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七年級數學下第3章整式的乘除單元試題
一、選擇題(本題有10小題，每小題3分，共30分)
下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.
1﹒已知xa=2，xb=3，則x3a+2b等于( )
A﹒17 B﹒72 C﹒24 D﹒36
2﹒下列計算正確的是( )
A﹒(a2)3=a5 B﹒(-2a)2=-4a2 C﹒m3•m2=m6 D﹒a6÷a2=a4
3﹒科學家在實驗中測出某微生物約為0.0000035米，將0.0000035用科學記數法表示為( )
A﹒3.5×10-6 B﹒3.5×106 C﹒3.5×10-5 D﹒35×10-5
4﹒下列計算不正確的是( )
A﹒(-2)3÷(-25)= B﹒(-2×102)(-8×10-3)=1.6
C﹒23×( )-3=1 D﹒( )2×(- )-2=1
5﹒下列計算正確的是( )
A﹒5x6•(-x3)2=-5x12 B﹒(x2+3y)(3y-x2)=9y2-x4
C﹒8x5÷2x5=4x5 D﹒(x-2y)2=x2-4y2
6﹒已知M=20162，N=2015×2017，則M與N的大小是( )
A﹒M>N B﹒M
7﹒當x取任意實數時，等式(x+2)(x-1)=x2+mx+n恒成立，則m+n的值為( )
A﹒1 B﹒2 C﹒-1 D﹒-2
8﹒已知x2-4x-1=0，則代數式2x(x-3)-(x-1)2+3的值為( )
A﹒3 B﹒2 C﹒1 D﹒-1
9﹒若 ÷ =a2， =b3，則(x+y)2的平方根是( )
A﹒4 B﹒±4 C﹒±6 D﹒16
10.若代數式[2x3(2x+1)-x2]÷2x2與x(1-2x)的值互為相反數，則x的值是( )
A﹒0 B﹒ C﹒4 D﹒
二、填空題(本題有6小題，每小題4分，共24分)
要注意認真看清題目的條件和要填寫的內容，盡量完整地填寫答案.
11.計算：(-2ab2)3=_________.
12.若ax3my12÷3x3y2n=4x6y8，則(2m+n-a)n=____________﹒
13.若(2x+3y)(mx-ny)=4x2-9y2，則mn=___________.
14.如圖，在長為2a+3，寬為a+1的長方形鐵片上剪去兩個邊長均
為a-1(a>1)的正方形，則剩余部分的面積是______________
(用含a的代數式表示).
15. 已知a+b=8，a2b2=4，則 (a2+b2)-ab=____________.
16.若2x3-ax2-5x+5=(2x2+ax-1)(x-b)+3，其中a，b為整數，則 =_________.
三、解答題(本題有7小題，共66分)
解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟.
17.(8分)計算：
(1) + ×( -2)0- + ﹒
(2)(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a-b)(3a+b)﹒
18.(10分)先化簡，再求值：
(1)[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷x2y，其中x=2017，y=2016﹒
(2)(2m- n)2+(2m- n)(-2m- n)，其中m，n滿足方程組 ﹒
19.(8分)小明與小亮在做游戲，兩人各報一個整式，小明報的整式作被除式，小亮報的整式作除式，要求商式必須為2xy﹒若小明報的是x3y-2xy2，小亮應報什么整式?若小亮也報x3y-2xy2，那么小明能報一個整式嗎?說說你的理由﹒
20.(8分)觀察下列關于自然數的等式：
22﹣9×12=-5 ①
52﹣9×22=-11 ②
82﹣9×32=-17 ③
…
根據上述規律，解決下列問題：
(1)完成第四個等式：112﹣9×_______=___________.
(2)根據上面的規律，寫出你猜想的第n個等式(等含n的等式表示)，并驗證其正確性.
21.(10分)閱讀下列材料，解答問題：
在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的積中，x3項的系數為-5，x2的系數為-6，求a，b的值.
解：(x2+ax+b)(2x2-3x-1)
=2x4-3x3+2ax3-3ax2+2bx2-3bx6……①
=2x4-(3-2a)x3-(3a-2b)x2-3bx……②
根據對應項系數相等有 ，解得 ，……③
(1)上述解答過程是否正確?
(2)若不正確，從第幾步開始出現錯誤?其它步驟是否還有錯誤?
(3)請你寫出正確的解答過程.
22.(10分)一張如圖1的長方形鐵皮，四個角都剪去邊長為30cm的正方形，再將四周折起，做成一個有底無蓋的鐵盒如圖2，鐵盒底面長方形的長為4a(cm)，寬為3a(cm)，這個無蓋鐵盒的各個面的面積之和稱為鐵盒的全面積.
(1)請用含a的代數式表示圖1中原長方形鐵皮的面積.
(2)若要在鐵盒的各個面漆上某種油漆，每元錢可漆的面積為 (cm2)，則油漆這個鐵盒需要多少錢(用含a的代數式表示)?
(3)是否存在一個正整數a，使得鐵盒的全面積是底面積的正整數倍?若存在，請求出這個a的值;若不存在，請說明理由.
23.(12分)如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”﹒如：4=22-02;12=42-22;20=62-42，因此4，12，20這三個數都是神秘數.
(1)28和2016這兩個數是神秘數嗎?為什么?
(2)設兩個連續偶數為2k+2和2k(其中k取非負整數)，由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎?為什么?
(3)兩個連續奇數的平方差(k取正數)是神秘數嗎?為什么?
浙教版七下數學第3章《整式的乘除》單元培優測試題
參考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C B A C A B D
二、填空題
11﹒-8a3b6﹒ 12﹒ 16﹒ 13﹒ 6﹒
14﹒9a+1﹒ 15﹒ 0或8﹒ 16﹒ ﹒
三、解答題
17.解答：(1) + ×( -2)0- +
=2+(-3)×1-3+(-1)
=2-3-3-1
=-5﹒
(2)(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a-b)(3a+b)
=b2+2ab+3a2+ab-3ab-b2
=3a2﹒
18.解答：(1)[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷x2y
=[2x3y-2x2y2+x2y2-x3y] ÷x2y
=[x3y-x2y2] ÷x2y
=x-y
當x=2017，y=2016時，原式=2017-2016=1﹒
(2)解方程組 ，得 ，
(2m- n)2+(2m- n)(-2m- n)
=4m2-2mn+ n2-(2m- n)(2m+ n)
=4m2-2mn+ n2-4m2+ n2
=-2mn+ n2
當m=3，n=-1時，原式=-2×3×(-1)+ ×(-1)2=-5 ﹒
19.解答：當小明報x3y-2xy2時，(x3y-2xy2)÷2xy=x3y÷2xy-2xy2÷2xy= x2-y，
所以小亮報的整式是 x2-y;
小明也能報一個整式，理由如下：
∵(x3y-2xy2)•2xy=x3y•2xy-2xy2•2xy=2x4y2-4x2y3，
∴小明報的整式是2x4y2-4x2y3.
20.解答：(1)由①②③三個等式的規律，可得出第四個等式：112﹣9×42=-23，
故答案為：42，-23.
(2)猜想：第n個等式為(3n-1)2-9n2=-6n+1;
驗證：∵左邊=(3n-1)2-9n2=9n2-6n+1-9n2=-6n+1，右邊=-6n+1，
∴左邊=右邊，
即(3n-1)2-9n2=-6n+1﹒
21.解答：(1)不正確，
(2)從第①步開始出現錯誤，還有第③步也出現錯誤，
(3)正確的解答過程如下：
∵(x2+ax+b)(2x2-3x-1)
=2x4-3x3-x2+2ax3-3ax2-ax+2bx2-3bx-b
=2x4+(2a-3)x3+(-3a+2b-1)x2+(-a-3b)x-b，
∴展開式中含x3的項為(2a-3)x3，含x2的項為(-3a+2b-1)x2，
由題意，得 ，解得 ﹒
22.解答：(1)原長方形鐵皮的面積為(4a+60)(3a+60)=12a2+420a+3600(cm2);
(2)油漆這個鐵盒的全面積是：12a2+2×30×4a+2×30×3a=12a2+420a(cm2)，
則油漆這個鐵盒需要的錢數是：(12a2+420a)÷ =(12a2+420a)× =600a+21000(元);
(3)鐵盒的全面積是：4a×3a+4a×30×2+3a×30×2=12a2+420a(cm2)，
底面積是：4a×3a=12a(cm2)，
假設存在正整數n，使12a2+420a=n(12a2)，
∵a是正整數，∴(n-1)a=35，
則a=35，n=2或a=7，n=6或a=1，n=36，
所以存在鐵盒的全面積是底面積的正整數倍，這時a=35或7或1.
23. 解答：(1)∵28=4×7=82-62，2016=4×504=5052-5032，
∴28和2016這兩個數是神秘數;
(2)是4的倍數，理由如下：
∵(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=8k+4=4(2k+1)，
又k是非負整數，
∴由這兩個連續偶數2k+2和2k構造的神秘數是4的倍數;
(3)兩個連續奇數的平方差不是神秘數，理由如下：
設這兩個連續奇數為2k+1，2k-1，
則(2k+1)2-(2k-1)2=4k2+4k+1-(4k2-4k+1)=4k2+4k+1-4k2+4k-1=8k=4×2k，
由(2)知神秘數應為4的奇數倍，故兩個連續奇數的平方差不是神秘數﹒
Ⅱ﹒解答部分：
一、選擇題
1﹒已知xa=2，xb=3，則x3a+2b等于( )
A﹒17 B﹒72 C﹒24 D﹒36
解答：∵xa=2，xb=3，
∴x3a+2b=(xa)3•(xb)2=8×9=72.
故選：B.
2﹒下列計算正確的是( )
A﹒(a2)3=a5 B﹒(-2a)2=-4a2 C﹒m3•m2=m6 D﹒a6÷a2=a4
解答：A﹒(a2)3=a6，故此項錯誤;B﹒(-2a)2=4a2，故此項錯誤;C﹒m3•m2=m5，故此項錯誤;D﹒a6÷a2=a4，故此項正確.
故選：D.
3﹒科學家在實驗中測出某微生物約為0.0000035米，將0.0000035用科學記數法表示為( )
A﹒3.5×10-6 B﹒3.5×106 C﹒3.5×10-5 D﹒35×10-5
解答：0.0000035=3.5×10-6.
故選：A.
4﹒下列計算不正確的是( )
A﹒(-2)3÷(-25)= B﹒(-2×102)(-8×10-3)=1.6
C﹒23×( )-3=1 D﹒( )2×(- )-2=1
解答：A﹒(-2)3÷(-25)=(-2)3÷(-2)5=(-2)-2= ，故此項正確;
B﹒(-2×102)(-8×10-3)=[(-2)×(-8)]×(102×10-3)=16× =1.6，故此項正確;
C﹒23×( )-3=23×23=8×8=64，故此項錯誤;
D﹒( )2×(- )-2=( )2×( )-2=( )0=1，故此項正確.
故選：C.
5﹒下列計算正確的是( )
A﹒5x6•(-x3)2=-5x12 B﹒(x2+3y)(3y-x2)=9y2-x4
C﹒8x5÷2x5=4x5 D﹒(x-2y)2=x2-4y2
解答：A﹒5x6•(-x3)2=5x6•x6=5x12，故此項錯誤;B﹒(x2+3y)(3y-x2)=9y2-x4，故此項正確;C﹒8x5÷2x5=4，故此項錯誤;D﹒(x-2y)2=x2-4xy+4y2，故此項錯誤.
故選：B.
6﹒已知M=20162，N=2015×2017，則M與N的大小是( )
A﹒M>N B﹒M
解答：∵N=2015×2017=(2016-1)(2016+1)=20162-1，M=20162，
∴M>N﹒
故選：A.
7﹒當x取任意實數時，等式(x+2)(x-1)=x2+mx+n恒成立，則m+n的值為( )
A﹒1 B﹒2 C﹒-1 D﹒-2
解答：∵(x+2)(x-1)=x2+x-2，
又等式(x+2)(x-1)=x2+mx+n恒成立，
∴m=1，n=-2，
∴m+n=-1.
故選：C.
8﹒已知x2-4x-1=0，則代數式2x(x-3)-(x-1)2+3的值為( )
A﹒3 B﹒2 C﹒1 D﹒-1
解答：∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，
∴2x(x-3)-(x-1)2+3=2x2-6x-(x2-2x+1)+3=2x2-6x-x2+2x-1+3=x2-4x+2=3﹒
故選：A﹒
9﹒若 ÷ =a2， =b3，則(x+y)2的平方根是( )
A﹒4 B﹒±4 C﹒±6 D﹒16
解答：由 ÷ =a2，得x-y=2，由 =b3，得xy=3，
把x-y=2兩邊平方，得x2-2xy+y2=4，則x2+y2=4+2xy=10，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=10+6=16﹒
∴(x+y)2的平方根是±4﹒
故選：B.
10.若代數式[2x3(2x+1)-x2]÷2x2與x(1-2x)的值互為相反數，則x的值是( )
A﹒0 B﹒ C﹒4 D﹒
解答：∵代數式[2x3(2x+1)-x2]÷2x2與x(1-2x)的值互為相反數，
∴[2x3(2x+1)-x2]÷2x2+x(1-2x)=0，
(4x4+2x3-x2)÷2x2+x-2x2=0
2x2+x- +x-2x2=0
2x- =0，
x= ，
故選：D.
二、填空題
11.計算：(-2ab2)3=_________.
解答：原式=-8a3b6•
故答案為：-8a3b6﹒
12.若ax3my12÷3x3y2n=4x6y8，則(2m+n-a)n=____________﹒
解答：∵ax3my12÷3x3y2n=(a÷3)x3m-3y12-2n=4x6y8，
∴a÷3=4，3m-3=6，12-2n=8，
∴a=12，m=3，n=2，
∴(2m+n-a)n=(6+2-12)2=16﹒
故答案為：16﹒
13.若(2x+3y)(mx-ny)=4x2-9y2，則mn=___________.
解答：∵(2x+3y)(2x-3y)=4x2-9y2，
∴m=2，n=3，
∴mn=6﹒
故答案為：6﹒
14.如圖，在長為2a+3，寬為a+1的長方形鐵片上剪去兩
個邊長均為a-1(a>1)的正方形，則剩余部分的面積
是______________(用含a的代數式表示).
解答：由題意，知：剩余部分的面積是(2a+3)(a+1)-2(a-1)2=2a2+2a+3a+3-2(a2-2a+1)=2a2+5a+3-2a2+4a-2=9a+1﹒
故答案為：9a+1﹒
15. 已知a+b=8，a2b2=4，則 (a2+b2)-ab=____________.
解答：∵a2b2=4，∴ab=±2，
當ab=2時，a2+b2=(a+b)2-2ab=8-4=4，
則 (a2+b2)-ab= ×4-2=0，
當ab=-2時，a2+b2=(a+b)2-2ab=8+4=12，
則 (a2+b2)-ab= ×12+2=8﹒
故答案為：0或8﹒
16.若2x3-ax2-5x+5=(2x2+ax-1)(x-b)+3，其中a，b為整數，則 =_________.
解答：∵(2x2+ax-1)(x-b)+3
=2x3+ax2-x-2bx2-abx+b+3
=2x3-(2b-a)x2-(ab+1)x+b+3，
∴ ，解得 ，
∴ = = ，
故答案為： ﹒
三、解答題
17.(8分)計算：
(1) + ×( -2)0- + ﹒
解答： + ×( -2)0- +
=2+(-3)×1-3+(-1)
=2-3-3-1
=-5﹒
(2)(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a-b)(3a+b)
解答：(4ab3+8a2b2)÷4ab+ (a-b)(3a+b)
=b2+2ab+3a2+ab-3ab-b2
=3a2﹒
18.(10分)先化簡，再求值：
(1)[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷x2y，其中x=2017，y=2016.
解答：[2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷x2y
=[2x3y-2x2y2+x2y2-x3y] ÷x2y
=[x3y-x2y2] ÷x2y
=x-y
當x=2017，y=2016時，原式=2017-2016=1﹒
(2)(2m- n)2+(2m- n)(-2m- n)，其中m，n滿足方程組 ﹒
解答：解方程組 ，得 ，
(2m- n)2+(2m- n)(-2m- n)
=4m2-2mn+ n2-(2m- n)(2m+ n)
=4m2-2mn+ n2-4m2+ n2
=-2mn+ n2
當m=3，n=-1時，原式=-2×3×(-1)+ ×(-1)2=-5 ﹒
19.(8分)小明與小亮在做游戲，兩人各報一個整式，小明報的整式作被除式，小亮報的整式作除式，要求商式必須為2xy﹒若小明報的是x3y-2xy2，小亮應報什么整式?若小亮也報x3y-2xy2，那么小明能報一個整式嗎?說說你的理由﹒
解答：當小明報x3y-2xy2時，(x3y-2xy2)÷2xy=x3y÷2xy-2xy2÷2xy= x2-y，
所以小亮報的整式是 x2-y;
小明也能報一個整式，理由如下：
∵(x3y-2xy2)•2xy=x3y•2xy-2xy2•2xy=2x4y2-4x2y3，
∴小明報的整式是2x4y2-4x2y3.
20.(8分)觀察下列關于自然數的等式：
22﹣9×12=-5 ①
52﹣9×22=-11 ②
82﹣9×32=-17 ③
…
根據上述規律，解決下列問題：
(1)完成第四個等式：112﹣9×_______=___________.
(2)根據上面的規律，寫出你猜想的第n個等式(等含n的等式表示)，并驗證其正確性.
解答：(1)由①②③三個等式的規律，可得出第四個等式：112﹣9×42=-23，
故答案為：42，-23.
(2)猜想：第n個等式為(3n-1)2-9n2=-6n+1;
驗證：∵左邊=(3n-1)2-9n2=9n2-6n+1-9n2=-6n+1，右邊=-6n+1，
∴左邊=右邊，
即(3n-1)2-9n2=-6n+1﹒
21.(10分)閱讀下列材料，解答問題：
在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的積中，x3項的系數為-5，x2的系數為-6，求a，b的值.
解：(x2+ax+b)(2x2-3x-1)
=2x4-3x3+2ax3-3ax2+2bx2-3bx6……①
=2x4-(3-2a)x3-(3a-2b)x2-3bx……②
根據對應項系數相等有 ，解得 ，……③
(1)上述解答過程是否正確?
(2)若不正確，從第幾步開始出現錯誤?其它步驟是否還有錯誤?
(3)請你寫出正確的解答過程.
解答：(1)不正確，
(2)從第①步開始出現錯誤，還有第③步也出現錯誤，
(3)正確的解答過程如下：
∵(x2+ax+b)(2x2-3x-1)
=2x4-3x3-x2+2ax3-3ax2-ax+2bx2-3bx-b
=2x4+(2a-3)x3+(-3a+2b-1)x2+(-a-3b)x-b，
∴展開式中含x3的項為(2a-3)x3，含x2的項為(-3a+2b-1)x2，
由題意，得 ，解得 ﹒
22.(10分)一張如圖1的長方形鐵皮，四個角都剪去邊長為30cm的正方形，再將四周折起，做成一個有底無蓋的鐵盒如圖2，鐵盒底面長方形的長為4a(cm)，寬為3a(cm)，這個無蓋鐵盒的各個面的面積之和稱為鐵盒的全面積.
(1)請用含a的代數式表示圖1中原長方形鐵皮的面積.
(2)若要在鐵盒的各個面漆上某種油漆，每元錢可漆的面積為 (cm2)，則油漆這個鐵盒需要多少錢(用含a的代數式表示)?
(3)是否存在一個正整數a，使得鐵盒的全面積是底面積的正整數倍?若存在，請求出這個a的值;若不存在，請說明理由.
解答：(1)原長方形鐵皮的面積為(4a+60)(3a+60)=12a2+420a+3600(cm2);
(2)油漆這個鐵盒的全面積是：12a2+2×30×4a+2×30×3a=12a2+420a(cm2)，
則油漆這個鐵盒需要的錢數是：(12a2+420a)÷ =(12a2+420a)× =600a+21000(元);
(3)鐵盒的全面積是：4a×3a+4a×30×2+3a×30×2=12a2+420a(cm2)，
底面積是：4a×3a=12a(cm2)，
假設存在正整數n，使12a2+420a=n(12a2)，
∵a是正整數，∴(n-1)a=35，
則a=35，n=2或a=7，n=6或a=1，n=36，
所以存在鐵盒的全面積是底面積的正整數倍，這時a=35或7或1.
23.(12分)如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”.如：4=22-02;12=42-22;20=62-42，因此4，12，20這三個數都是神秘數.
(1)28和2016這兩個數是神秘數嗎?為什么?
(2)設兩個連續偶數為2k+2和2k(其中k取非負整數)，由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎?為什么?
(3)兩個連續奇數的平方差(k取正數)是神秘數嗎?為什么?
解答：(1)∵28=4×7=82-62，2016=4×504=5052-5032，
∴28和2016這兩個數是神秘數;
(2)是4的倍數，理由如下：
∵(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=8k+4=4(2k+1)，
又k是非負整數，
∴由這兩個連續偶數2k+2和2k構造的神秘數是4的倍數;
(3)兩個連續奇數的平方差不是神秘數，理由如下：
設這兩個連續奇數為2k+1，2k-1，
則(2k+1)2-(2k-1)2=4k2+4k+1-(4k2-4k+1)=4k2+4k+1-4k2+4k-1=8k=4×2k，
由(2)知神秘數應為4的奇數倍，故兩個連續奇數的平方差不是神秘數.
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