2016年上海市中考數學試題及答案
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一、選擇題：本大題共6小題，每小題4分，共24分
1.如果a與3互為倒數，那么a是( )
A.﹣3 B.3 C.﹣ D.
2.下列單項式中，與a2b是同類項的是( )
A.2a2b B.a2b2C.ab2D.3ab
3.如果將拋物線y=x2+2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是( )
A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=x2+1 D.y=x2+3
4.某校調查了20名男生某一周參加籃球運動的次數，調查結果如表所示，那么這20名男生該周參加籃球運動次數的平均數是( )
次數 2 3 4 5
人數 2 2 10 6
A.3次 B.3.5次 C.4次 D.4.5次
5.已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，點D在邊BC上，設 = ， = ，那么向量 用向量 、 表示為( )
A. + B. ﹣ C.﹣ + D.﹣ ﹣
6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，點D在邊BC上，CD=3，⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是( )
A.1
二、填空題：本大題共12小題，每小題4分，共48分
7.計算：a3÷a= .
8.函數y= 的定義域是 .
9.方程 =2的解是 .
10.如果a= ，b=﹣3，那么代數式2a+b的值為 .
11.不等式組 的解集是 .
12.如果關于x的方程x2﹣3x+k=0有兩個相等的實數根，那么實數k的值是 .
13.已知反比例函數y= (k≠0)，如果在這個函數圖象所在的每一個象限內，y的值隨著x的值增大而減小，那么k的取值范圍是 .
14.有一枚材質均勻的正方體骰子，它的六個面上分別有1點、2點、…6點的標記，擲一次骰子，向上的一面出現的點數是3的倍數的概率是 .
15.在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，那么△ADE的面積與△ABC的面積的比是 .
16.今年5月份有關部門對計劃去上海迪士尼樂園的部分市民的前往方式進行調查，圖1和圖2是收集數據后繪制的兩幅不完整統計圖.根據圖中提供的信息，那么本次調查的對象中選擇公交前往的人數是 .
17.如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為 米.(精確到1米，參考數據： ≈1.73)
18.如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉90°，點A、C分別落在點A′、C′處.如果點A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為 .
三、解答題：本大題共7小題，共78分
19.計算：| ﹣1|﹣ ﹣ + .
20.解方程： ﹣ =1.
21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點D在邊AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足為點E，聯結CE，求：
(1)線段BE的長;
(2)∠ECB的余切值.
22.某物流公司引進A、B兩種機器人用來搬運某種貨物，這兩種機器人充滿電后可以連續搬運5小時，A種機器人于某日0時開始搬運，過了1小時，B種機器人也開始搬運，如圖，線段OG表示A種機器人的搬運量yA(千克)與時間x(時)的函數圖象，根據圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)求yB關于x的函數解析式;
(2)如果A、B兩種機器人連續搬運5個小時，那么B種機器人比A種機器人多搬運了多少千克?
23.已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓， = ，點D在邊BC上，AE∥BC，AE=BD.
(1)求證：AD=CE;
(2)如果點G在線段DC上(不與點D重合)，且AG=AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形.
24.如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5(a≠0)經過點A(4，﹣5)，與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D.
(1)求這條拋物線的表達式;
(2)聯結AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積;
(3)如果點E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點E的坐標.
25.如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且∠AGE=∠DAB.
(1)求線段CD的長;
(2)如果△AEC是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長;
(3)如果點F在邊CD上(不與點C、D重合)，設AE=x，DF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍.
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共6小題，每小題4分，共24分
1.如果a與3互為倒數，那么a是( )
A.﹣3 B.3 C.﹣ D.
【考點】倒數.
【分析】根據乘積為1的兩個數互為倒數，可得答案.
【解答】解：由a與3互為倒數，得
a是 ，
故選：D.
【點評】本題考查了倒數，分子分母交換位置是求一個數的倒數的關鍵.
2.下列單項式中，與a2b是同類項的是( )
A.2a2b B.a2b2C.ab2D.3ab
【考點】同類項.
【分析】根據同類項的概念：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，結合選項解答即可.
【解答】解：A、2a2b與a2b所含字母相同，且相同字母的指數也相同，是同類項，故本選項正確;
B、a2b2與a2b所含字母相同，但相同字母b的指數不相同，不是同類項，故本選項錯誤;
C、ab2與a2b所含字母相同，但相同字母a的指數不相同，不是同類項，本選項錯誤;
D、3ab與a2b所含字母相同，但相同字母a的指數不相同，不是同類項，本選項錯誤.
故選A.
【點評】本題考查了同類項的知識，解答本題的關鍵是掌握同類項中相同字母的指數相同的概念.
3.如果將拋物線y=x2+2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是( )
A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=x2+1 D.y=x2+3
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】根據向下平移，縱坐標相減，即可得到答案.
【解答】解：∵拋物線y=x2+2向下平移1個單位，
∴拋物線的解析式為y=x2+2﹣1，即y=x2+1.
故選C.
【點評】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，向下平移|a|個單位長度縱坐標要減|a|.
4.某校調查了20名男生某一周參加籃球運動的次數，調查結果如表所示，那么這20名男生該周參加籃球運動次數的平均數是( )
次數 2 3 4 5
人數 2 2 10 6
A.3次 B.3.5次 C.4次 D.4.5次
【考點】加權平均數.
【分析】加權平均數：若n個數x1，x2，x3，…，xn的權分別是w1，w2，w3，…，wn，則x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做這n個數的加權平均數，依此列式計算即可求解.
【解答】解：(2×2+3×2+4×10+5×6)÷20
=(4+6+40+30)÷20
80÷20
=4(次).
答：這20名男生該周參加籃球運動次數的平均數是4次.
【點評】本題考查的是加權平均數的求法.本題易出現的錯誤是求2，3，4，5這四個數的平均數，對平均數的理解不正確.
5.已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，點D在邊BC上，設 = ， = ，那么向量 用向量 、 表示為( )
A. + B. ﹣ C.﹣ + D.﹣ ﹣
【考點】*平面向量.
【分析】由△ABC中，AD是角平分線，結合等腰三角形的性質得出BD=DC，可求得 的值，然后利用三角形法則，求得答案.
【解答】解：如圖所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，
∴BD=DC，
∵ = ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = + = + .
故選：A.
【點評】此題考查了平面向量的知識，注意掌握三角形法則的應用是解題關鍵.
6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，點D在邊BC上，CD=3，⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是( )
A.1
【考點】圓與圓的位置關系;點與圓的位置關系.
【分析】連接AD，
根據勾股定理得到AD=5，
根據圓與圓的位置關系得到r>5﹣3=2，
由點B在⊙D外，
于是得到r<4，
即可得到結論.
【解答】解：連接AD，
∵AC=4，CD=3，∠C=90°，
∴AD=5，
∵⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，
∴r>5﹣3=2，
∵BC=7，
∴BD=4，
∵點B在⊙D外，
∴r<4，
∴⊙D的半徑長r的取值范圍是2
故選B.
【點評】本題考查了圓與圓的位置關系，點與圓的位置關系，設點到圓心的距離為d，則當d=r時，點在圓上;當d>r時，點在圓外;當d
二、填空題：本大題共12小題，每小題4分，共48分
7.計算：a3÷a= a2 .
【考點】同底數冪的除法.
【專題】計算題.
【分析】根據同底數冪相除，底數不變指數相減進行計算即可求解.
【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2.
故答案為：a2.
【點評】本題考查了同底數冪的除法的運算性質，熟記運算性質是解題的關鍵.
8.函數y= 的定義域是 x≠2 .
【考點】函數自變量的取值范圍.
【分析】直接利用分式有意義的條件得出答案.
【解答】解：函數y= 的定義域是：x≠2.
故答案為：x≠2.
【點評】此題主要考查了函數自變量的取值范圍，正確把握相關性質是解題關鍵.
9.方程 =2的解是 x=5 .
【考點】無理方程.
【分析】利用兩邊平方的方法解出方程，檢驗即可.
【解答】解：方程兩邊平方得，x﹣1=4，
解得，x=5，
把x=5代入方程，左邊=2，右邊=2，
左邊=右邊，
則x=5是原方程的解，
故答案為：x=5.
【點評】本題考查的是無理方程的解法，正確利用兩邊平方的方法解出方程，并正確進行驗根是解題的關鍵.
10.如果a= ，b=﹣3，那么代數式2a+b的值為 ﹣2 .
【考點】代數式求值.
【專題】計算題;實數.
【分析】把a與b的值代入原式計算即可得到結果.
【解答】解：當a= ，b=﹣3時，2a+b=1﹣3=﹣2，
故答案為：﹣2
【點評】此題考查了代數式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
11.不等式組 的解集是 x<1 .
【考點】解一元一次不等式組.
【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.
【解答】解： ，
解①得x< ，
解②得x<1，
則不等式組的解集是x<1.
故答案是：x<1.
【點評】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解集的規律：同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到.
12.如果關于x的方程x2﹣3x+k=0有兩個相等的實數根，那么實數k的值是 .
【考點】根的判別式;解一元一次方程.
【分析】根據方程有兩個相等的實數根結合根的判別式，即可得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出結論.
【解答】解：∵關于x的方程x2﹣3x+k=0有兩個相等的實數根，
∴△=(﹣3)2﹣4×1×k=9﹣4k=0，
解得：k= .
故答案為： .
【點評】本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，解題的關鍵是找出9﹣4k=0.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據方程解的情況結合根的判別式得出方程(不等式或不等式組)是關鍵.
13.已知反比例函數y= (k≠0)，如果在這個函數圖象所在的每一個象限內，y的值隨著x的值增大而減小，那么k的取值范圍是 k>0 .
【考點】反比例函數的性質.
【分析】直接利用當k>0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小;當k<0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大，進而得出答案.
【解答】解：∵反比例函數y= (k≠0)，如果在這個函數圖象所在的每一個象限內，y的值隨著x的值增大而減小，
∴k的取值范圍是：k>0.
故答案為：k>0.
【點評】此題主要考查了反比例函數的性質，正確記憶增減性是解題關鍵.
14.有一枚材質均勻的正方體骰子，它的六個面上分別有1點、2點、…6點的標記，擲一次骰子，向上的一面出現的點數是3的倍數的概率是 .
【考點】概率公式.
【專題】計算題.
【分析】共有6種等可能的結果數，其中點數是3的倍數有3和6，從而利用概率公式可求出向上的一面出現的點數是3的倍數的概率.
【解答】解：擲一次骰子，向上的一面出現的點數是3的倍數的概率= = .
故答案為 .
【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數.
15.在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，那么△ADE的面積與△ABC的面積的比是 .
【考點】三角形中位線定理.
【分析】構建三角形中位線定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以 =( )2，由此即可證明.
【解答】解：如圖，∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC.DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =( )2= ，
故答案為 .
【點評】本題考查三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是記住相似三角形的面積比等于相似比的平方，屬于中考常考題型.
16.今年5月份有關部門對計劃去上海迪士尼樂園的部分市民的前往方式進行調查，圖1和圖2是收集數據后繪制的兩幅不完整統計圖.根據圖中提供的信息，那么本次調查的對象中選擇公交前往的人數是 6000 .
【考點】條形統計圖;扇形統計圖.
【分析】根據自駕車人數除以百分比，可得答案.
【解答】解：由題意，得
4800÷40%=12000，
公交12000×50%=6000，
故答案為：6000.
【點評】本題考查了條形統計圖，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據.
17.如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為 208 米.(精確到1米，參考數據： ≈1.73)
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
【分析】分別利用銳角三角函數關系得出BD，DC的長，進而求出該建筑物的高度.
【解答】解：由題意可得：tan30°= = = ，
解得：BD=30 ，
tan60°= = = ，
解得：DC=90 ，
故該建筑物的高度為：BC=BD+DC=120 ≈208(m)，
故答案為：208.
【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，熟練應用銳角三角函數關系是解題關鍵.
18.如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉90°，點A、C分別落在點A′、C′處.如果點A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為 .
【考點】旋轉的性質;矩形的性質;銳角三角函數的定義.
【分析】設AB=x，根據平行線的性質列出比例式求出x的值，根據正切的定義求出tan∠BA′C，根據∠ABA′=∠BA′C解答即可.
【解答】解：設AB=x，則CD=x，A′C=x+2，
∵AD∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得，x1= ﹣1，x2=﹣ ﹣1(舍去)，
∵AB∥CD，
∴∠ABA′=∠BA′C，
tan∠BA′C= = = ，
∴tan∠ABA′= ，
故答案為： .
【點評】本題考查的是旋轉的性質、矩形的性質以及銳角三角函數的定義，掌握旋轉前、后的圖形全等以及銳角三角函數的定義是解題的關鍵.
三、解答題：本大題共7小題，共78分
19.計算：| ﹣1|﹣ ﹣ + .
【考點】實數的運算;負整數指數冪.
【分析】利用絕對值的求法、分數指數冪、負整數指數冪分別化簡后再加減即可求解.
【解答】解：原式= ﹣1﹣2﹣2 +9=6﹣
【點評】本題考查了實數的運算及負整數指數冪的知識，解題的關鍵是了解相關的運算性質及運算法則，難度不大.
20.解方程： ﹣ =1.
【考點】解分式方程.
【分析】根據解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1進行計算即可.
【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，
移項、合并同類項得，x2﹣x﹣2=0，
解得x1=2，x2=﹣1，
經檢驗x=2是增根，舍去;x=﹣1是原方程的根，
所以原方程的根是x=﹣1.
【點評】本題考查了解分式方程，熟記解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1是解題的關鍵，注意驗根.
21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點D在邊AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足為點E，聯結CE，求：
(1)線段BE的長;
(2)∠ECB的余切值.
【考點】解直角三角形;勾股定理.
【分析】(1)由等腰直角三角形的性質得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3 ，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函數得出AE= ，即可得出BE的長;
(2)過點E作EH⊥BC，垂足為點H，由三角函數求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函數求出cot∠ECB= = 即可.
【解答】解：(1)∵AD=2CD，AC=3，
∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠A=∠B=45°，AB= = =3 ，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD•cos45°=2× = ，
∴BE=AB﹣AE=3 ﹣ =2 ，
即線段BE的長為2 ;
(2)過點E作EH⊥BC，垂足為點H，如圖所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，
∴EH=BH=BE•cos45°=2 × =2，
∵BC=3，
∴CH=1，
在Rt△CHE中，cot∠ECB= = ，
即∠ECB的余切值為 .
【點評】本題考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性質、三角函數;熟練掌握等腰直角三角形的性質，通過作輔助線求出CH是解決問題(2)的關鍵.
22.某物流公司引進A、B兩種機器人用來搬運某種貨物，這兩種機器人充滿電后可以連續搬運5小時，A種機器人于某日0時開始搬運，過了1小時，B種機器人也開始搬運，如圖，線段OG表示A種機器人的搬運量yA(千克)與時間x(時)的函數圖象，根據圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)求yB關于x的函數解析式;
(2)如果A、B兩種機器人連續搬運5個小時，那么B種機器人比A種機器人多搬運了多少千克?
【考點】一次函數的應用.
【分析】(1)設設yB關于x的函數解析式為yB=kx+b(k≠0)，將點(1，0)、(3，180)代入一次函數函數的解析式得到關于k，b的方程組，從而可求得函數的解析式;
(2)設yA關于x的解析式為yA=k1x.將(3，180)代入可求得yA關于x的解析式，然后將x=6，x=5代入一次函數和正比例函數的解析式求得yA，yB的值，最后求得yA與yB的差即可.
【解答】解：(1)設yB關于x的函數解析式為yB=kx+b(k≠0).
將點(1，0)、(3，180)代入得： ，
解得：k=90，b=﹣90.
所以yB關于x的函數解析式為yB=90x﹣90(1≤x≤6).
(2)設yA關于x的解析式為yA=k1x.
根據題意得：3k1=180.
解得：k1=60.
所以yA=60x.
當x=5時，yA=60×5=300(千克);
x=6時，yB=90×6﹣90=450(千克).
450﹣300=150(千克).
答：若果A、B兩種機器人各連續搬運5小時，B種機器人比A種機器人多搬運了150千克.
【點評】本題主要考查的是一次函數的應用，依據待定系數法求得一次函數的解析式是解題的關鍵.
23.已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓， = ，點D在邊BC上，AE∥BC，AE=BD.
(1)求證：AD=CE;
(2)如果點G在線段DC上(不與點D重合)，且AG=AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形.
【考點】三角形的外接圓與外心;全等三角形的判定與性質;平行四邊形的判定;圓心角、弧、弦的關系.
【分析】(1)根據等弧所對的圓周角相等，得出∠B=∠ACB，再根據全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE;
(2)連接AO并延長，交邊BC于點H，由等腰三角形的性質和外心的性質得出AH⊥BC，再由垂徑定理得BH=CH，得出CG與AE平行且相等.
【解答】證明：(1)在⊙O中，
∵ = ，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中， ，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴AD=CE;
(2)連接AO并延長，交邊BC于點H，
∵ = ，OA為半徑，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四邊形AGCE是平行四邊形.
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心以及全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定，圓心角、弧、弦之間的關系，把這幾個知識點綜合運用是解題的關鍵.
24.如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5(a≠0)經過點A(4，﹣5)，與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D.
(1)求這條拋物線的表達式;
(2)聯結AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積;
(3)如果點E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點E的坐標.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)先得出C點坐標，再由OC=5BO，得出B點坐標，將A、B兩點坐標代入解析式求出a，b;
(2)分別算出△ABC和△ACD的面積，相加即得四邊形ABCD的面積;
(3)由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，過C作AB邊上的高CH，利用等面積法求出CH，從而算出tan∠ABC，而BO是已知的，從而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO長度，也就求出了E點坐標.
【解答】解：(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣5與y軸交于點C，
∴C(0，﹣5)，
∴OC=5.
∵OC=5OB，
∴OB=1，
又點B在x軸的負半軸上，
∴B(﹣1，0).
∵拋物線經過點A(4，﹣5)和點B(﹣1，0)，
∴ ，解得 ，
∴這條拋物線的表達式為y=x2﹣4x﹣5.
(2)由y=x2﹣4x﹣5，得頂點D的坐標為(2，﹣9).
連接AC，
∵點A的坐標是(4，﹣5)，點C的坐標是(0，﹣5)，
又S△ABC= ×4×5=10，S△ACD= ×4×4=8，
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=18.
(3)過點C作CH⊥AB，垂足為點H.
∵S△ABC= ×AB×CH=10，AB=5 ，
∴CH=2 ，
在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC= ，BH= =3 ，
∴tan∠CBH= = .
∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO= ，
∵∠BEO=∠ABC，
∴ ，得EO= ，
∴點E的坐標為(0， ).
【點評】本題為二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形面積求法、等積變換、勾股定理、正切函數等知識點，難度適中.第(3)問，將角度相等轉化為對應的正切函數值相等是解答關鍵.
25.如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且∠AGE=∠DAB.
(1)求線段CD的長;
(2)如果△AEC是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長;
(3)如果點F在邊CD上(不與點C、D重合)，設AE=x，DF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍.
【考點】四邊形綜合題.
【專題】綜合題.
【分析】(1)作DH⊥AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，則DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理計算出AH，從而得到BH和CD的長;
(2)分類討論：當EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，則判斷G點與D點重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如圖1，則AM= AD= ，通過證明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可計算出此時的AE長;當GA=GE時，則∠AGE=∠AEG，可證明AE=AD=15，
(3)作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE= ，再證明△EAG∽△EDA，則利用相似比可表示出EG= ，則可表示出DG，然后證明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的關系.
【解答】解：(1)作DH⊥AB于H，如圖1，
易得四邊形BCDH為矩形，
∴DH=BC=12，CD=BH，
在Rt△ADH中，AH= = =9，
∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，
∴CD=7;
(2)當EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，
∵∠AGE=∠DAB，
∴∠GAE=∠DAB，
∴G點與D點重合，即ED=EA，
作EM⊥AD于M，如圖1，則AM= AD= ，
∵∠MAE=∠HAD，
∴Rt△AME∽Rt△AHD，
∴AE：AD=AM：AH，即AE：15= ：9，解得AE= ;
當GA=GE時，則∠AGE=∠AEG，
∵∠AGE=∠DAB，
而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，
∴∠GAE=∠ADG，
∴∠AEG=∠ADG，
∴AE=AD=15，
綜上所述，△AEC是以EG為腰的等腰三角形時，線段AE的長為 或15;
(3)作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，
在Rt△ADE中，DE= = ，
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，
∴△EAG∽△EDA，
∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x： ，
∴EG= ，
∴DG=DE﹣EG= ﹣ ，
∵DF∥AE，
∴△DGF∽△EGA，
∴DF：AE=DG：EG，即y：x=( ﹣ )： ，
∴y= (9
【點評】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質等等腰三角形的性質;常把直角梯形化為一個直角三角形和一個矩形解決問題;會利用勾股定理和相似比計算線段的長;會運用分類討論的思想解決數學問題.
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