不等式的基本性質.

　　能力目標：通過不等式基本性質的探索，培養學生觀察、猜想、驗證的能力.

　　情感目標：經歷不等式基本性質的探索過程，初步體會不等式與等式的異同.

　　教學重、難點：

　　1、重點：掌握不等式的基本性質.

　　2、難點：不等式的基本性質2和3.

　　教學準備：

　　教師準備：課件.

　　教學設計過程：

　　一、創設情境，探究新知：

　　1、合作學習

　　（1）已知a＜b和b＜c，在數軸上表示如圖5-9.

　　由數軸上a和c的位置關系，你能得出什么結論？你那舉幾個具體的例子說明嗎？

　　（2）觀察:用“”或“”填空,并找一找其中的規律.

　　①53,5+2____3+2,5－2____3－2;

　　②–13,-1+2____3+2,-1－3____3－3;

　　③6＞2,6×5____2×5,6×(-5)____2×(-5);

　　④–23,(-2)×6____3×6,(-2)×(-6)____3×(-6)

　　會發現:當不等式兩邊加或減去同一個數時,不等號的方向不變

　　當不等式的兩邊同乘同一個正數時,不等號的方向_不變;而乘同一個負數時,不等號的方向改變.

　　2、歸納

　　不等式的基本性質1若a＜b和b＜c，則a＜c.

　　這個性質也叫做不等式的傳遞性.

　　不等式的基本性質2不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數，所得到的不等式仍成立。

　　即

　　如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；

　　如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.

　　不等式的基本性質3不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，所得的不等式仍成立；不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，必須把不等號的方向改變，所得的不等式成立.

　　即

　　如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc，＞；

　　如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，＜；

　　3、做一做P104

　　4、試一試

　　（1）若-m5，則m___-5.

　　（2）如果x/y0那么xy___0.

　　（3）如果a-1,那么a-b___-1-b.

　　5、做一做P105

　　6、講解例題

　　已知a＜0，試比較2a與a的.大小.

　　分析比較2a與a的大小，可以利用不等式的基本性質，也可以利用數軸，直接得出2a與a的大小.

　　二、鞏固反思：

　　1、P106T1、T2“

　　2、探究活動

　　比較等式與不等式的基本性質.

　　例如，等式是否有與不等式的基本性質1類似的傳遞性？不等式是否有與等式的基本性質類似的移項法則？你可以用列表的方式進行對比.（請與你的伙伴交流）

　　三、小結：

　　通過這節課的學習，你有哪些收獲？

　　四、作業：

　　1、作業題P107

　　2、預習5.3不等式與不等式組

不等式的性質教案3

　　探究活動

　　能得到什么結論

　　題目已知且，你能夠推出什么結論？

　　分析與解：

　　由條件推出結論，我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大，對已知變量作運算，運用不等式的性質，或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。

　　思路一：改變的范圍，可得：

　　1．且；

　　2．且；

　　思路二：由已知變量作運算，可得：

　　3．且；

　　4．且；

　　5．且；

　　6．且；

　　7．且；

　　思路三：考慮含有的'數學表達式具有的性質，可得：

　　8．（其中為實常數）是三次方程；

　　9．（其中為常數）的圖象不可能表示直線。

　　說明從已知信息能夠推出什么結論？這是我們經常需要思考的問題，這里給出的都是必要非充分條件，讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件；另外，運用推出關系的傳遞性，在推出結論的基礎上進一步進行推理，還可得出很多結果，請讀者考慮．

　　探究關系式是否成立的問題

　　題目當成立時，關系式是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明理由。

　　解：因為，所以，所以，所以，所以或

　　所以或

　　所以不可能成立。

　　說明：像本例這樣的探索題，題目的結論是“兩可”（即兩種可能性）情形，而我們知道，說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執果索因的分析，不僅說明結論不成立，而且得出，必須同時大于1或同時小于1的結論。

　　探討增加什么條件使命題成立

　　例適當增加條件，使下列命題各命題成立：

　　（1）若，則；

　　（2）若，則；

　　（3）若，則；

　　（4）若，則

　　思路分析：

　　本例為條件型開放題，需要依據不等式的性質，尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

不等式的性質教案4

　　第四課時

　　教學目標

　　1．掌握分析法證明不等式；

　　2．理解分析法實質——執果索因；

　　3．提高證明不等式證法靈活性.

　　教學重點分析法

　　教學難點分析法實質的理解

　　教學方法啟發引導式

　　教學活動

　　（一）導入新課

　　（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評．

　　（學生活動）回答和思考教師提出的問題．

　　［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

　　［問題2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

　　[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）

　　設計意圖：復習已學證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節課學習內容：用分析法證明不等式．

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評．幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系．投影分析法證明不等式的概念．

　　（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知．

　　[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．

　　［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

　　［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？

　　［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

　　［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立．就是分析法的邏輯關系．

　　[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）

　　設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究．建立新的知識；分析法證明不等式．培養學習創新意識．

　　【例題示范、學會應用】

　　（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題．

　　（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

　　例1求證

　　[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法．

　　證明：（見課本）

　　[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難．此例中，我們很難想到從“”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此．

　　例2已知：，求證：（用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？

　　［投影］證法一：因為，所以、去分母，化為，就是．由已知成立，所以求證的不等式成立．

　　證法二：欲證，因為

　　只需證，即證，即證

　　因為成立，所以成立．

　　（證法二正確，證法一錯誤．錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤．）

　　[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：

　　（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）

　　分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反．②用分析法證明時要注意書寫格式．分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：

　　要證命題B為真，只需證明為真，從而有……

　　這只需證明為真，從而又有……

　　……

　　這只需證明A為真．

　　而已知A為真，故命題B必為真．

　　要理解上述格式中蘊含的邏輯關系．

　　[投影]例3證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大．

　　［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為，則周長為的圓的半徑為，截面積為；周長為的正方形邊長為，截面積為，所以本題只需證明：

　　證明：（見課本）

　　設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位．掌

　　握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系．靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力．

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正．點評練習中存在的問題．

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．

　　【字幕】練習

　　1．求證

　　2．求證：

　　設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學．

　　【分析歸納、小結解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法．

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記．

　　1．分析法是證明不等式的一種常用基本方法．當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的．

　　2．用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式．

　　設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．

　　（三）小結

　　（教師活動）教師小結本節課所學的知識．

　　（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．

　　本節課主要學習了用分析法證明不等式．應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：

　　通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質．另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的'靈活運用．理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面．有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程．

　　設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

　　（四）布置作業

　　1．課本作業：P174、5．

　　2．思考題：若，求證

　　3．研究性題：已知函數，若、，且證明

　　設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題．

　　（五）課后點評

　　教學過程是不斷發現問題、解決問題的思維過程．本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決．一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務．總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態．

　　本節課練中有講，講中有練，講練結合．在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化．教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法．

　　在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構．

　　作業答案：

　　思考題：

　　．因為，故，所以成立．

　　研究性題：令，則：

　　，故原不等式等價于

　　由已知有．。所以上式等價于，即。所以又等價于．因為，上式成立，所以原不等式成立。

　　不等式的實際解釋

　　題目：不等式：是正數，且，則。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即個單位溶液中含有個單位的溶質，其濃度小于加入個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。

　　分析與解

　　1．先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。

　　設地板面積為平方米，窗戶面積為平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的平方米，住宅的采光條件變好了，即有

　　2．是正數，不等式可以推出，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

　　3．電阻串并聯。電阻值為、的電阻，串聯電阻為，并聯電阻為，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式，即

　　說明許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題后，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。

不等式的性質教案5

　　教學目標

　　1、經歷通過類比、猜測、驗證發現不等式性質的探索過程，掌握不等式的性質;

　　2、初步體會不等式與等式的異同;

　　3、通過創設問題情境和實驗探究活動，積極引導學生參與數學活動，提高學習數學的興趣，增進學習數學的信心，體會在解決問題的過程中與他人交流合作的重要性.

　　教學難點：正確運用不等式的性質。

　　知識重點： 理解并掌握不等式的性質。

　　教學過程：

　　(師生活動) 設計理念提出問題教師出示天平，并請學生仔細觀察老師的操作過程，回答下列問題：

　　1、天平被調整到什么狀態?

　　2、給不平衡的天平兩邊同時加人相同質量的砝碼，天平會有什么變化?

　　3、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質量的砝碼，天平會有什么變化?

　　4、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的.質量同時擴大相同的倍數，天平會平衡嗎?縮小相同的倍數呢? 通過天平演示，結合自己的觀察和思考，讓學生感受生活中的不等關系。

　　探究新知 1、用或填空.

　　(1)-1 3 -1+2 3+2 -1-3 3-3

　　(2) 5 3 5+a 3+a 5-a 3-a

　　(3) 6 2 65 25 6(-5)2(-5)

　　(4) -2 3(-2)6 36

　　(-2)(-6) 3(一6)

　　(5)-4 -6 (-4)2(-6)2

　　(-4)十(-2) (-6)十(-2)

　　2、從以上練習中，你發現了什么?請你再用幾個例子試一試，還有類似的結論嗎?請把你的發現告訴同學們并與他們交流.

　　3、讓學生充分發表發現，師生共同歸納得出：

　　不等式性質1：不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(或式子)，不等號的方向不變.

　　不等式性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變.

　　不等式性質3：不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變.

　　4、你能說出不等式性質與等式性質的相同之處與不同

　　之處嗎? 通過動手、動口、動腦，引導學生運用類比、歸納的數學思想去探究問題，在品嘗成功的喜悅中激發出學數學的興趣。

　　滲透類比思想。

　　探究新知 4、下列哪些是不5、等式x+3 6的解?哪些不6、是?

　　-4，-2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12

　　2、直接想出不等式的解集，并在數軸上表示出來：

　　(1)x+3 6(2)2x 8(3)x-2 0

　　鞏固新知 1、判斷

　　(1)∵a b a-b b-b

　　(2)∵a b

　　(3)∵a b -2a -2b

　　(4)∵-2a 0 a 0

　　(5)∵-a 0 a 3

　　2、填空

　　(1)∵ 2a 3a a是數

　　(2)∵ a是數

　　(3)∵ax a且 x 1 a是數

　　3、根據下列已知條件，4、說出a與b的不5、等關系，6、并說明是根據不7、等式哪一條性質。

　　(1)a-3 b-3 (2)

　　(3)-4a -4b 設置這幾個練習，既可以培養學生獨立思考的能力，又可強化對概念的理解，使學生真正認識不等式的性質。

　　總結歸納

　　在學生自己總結的基礎上，教師應強調兩點：

　　1、等式性質與不等式性質的不同之處;

　　2、在運用不等式性質3時應注意的問題. 學生通過總結，可以幫助自

　　己從整體上把握本節課所學知

　　識，培養良好的學習習慣，也為

　　下節課學好解不等式打下基礎。

　　小結與作業

　　布置作業 1、必做題：教科書第134頁習題9.1第4、5題

　　2、選做題：教科書第134頁習題9. 1第7題.

　　3、備選題：

　　本課教育評注(課堂設計理念，實際教學效果及改進設想)

　　本節課設計旨在讓學生經歷通過實驗、猜測、驗證，發現不等式性質的探索過程.用類比和實驗探究法作為主要方法貫穿整個課堂教學之中，并以多媒體作為輔助教學手段.讓學生充分進行討論交流，在自主探索和合作學習中掌握不等式的性質.這樣就能有效地突破本節課的難點，為學生今后的學習打下堅實的基礎.

　　教學過程中貫穿了一條創設情境，引出新知實驗討論，得出性質探究辨析，突破難點運用性質，解決問題的線索，使學生真正成為學習的主人.在師生交流合作中營造互動的氛圍，讓學生積極主動地參與教學的整個過程，使他們的學習態度、情感意志和個性品質等都得到不同程度的提高.

　　為了突破教學難點，讓學生能熟練準確地運用不等式性質3，本課設計了多樣化的練習以鞏固所學知識.在學生回答、板演、討論的過程中，課堂氣氛被激活，教學難點被突破，使學生在輕松愉快的氛圍中扎實地掌握性質并靈活運用.同時，學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通.

不等式的性質教案6

　　一、教學目標：

　　（一）知識與技能

　　1．掌握不等式的三條基本性質。

　　2．運用不等式的基本性質對不等式進行變形。

　　（二）過程與方法

　　1．通過等式的性質，探索不等式的性質，初步體會“類比”的數學思想。

　　2．通過觀察、猜想、驗證、歸納等數學活動，經歷從特殊到一般、由具體到抽象的認知過程，感受數學思考過程的條理性，發展思維能力和語言表達能力。

　　（三）情感態度與價值觀

　　通過探究不等式基本性質的活動，培養學生合作交流的意識和大膽猜想，樂于探究的`良好思維品質。

　　二、教學重難點

　　教學重點：探索不等式的三條基本性質并能正確運用它們將不等式變形。

　　教學難點：不等式基本性質3的探索與運用。

　　三、教學方法：自主探究——合作交流

　　四、教學過程:

　　情景引入：1．舉例說明什么是不等式？

　　2．判斷下列各式是否成立？并說明理由。

　　( 1 ) 若x－6=10, 則x＝16( )

　　( 2 ) 若3x=15, 則 x＝5 ( )

　　( 3 ) 若x－6＞10 則 x＞16( )

　　( 4 ) 若3x＞15 則 x＞5 ( )

　　【設計意圖】（1）、（2）小題喚起對舊知識等式的基本性質的回憶，（3）、（4）小題引導學生大膽說出自己的想法。

　　溫故知新

　　問題1．由等式性質1你能猜想一下不等式具有什么樣的性質嗎？

　　等式性質1：等式兩邊都加上或減去同一個數（或同一個整式），所得結果仍是不等式。

　　估計學生會猜：不等式兩邊都加上或減去同一個數（或同一個整式），所得結果仍是不等式。教師引導：“＝”沒有方向性，所以可以說所得結果仍是等式，而不等號：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我們應該重點研究它在方向上的變化。

　　問題2．你能通過實驗、猜想，得出進一步的結論嗎？

　　同學通過實例驗證得出結論，師生共同總結不等式性質1。

　　問題3．你能由等式性質2進一步猜想不等式還具有什么性質嗎？

　　等式性質2：等式兩邊都乘或除以同一個數（除數不能是0），等式依然成立。

　　估計學生會猜：不等式兩邊都乘或除以同一個數（除數不能是0），不等號的方向不變。

　　你能和小伙伴一起來驗證你們的猜想嗎？

　　學生在小組內合作交流，發現了在不等式兩邊都乘或除以同一個數時，不等號的方向會出現兩種情況。教師進一步引導學生通過分析、比較探索規律，從而形成共識，歸納概括出不等式性質2和3。

　　問題4．在不等式兩邊都乘0會出現什么情況？

　　問題5．如果a、b、c表示任意數，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性質表示出來碼？

　　【想一想】不等式的基本性質與等式的基本性質有什么相同之處，有什么不同之處？

　　學生思考，獨立總結異同點。

　　【設計意圖】引導學生把二者進行比較，有助于加深對不等式基本性質的理解，促成知識的“正遷移”。

　　綜合訓練：你能運用不等式的基本性質解決問題嗎？

　　1、課本62頁例3

　　教師引導學生觀察每個問題是由a＞b經過怎樣的變形得到的，應該應用不等式的哪條基本性質。由學生思考后口答。

　　2、你認為在運用不等式的基本性質時哪一條性質最容易出錯，應該怎樣記住？

　　3．火眼金睛

　　①a＞1, 則2a___a

　　②a＞3a,則 a ___ 0

　　【設計意圖】通過變式訓練，加深學生對新知的理解，培養學生分析、探究問題的能力。

　　課堂小結：

　　這節課你有哪些收獲？你認為自己的表現如何？教師引導學生回顧、思考、交流。

　　【設計意圖】回顧、總結、提高。學生自覺形成本節的課的知識網絡。

　　思考題

　　咱們班的盛芳同學準備在五、一期間和他的爸爸、媽媽外出旅游。青年旅行社的標準為：大人全價，小孩半價；方正旅行社的標準為：大人、小孩一律八折。若兩家旅行社的基本價一樣，你能幫盛芳同學考慮一下選擇哪家旅行社更合算嗎？

　　【設計意圖】利用所學的數學知識，解決生活中的問題，加強數學與生活的聯系，體驗數學是描述現實世界的重要手段。

不等式的性質教案7

　　第四課時

　　教學目標

　　1．掌握分析法證明不等式；

　　2．理解分析法實質——執果索因；

　　3．提高證明不等式證法靈活性.

　　教學重點分析法

　　教學難點分析法實質的理解

　　教學方法啟發引導式

　　教學活動

　　（一）導入新課

　　（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評．

　　（學生活動）回答和思考教師提出的問題．

　　［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

　　［問題2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

　　[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）

　　設計意圖：復習已學證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，　　激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節課學習內容：用分析法證明不等式．

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知．

　　[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．

　　［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

　　［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？

　　［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

　　［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立．就是分析法的邏輯關系．

　　[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）

　　設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究．建立新的知識；分析法證明不等式．培養學習創新意識．

　　【例題示范、學會應用】

　　（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題．

　　（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

　　例1求證

　　[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法．

　　證明：（見課本）

　　[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難．此例中，我們很難想到從“”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的`基礎上，分析法的優越性正體現在此．

　　例2已知：，求證：（用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？

　　［投影］證法一：因為，所以、去分母，化為，就是．由已知成立，所以求證的不等式成立．

　　證法二：欲證，因為

　　只需證，即證，即證

　　因為成立，所以成立．

　　[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：

　　（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）

　　要證命題B為真，只需證明為真，從而有……

　　這只需證明為真，從而又有……

　　……

　　這只需證明A為真．

　　而已知A為真，故命題B必為真．

　　要理解上述格式中蘊含的邏輯關系．

　　[投影]例3證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大．

　　證明：（見課本）

　　設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位．掌

　　握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系．靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力．

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正．點評練習中存在的問題．

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．

　　【字幕】

　　練習1．求證

　　2．求證：

　　設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學．

　　【分析歸納、小結解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法．

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記．

　　2．用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式．

　　設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．

　　（三）小結

　　（教師活動）教師小結本節課所學的知識．

　　（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．

　　本節課主要學習了用分析法證明不等式．應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：

　　通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質．另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用．理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面．有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程．

　　設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

　　（四）布置作業

　　1．課本作業：P174、5．

　　2．思考題：若，求證

　　3．研究性題：已知函數，若、，且證明

　　設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題．

　　（五）課后點評

　　在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構．

　　作業答案：

　　思考題：

　　．因為，故，所以成立．

　　研究性題：令，則：

　　，故原不等式等價于

　　由已知有．。所以上式等價于，即。所以又等價于．因為，上式成立，所以原不等式成立。

　　不等式的實際解釋

　　分析與解

　　設地板面積為平方米，窗戶面積為平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的平方米，住宅的采光條件變好了，即有

　　2．是正數，不等式可以推出，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

　　3．電阻串并聯。電阻值為、的電阻，串聯電阻為，并聯電阻為，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式，即

不等式的性質教案8

　　第二課時

　　教學目標

　　1．進一步熟練掌握比較法證明不等式；

　　2．了解作商比較法證明不等式；

　　3．提高學生解題時應變能力.

　　教學重點比較法的應用

　　教學難點常見解題技巧

　　教學方法啟發引導式

　　教學活動

　　（一）導入新課

　　（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評．

　　（學生活動）思考問題，回答．

　　［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

　　2．比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？

　　3．用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

　　[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形．在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用．（板書課題）

　　設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容．

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評．

　　（學生活動）嘗試解決問題．

　　[問題]

　　1．化簡

　　2．比較與（）的大小．

　　（學生解答問題）

　　［點評］

　　①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化．

　　②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小．

　　設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系．

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程．

　　（學生活動）分析，研究問題．

　　［字幕］例題3已知a，b是正數，且，求證

　　［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形．

　　證明：（見課本）

　　［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范．

　　[字幕]例4試問：與（）的大小關系．并說明理由．

　　［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號．

　　解：

　　因為，所以，若，則所以．

　　即

　　若，則所以．

　　即

　　若，則所以．

　　即

　　綜上所述：時，時，時，　　［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時要不重不漏．

　　［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點．甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點．

　　[分析]設從出發地點至指定地點的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為，要回答題目中的問題，只要比較、的大小就可以了．

　　解：（見課本）

　　［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題．要培養自己學數學，用數學的良好品質．

　　設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法．培養學生應用知識解決實際問題的能力．

　　【課堂練習】

　　（教師活動）教師打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題．

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．

　　［字幕］練習：1．設，比較與的大小．

　　2．已知，求證

　　設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號．反饋信息，調節課堂教學．

　　【分析歸納、小結解法】

　　（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟．

　　（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上．

　　1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法．

　　2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

　　3．會用分類討論的方法確定差式的符號．

　　4．利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟．②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答．

　　設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系．

　　（三）小結

　　（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學思想與方法．

　　（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．

　　本節課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題．

　　通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的.能力．

　　設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學思想方法．

　　（四）布置作業

　　1．課本作業：P177、8。

　　2，思考題：已知，求證

　　3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

　　設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力．

　　（五）課后點評

　　1．教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動．

　　2．教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用．例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用．

　　作業答案

　　思考題：證明：

　　因為，所以當時，故

　　又因為，所以

　　當時，故，即，所以

　　當時，.故，即，所以

　　綜上所述，研究性題：設兩地距離為，船在靜水中的速度為，水流速度為（），則

　　所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長．

　　第三課時

　　教學目標

　　1.掌握綜合法證明不等式；

　　2.熟練掌握已學的重要不等式；

　　3.增強學生的邏輯推理能力.

　　教學重點綜合法

　　教學難點不等式性質的綜合運用

　　教學方法啟發引導式

　　教學活動

　　（－）導入新課

　　（教師活動）打出字幕（課前練習），引導學生回憶所學的知識，盡量用多種方法完成練習，投影學生不同解法，并點評．

　　（學生活動）完成練習．

　　［字幕］

　　1．證明（）．

　　2．比較與的大小，并證明你的結論．

　　1．證法一：由，所以

　　方法二：由，知，即，所以

　　2．答：

　　證法一：由，所以

　　證法二：由知，所以

　　［點評］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們在6．1節和6．2節已學過，這種方法是綜合法，是本節課學習的內容．（板書課題）

　　設計意圖：通過練習，復習比較法證明不等式，導入新課：綜合法證明不等式．提出學習任務．

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）教師提出問題：用上述方法二證明，并點評證法的數學原理，（學生活動）學生研究證明不等式．

　　[問題]證明

　　（證明：因為，所以，即．）

　　[點評]

　　①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

　　②綜合法證題方法：由已知推出結論．這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質．

　　設計意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識，構建用綜合法證明不等式的方法原理．

　　【例題示范、學會應用】

　　（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用綜合法證明不等式，并點評用綜合法證明不等式必須注意的問題．

　　（學生活動）學生在教師誘導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

　　例1已知，求證

　　［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數，可用平均值定理作為已知不等式推證．

　　證明：因為，則，所以．故

　　［點評］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結構特征．

　　例2已知a，b，c是不全相等的正數，求證

　　[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由出發可證．

　　證明一（見課本）

　　證明二：

　　因為a，b，c是不全相等的正數．所以，且三式不能全取“=”號．

　　所以

　　即

　　[點評]

　　①綜合法的思維特點是：由已知推出結論．用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：

　　；（）；（）；（a，b同號），（）。

　　②此例中條件a，b，c是不全相等的正數，所以最后所證不等式取不到等號．

　　③由于作為綜合法證明依據的不等式本身是可以根據不等式的意義、性質或比較法證出

　　的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據不等式的意義、性質或比較法來證明．

　　我們在證明不等式時，選擇方法要適當，不要對某種方法抱定不放，要善于觀察，根據題目的特征選擇證題方法．

　　設計意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內在聯系．

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正，點評練習中存在的問題．

　　（學生活動）在筆記本上完成練習．甲、乙兩位同學板演．

　　［字幕］練習1已知，求證

　　2．已知，求證

　　設計意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會靈活運用重要不等式作為證明中的已知不等式．反饋課堂效果，調節課堂教學．

　　【分析歸納，小結解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程．小結用綜合法證明不等式的解題方法．

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上．

　　1．綜合法是證明不等式的基本方法．用綜合法證明不等式的邏輯關系是：…（A為已經證明過的不等式，B為要證的不等式）．即綜合法是“由因導果”．

　　2．運用不等式的性質和已證明過的木等式時，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結論無誤．

　　設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法．

　　（三）小結

　　（教師活動）教師小結本節課所學的知識．

　　（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上．

　　本節課學習了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據是：l。已知條件和不等式性質；2．基本不等式．能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據是基本不等式時，要注意定理的使用條件和定理中“=”號成立的條件．

　　設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

　　（四）布置作業

　　1．課本作業：P175．6．

　　2．思考題：若，求證

　　3．研究性題：某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以千米／小時的速度直達災區．已知某市到災區的公路線長400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于千米．

　　那么，這批物資全部到達災區的最短時間是多少？

　　設計意圖：課本作業鞏固基礎知識，思考題供學有余力的同學完成．研究性題培養學生應用數學知識解決實際問題的能力．

　　（五）課后點評

　　1．在導入新課時設計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用已學過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使學生沒有想到，教師引導起來也并不困難．因而順著學生的思路，幫助學生形成用綜合法證明不等式的知識結構．

　　2．例1與例2的學習使學生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發現綜合法與比較法的內在聯系．在教學設計上，力圖從學生的需要出發設計問題，幫助學生抓住知識的內在聯系，使學到的方法能用、會用．

　　作業答案

　　思考題：證明：因為，又因為，所以．同理；將上述三個不等式相加得

　　所以

　　研究性題：設最后一輛車到達時用的時間為小時，則

　　所以最短時間為12小時．

不等式的性質教案9

　　———===分頁標題===———

　　教學目標

　　1．理解不等式的性質，掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系，并掌握它們的證明方法以及功能、運用；

　　2．掌握兩個實數比較大小的一般方法；

　　3．通過不等式性質證明的學習，提高學生邏輯推論的能力；

　　4．提高本節內容的學習，培養學生條理思維的習慣和認真嚴謹的學習態度；

　　教學建議

　　1．教材分析

　　（1）知識結構

　　本節首先通過數形結合，給出了比較實數大小的方法，在這個基礎上，給出了不等式的性質，一共講了五個定理和三個推論，并給出了嚴格的證明。

　　（2）重點、難點分析

　　在“不等式的性質”一節中，聯系了實數和數軸的對應關系、比較實數大小的方法，復習了初中學過的不等式的基本性質。

　　不等式的性質是穿越本章內容的一條主線，無論是算術平均數與幾何平均數的定理的`證明及其應用，不等式的證明和解一些簡單的不等式，無不以不等式的性質作為基礎。

　　本節的重點是比較兩個實數的大小，不等式的五個定理和三個推論；難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

　　①比較實數的大小

　　教材運用數形結合的觀點，從實數與數軸上的點一一對應出發，與初中學過的知識“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”利用數軸可以比較數的大小。

　　指出比較兩實數大小的方法是求差比較法：

　　比較兩個實數a與b的大小，歸結為判斷它們的差a－b的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則。

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號。

　　②理清不等式的幾個性質的關系

　　教材中的不等式共5個定理3個推論，是從證明過程安排順序的．從這幾個性質的分類來說，可以分為三類：

　　（Ⅰ）不等式的理論性質：（對稱性）

　　（傳遞性）

　　（Ⅱ）一個不等式的性質：

　　（n∈N，n＞1）

　　（Ⅲ）兩個不等式的性質：

　　2．教法建議

　　本節課的核心是培養學生的變形技能，訓練學生的推理能力．為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎．

　　授課方法可以采取講授與問答相結合的方式．通過問答形式不斷地給學生設置疑問（即：設疑）；對教學難點，再由講授形式解決疑問．（即：解疑）．主要思路是：教師設疑→學生討論→教師啟發→解疑．

　　教學過程可分為：發現定理、定理證明、定理應用，采用由形象思維到抽象思維的過渡，發現定理、證明定理．采用類比聯想，變形轉化，應用定理或應用定理的證明思路；解決一些較簡單的證明題．

　　第一課時

　　教學目標

　　1．掌握實數的運算性質與大小順序間關系；

　　2．掌握求差法比較兩實數或代數式大小；

　　3．強調數形結合思想。

　　教學重點

　　比較兩實數大小

　　教學難點

　　理解實數運算的符號法則

　　教學方法

　　啟發式

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，在數軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大。例如，在右圖中，點A表示實數，點B表示實數，點A在點B右邊，那么。我們再看右圖，表示減去所得的差是一個大于0的數即正數。一般地：若，則是正數；逆命題也正確。類似地，若，則是負數；若，則。它們的逆命題都正確。這就是說：（打出幻燈片1）

　　由此可見，要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節課將要學習的主要內容。

　　二、講授新課

　　1．比較兩實數大小的方法——求差比較法

　　比較兩個實數與的大小，歸結為判斷它們的差的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則。

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號。

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法。

　　2．例題講解

　　例1 比較與的大小。

　　分析：此題屬于兩代數式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負，并根據實數運算的符號法則來得出兩個代數式的大小。

　　解：

　　∴

　　例2 已知，比較（與的大小。

　　分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應用經常被學生所忽略。

　　由得，從而請同學們想一想，在例2中，如果沒有這個條件，那么比較的結果如何？

　　（學生回答：若沒有這一條件，則，從而大于或等于）

　　為了使大家進一步掌握求差比較法，我們來進行下面的練習。

　　三、課堂練習

　　1．比較的大小。

　　2．如果，比較的大小。

　　3．已知，比較與的大小。

　　要求：學生板演練習，老師講評，并強調學生注意加限制條件的題目。

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要明確實數運算的符號法則，掌握求差比較法來比較兩實數或代數式的大小。

　　課后作業

　　習題6，1 1，2，3。

不等式的性質教案10

　　探究活動

　　能得到什么結論

　　題目已知且，你能夠推出什么結論？

　　分析與解：由條件推出結論，我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大，對已知變量作運算，運用不等式的性質，或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。

　　思路一：改變的范圍，可得：

　　1．且；

　　2．且；

　　思路二：由已知變量作運算，可得：

　　3．且；

　　4．且；

　　5．且；

　　6．且；

　　7．且；

　　思路三：考慮含有的數學表達式具有的性質，可得：

　　8．（其中為實常數）是三次方程；

　　9．（其中為常數）的圖象不可能表示直線。

　　探究關系式是否成立的'問題

　　題目當成立時，關系式是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明理由。

　　解：因為，所以，所以，所以，所以或

　　所以或

　　所以不可能成立。

　　探討增加什么條件使命題成立

　　例適當增加條件，使下列命題各命題成立：

　　（1）若，則；

　　（2）若，則；

　　（3）若，則；

　　（4）若，則

　　思路分析：本例為條件型開放題，需要依據不等式的性質，尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

　　引申發散對命題（3），能否增加條件，或，使其成立？請闡述你的理由。

不等式的性質教案11

　　教學過程（師生活動）：

　　提出問題：

　　某地慶典活動需燃放某種禮花彈．為確保人身安全，要求燃放者在點燃導火索后于燃放前轉移到10米以外的地方．已知導火索的燃燒速度為0.02m/s，人離開的速度是4m/s，導火索的長x(m)應滿足怎樣的關系式？

　　你會運用已學知識解這個不等式嗎？請你說說解這個不等式的過程．

　　探究新知：

　　1、在學生充分發表意見的基礎上，師生共同歸納出這個不等式的解法．教師規范地板書解的過程．

　　2、例題．

　　解下列不等式，并在數軸上表示解集：

　　(1)x≤50(2)-4x3

　　(3)7－3x≤10(4)2x-33x＋1

　　分組活動．先獨立思考，然后請4名學生上來板演，其余同學組內相互交流，作出記錄，最后各組選派代表發言，點評板演情況．教師作總結講評并示范解題格式．

　　3、教師提問：從以上的求解過程中，你比較出它與解方程有什么異同？

　　讓學生展開充分討論，體會不等式和方程的內在聯系與不同之處.

　　鞏固新知：

　　1、解下列不等式，并在數軸上表示解集：

　　（1）（2）－8x10

　　2、用不等式表示下列語句并寫出解集：

　　（1）x的3倍大于或等于1；

　　（2）y的的差不大于－2.

　　解決問題：

　　測量一棵樹的樹圍（樹干的周長）可以計算它的.樹齡一般規定以樹干離地面1.5m的地方作為測量部位．某樹栽種時的樹圍為5cm，以后樹圍每年增加約3cm.這棵樹至少生一長多少年，其樹圍才能超過2.4m？

　　總結歸納：

　　圍繞以下幾個問題：

　　1、這節課的主要內容是什么？

　　2、通過學習，我取得了哪些收獲？

　　3、還有哪些問題需要注意？

　　讓學生自己歸納，教師僅做必要的補充和點撥?

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