九年級上冊數學期末試卷及參考答案

九年級上冊數學期末試卷及參考答案2017

　　就快期末考試了,考試該如何復習呢?建議同學們多背誦重點知識,多做題。下面是小編為大家搜索整理的九年級上冊數學期末試卷及參考答案2017，希望能給大家帶來幫助!更多精彩內容請及時關注我們應屆畢業生考試網!

　　一、選擇題(共8小題，每小題4分，滿分32分)

　　1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的情況是(　　)

　　A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根

　　C. 沒有實數根 D. 無法確定是否有實數根

　　2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，則sinA的值為(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.若如圖是某個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　)

　　A. 長方體 B. 正方體 C. 圓柱 D. 圓錐

　　4.小丁去看某場電影，只剩下如圖所示的六個空座位供他選擇，座位號分別為1號、4號、6號、3號、5號和2號.若小丁從中隨機抽取一個，則抽到的座位號是偶數的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　5.如圖，△ABC和△A1B1C1是以點O為位似中心的位似三角形，若C1為OC的中點，AB=4，則A1B1的長為(　　)

　　A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

　　6.已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數y=﹣ 的圖象上的兩點，若x1<0

　　A. y1<0

　　7.如圖，AB是半圓O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，過點O作OE∥AC交半圓O于點E，過點E作EF⊥AB于F.若AC=2，則OF的長為(　　)

　　A. B. C. 1 D. 2

　　8.如圖，在矩形ABCD中，AB

　　A. 線段EF B. 線段DE C. 線段CE D. 線段BE

　　二、填空題(共4小題，每小題4分，滿分16分)

　　9.如圖，已知扇形的半徑為3cm，圓心角為120°，則扇形的面積為　　　　　　cm2.(結果保留π)

　　10.在某一時刻，測得一根高為2m的竹竿的影長為1m，同時測得一棟建筑物的影長為12m，那么這棟建筑物的高度為　　　　　　m.

　　11.如圖，拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A(﹣2，4)，B(1，1)，則關于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解為　　　　　　.

　　12.對于正整數n，定義F(n)= ，其中f(n)表示n的首位數字、末位數字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10.規定F1(n)=F(n)，Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.

　　(1)求：F2(4)=　　　　　　，F2015(4)=　　　　　　;

　　(2)若F3m(4)=89，則正整數m的最小值是　　　　　　.

　　三、解答題(共13小題，滿分72分)

　　13.計算：(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.

　　14.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點，BE⊥AC于E，求證：△ACD∽△BCE.

　　15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的實數根，求代數式 的值.

　　16.拋物線y=2x2平移后經過點A(0，3)，B(2，3)，求平移后的拋物線的表達式.

　　17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數y=2x與反比例函數y= 的圖象交于A，B兩點，A點的橫坐標為2，AC⊥x軸于點C，連接BC.

　　(1)求反比例函數的解析式;

　　(2)若點P是反比例函數y= 圖象上的一點，且滿足△OPC與△ABC的面積相等，請直接寫出點P的坐標.

　　18.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中點，過點B作直線CD的垂線，垂足為點E.

　　(1)求線段CD的長;

　　(2)求cos∠ABE的值.

　　19.已知關于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有兩個不相等的實數根x1，x2.

　　(1)求m的取值范圍;

　　(2)若x2<0，且 >﹣1，求整數m的值.

　　20.某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，據調查查顯示，每個檔次的日產量及相應的單件利潤如表所示(其中x為正整數，且1≤x≤10);

　　質量檔次 1 2 … x … 10

　　日產量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50

　　單件利潤(萬元) 6 8 … 2x+4 … 24

　　為了便于調控，此工廠每天只生產一個檔次的產品，當生產質量檔次為x的產品時，當天的利潤為y萬元.

　　(1)求y關于x的函數關系式;

　　(2)工廠為獲得最大利潤，應選擇生產哪個檔次的產品?并求出當天利潤的最大值.

　　21.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A，B，C在⊙O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點E，交⊙O于點F.點P在射線AO上，且∠PCB=2∠BAF.

　　(1)求證：直線PC是⊙O的切線;

　　(2)若AB= ，AD=2，求線段PC的長.

　　22.閱讀下面材料：

　　小明觀察一個由1×1正方形點陣組成的點陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個相鄰點間的距離都是1，他發現一個有趣的問題：對于圖中出現的任意兩條端點在點陣上且互相不垂直的線段，都可以在點陣中找到一點構造垂直，進而求出它們相交所成銳角的正切值.

　　請回答：

　　(1)如圖1，A，B，C是點陣中的三個點，請在點陣中找到點D，作出線段CD，使得CD⊥AB;

　　(2)如圖2，線段AB與CD交于點O.為了求出∠AOD的正切值，小明在點陣中找到了點E，連接AE，恰好滿足AE⊥CD于點F，再作出點陣中的其它線段，就可以構造相似三角形，經過推理和計算能夠使問題得到解決.

　　請你幫小明計算：OC=　　　　　　;tan∠AOD=　　　　　　;

　　解決問題：

　　如圖3，計算：tan∠AOD=　　　　　　.

　　23.在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y= 的圖象經過點A(1，4)、B(m，n).

　　(1)求代數式mn的值;

　　(2)若二次函數y=(x﹣1)2的圖象經過點B，求代數式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值;

　　(3)若反比例函數y= 的圖象與二次函數y=a(x﹣1)2的圖象只有一個交點，且該交點在直線y=x的下方，結合函數圖象，求a的取值范圍.

　　24.如圖1，在△ABC中，BC=4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD=BD，連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α.

　　(1)如圖2，當∠ABC=45°且α=90°時，用等式表示線段AD，DE之間的數量關系;

　　(2)將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，連接BF，AF.

　　①若α=90°，依題意補全圖3，求線段AF的長;

　　②請直接寫出線段AF的長(用含α的式子表示).

　　25.在平面直角坐標系xOy中，設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圖形W上的任意兩點.

　　定義圖形W的測度面積：若|x1﹣x2|的最大值為m，|y1﹣y2|的最大值為n，則S=mn為圖形W的測度面積.

　　例如，若圖形W是半徑為1的⊙O，當P，Q分別是⊙O與x軸的交點時，如圖1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2;當P，Q分別是⊙O與y軸的交點時，如圖2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2.則圖形W的測度面積S=mn=4

　　(1)若圖形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.

　　①如圖3，當點A，B在坐標軸上時，它的測度面積S=　　　　　　;

　　②如圖4，當AB⊥x軸時，它的測度面積S=　　　　　　;

　　(2)若圖形W是一個邊長1的正方形ABCD，則此圖形的測度面積S的最大值為　　　　　　;

　　(3)若圖形W是一個邊長分別為3和4的矩形ABCD，求它的測度面積S的取值范圍.

　　一、選擇題(共8小題，每小題4分，滿分32分)

　　1.方程x2﹣3x﹣5=0的根的情況是(　　)

　　A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根

　　C. 沒有實數根 D. 無法確定是否有實數根

　　考點： 根的判別式.

　　分析： 求出b2﹣4ac的值，再進行判斷即可.

　　解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，

　　△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣5)=29>0，

　　所以方程有兩個不相等的實數根，

　　故選A.

　　點評： 本題考查了一元二次方程的根的判別式的應用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c為常數，a≠0)①當b2﹣4ac>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，②當b2﹣4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根，③當b2﹣4ac<0時，一元二次方程沒有實數根.

　　2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，則sinA的值為(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 銳角三角函數的定義.

　　分析： 直接根據三角函數的定義求解即可.

　　解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，

　　∴sinA= = .

　　故選A.

　　點評： 此題考查的是銳角三角函數的定義，比較簡單，用到的知識點：

　　正弦函數的定義：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA.即sinA=∠A的對邊：斜邊=a：c.

　　3.若如圖是某個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　)

　　A. 長方體 B. 正方體 C. 圓柱 D. 圓錐

　　考點： 由三視圖判斷幾何體.

　　分析： 由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀.

　　解答： 解：主視圖和左視圖都是等腰三角形，那么此幾何體為錐體，由俯視圖為圓，可得此幾何體為圓錐.

　　故選：D.

　　點評： 本題考查的知識點是三視圖，如果有兩個視圖為三角形，該幾何體一定是錐，如果有兩個矩形，該幾何體一定柱，其底面由第三個視圖的形狀決定.

　　4.小丁去看某場電影，只剩下如圖所示的六個空座位供他選擇，座位號分別為1號、4號、6號、3號、5號和2號.若小丁從中隨機抽取一個，則抽到的座位號是偶數的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 概率公式.

　　分析： 由六個空座位供他選擇，座位號分別為1號、4號、6號、3號、5號和2號，直接利用概率公式求解即可求得答案.

　　解答： 解：∵六個空座位供他選擇，座位號分別為1號、4號、6號、3號、5號和2號，

　　∴抽到的座位號是偶數的概率是： = .

　　故選C.

　　點評： 此題考查了概率公式的應用.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

　　5.如圖，△ABC和△A1B1C1是以點O為位似中心的位似三角形，若C1為OC的中點，AB=4，則A1B1的長為(　　)

　　A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

　　考點： 位似變換.

　　專題： 計算題.

　　分析： 根據位似變換的性質得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行線分線段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入計算即可.

　　解答： 解：∵C1為OC的中點，

　　∴OC1= OC，

　　∵△ABC和△A1B1C1是以點O為位似中心的位似三角形，

　　∴ = ，B1C1∥BC，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　即 =

　　∴A1B1=2.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.注意：①兩個圖形必須是相似形;②對應點的連線都經過同一點;③對應邊平行.

　　6.已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數y=﹣ 的圖象上的兩點，若x1<0

　　A. y1<0

　　考點： 反比例函數圖象上點的坐標特征.

　　專題： 計算題.

　　分析： 根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到y1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1<0

　　解答： 解：∵A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數y=﹣ 的圖象上的兩點，

　　∴y1=﹣ ，y2=﹣ ，

　　∵x1<0

　　∴y2<0

　　故選B.

　　點評： 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數y= (k為常數，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(x，y)的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k.

　　7.如圖，AB是半圓O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，過點O作OE∥AC交半圓O于點E，過點E作EF⊥AB于F.若AC=2，則OF的長為(　　)

　　A. B. C. 1 D. 2

　　考點： 垂徑定理;全等三角形的判定與性質.

　　分析： 根據垂徑定理求出AD，證△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案.

　　解答： 解：∵OD⊥AC，AC=2，

　　∴AD=CD=1，

　　∵OD⊥AC，EF⊥AB，

　　∴∠ADO=∠OFE=90°，

　　∵OE∥AC，

　　∴∠DOE=∠ADO=90°，

　　∴∠

　　DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，

　　∴∠DAO=∠EOF，

　　在△ADO和△OFE中，

　　，

　　∴△ADO≌△OFE(AAS)，

　　∴OF=AD=1，

　　故選C.

　　點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定，垂徑定理的應用，解此題的關鍵是求出△ADO≌△OFE和求出AD的長，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦.

　　8.如圖，在矩形ABCD中，AB

　　A. 線段EF B. 線段DE C. 線段CE D. 線段BE

　　考點： 動點問題的函數圖象.

　　分析： 作BN⊥AC，垂足為N，FM⊥AC，垂足為M，DG⊥AC，垂足為G，分別找出線段EF、CE、BE最小值出現的時刻即可得出結論.

　　解答： 解：作BN⊥AC，垂足為N，FM⊥AC，垂足為M，DG⊥AC，垂足為G.

　　由垂線段最短可知：當點E與點M重合時，即AE< 時，FE有最小值，與函數圖象不符，故A錯誤;

　　由垂線段最短可知：當點E與點G重合時，即AEd> 時，DE有最小值，故B正確;

　　∵CE=AC﹣AE，CE隨著AE的增大而減小，故C錯誤;

　　由垂線段最短可知：當點E與點N重合時，即AE< 時，BE有最小值，與函數圖象不符，故D錯誤;

　　故選：B.

　　點評： 本題主要考查的是動點問題的函數圖象，根據垂線段最短確定出函數最小值出現的時刻是解題的關鍵.

　　二、填空題(共4小題，每小題4分，滿分16分)

　　9.如圖，已知扇形的半徑為3cm，圓心角為120°，則扇形的面積為　3π　cm2.(結果保留π)

　　考點： 扇形面積的計算.

　　專題： 壓軸題.

　　分析： 知道扇形半徑，圓心角，運用扇形面積公式就能求出.

　　解答： 解：由S= 知

　　S= × π×32=3πcm2.

　　點評： 本題主要考查扇形面積的計算，知道扇形面積計算公式S= .

　　10.在某一時刻，測得一根高為2m的竹竿的影長為1m，同時測得一棟建筑物的影長為12m，那么這棟建筑物的高度為　24　m.

　　考點： 相似三角形的應用.

　　分析： 根據同時同地的物高與影長成正比列式計算即可得解.

　　解答： 解：設這棟建筑物的高度為xm，

　　由題意得， = ，

　　解得x=24，

　　即這棟建筑物的高度為24m.

　　故答案為：24.

　　點評： 本題考查了相似三角形的應用，熟記同時同地的物高與影長成正比是解題的關鍵.

　　11.如圖，拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A(﹣2，4)，B(1，1)，則關于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解為　x1=﹣2，x2=1　.

　　考點： 二次函數的性質.

　　專題： 數形結合.

　　分析： 根據二次函數圖象與一次函數圖象的交點問題得到方程組 的解為 ， ，于是易得關于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解.

　　解答： 解：∵拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A(﹣2，4)，B(1，1)，

　　∴方程組 的解為 ， ，

　　即關于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解為x1=﹣2，x2=1.

　　故答案為x1=﹣2，x2=1.

　　點評： 本題考查了二次函數的性質：二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標是(﹣ ， )，對稱軸直線x=﹣ .也考查了二次函數圖象與一次函數圖象的交點問題.

　　12.對于正整數n，定義F(n)= ，其中f(n)表示n的首位數字、末位數字的平方和.例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10.規定F1(n)=F(n)，Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如：F1(123)=F(123)=10，F2(123)=F(F1(123))=F(10)=1.

　　(1)求：F2(4)=　37　，F2015(4)=　26　;

　　(2)若F3m(4)=89，則正整數m的最小值是　6　.

　　考點： 規律型：數字的變化類.

　　專題： 新定義.

　　分析： 通過觀察前8個數據，可以得出規律，這些數字7個一個循環，根據這些規律計算即可.

　　解答： 解：(1)F2(4)=F(F1(4))=F(16)=12+62=37;

　　F1(4)=F(4)=16，F2(4)=37，F3(4)=58，

　　F4(4)=89，F5(4)=145，F6(4)=26，F7(4)=40，F8(4)=16，

　　通過觀察發現，這些數字7個一個循環，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)=26;

　　(2)由(1)知，這些數字7個一個循環，F4(4)=89=F18(4)，因此3m=18，所以m=6.

　　故答案為：(1)37，26;(2)6.

　　點評： 本題屬于數字變化類的規律探究題，通過觀察前幾個數據可以得出規律，熟練找出變化規律是解題的關鍵.

　　三、解答題(共13小題，滿分72分)

　　13.計算：(﹣1)2015+sin30°﹣(π﹣3.14)0+( )﹣1.

　　考點： 實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.

　　專題： 計算題.

　　分析： 原式第一項利用乘方的意義計算，第二項利用特殊角的三角函數值計算，第三項利用零指數冪法則計算，最后一項利用負指數冪法則計算即可.

　　解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= .

　　點評： 此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

　　14.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點，BE⊥AC于E，求證：△ACD∽△BCE.

　　考點： 相似三角形的判定.

　　專題： 證明題.

　　分析： 根據等腰三角形的性質，由AB=AC，D是BC中點得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似即可得到結論.

　　解答： 證明：∵AB=AC，D是BC中點，

　　∴AD⊥BC，

　　∴∠ADC=90°，

　　∵BE⊥AC，

　　∴∠BEC=90°，

　　∴∠ADC=∠BEC，

　　而∠ACD=∠BCE，

　　∴△ACD∽△BCE.

　　點評： 本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.也考查了等腰三角形的性質.

　　15.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的實數根，求代數式 的值.

　　考點： 一元二次方程的解.

　　專題： 計算題.

　　分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化簡，將m2﹣2=3m代入計算即可求出值.

　　解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，

　　則原式= = =3.

　　點評： 此題考查了一元二次方程的解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

　　16.拋物線y=2x2平移后經過點A(0，3)，B(2，3)，求平移后的拋物線的表達式.

　　考點： 二次函數圖象與幾何變換.

　　專題： 計算題.

　　分析： 由于拋物線平移前后二次項系數不變，則可設平移后的拋物線的表達式為y=2x2+bx+c，然后把點A和點B的坐標代入得到關于b、c的方程組，解方程組求出b、c即可得到平移后的拋物線的表達式.

　　解答： 解：設平移后的拋物線的表達式為y=2x2+bx+c，

　　把點A(0，3)，B(2，3)分別代入得 ，解得 ，

　　所以平移后的拋物線的表達式為y=2x2﹣4x+3.

　　點評： 本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

　　17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數y=2x與反比例函數y= 的圖象交于A，B兩點，A點的橫坐標為2，AC⊥x軸于點C，連接BC.

　　(1)求反比例函數的解析式;

　　(2)若點P是反比例函數y= 圖象上的一點，且滿足△OPC與△ABC的面積相等，請直接寫出點P的坐標.

　　考點： 反比例函數與一次函數的交點問題.

　　分析： (1)把A點橫坐標代入正比例函數可求得A點坐標，代入反比例函數解析式可求得k，可求得反比例函數解析式;

　　(2)由條件可求得B、C的坐標，可先求得△ABC的面積，再結合△OPC與△ABC的面積相等求得P點坐標.

　　解答： 解：

　　(1)把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，

　　∴點A坐標為(2，4)，

　　∵點A在反比例函數y= 的圖象上，

　　∴k=2×4=8，

　　∴反比例函數的解析式為y= ;

　　(2)∵AC⊥OC，

　　∴OC=2，

　　∵A、B關于原點對稱，

　　∴B點坐標為(﹣2，﹣4)，

　　∴B到OC的距離為4，

　　∴S△ABC=2S△ACO=2× ×2×4=8，

　　∴S△OPC=8，

　　設P點坐標為(x， )，則P到OC的距離為| |，

　　∴ ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，

　　∴P點坐標為(1，8)或(﹣1，﹣8).

　　點評： 本題主要考查待定系數法求函數解析式及函數的交點問題，在(1)中求得A點坐標、在(2)中求得P點到OC的距離是解題的關鍵.

　　18.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中點，過點B作直線CD的垂線，垂足為點E.

　　(1)求線段CD的長;

　　(2)求cos∠ABE的值.

　　考點： 解直角三角形;勾股定理.

　　專題： 計算題.

　　分析： (1)在△ABC中根據正弦的定義得到sinA= = ，則可計算出AB=10，然后根據直角三角形斜邊上的中線性質即可得到CD= AB=5;

　　(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理計算出AC=6，在根據三角形面積公式得到S△BDC=S△ADC，則S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可計算出BE= ，然后在Rt△BDE中利用余弦的定義求解.

　　解答： 解：(1)在△ABC中，∵∠ACB=90°，

　　∴sinA= = ，

　　而BC=8，

　　∴AB=10，

　　∵D是AB中點，

　　∴CD= AB=5;

　　(2)在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，

　　∴AC= =6，

　　∵D是AB中點，

　　∴BD=5，S△BDC=S△ADC，

　　∴S△BDC= S△ABC，即 CD•BE= • AC•BC，

　　∴BE= = ，

　　在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，

　　即cos∠ABE的值為 .

　　點評： 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質和三角形面積公式.

　　19.已知關于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=有兩個不相等的實數根x1，x2.

　　(1)求m的取值范圍;

　　(2)若x2<0，且 >﹣1，求整數m的值.

　　考點： 根的判別式;根與系數的關系.

　　專題： 計算題.

　　分析： (1)由二次項系數不為0，且根的判別式大于0，求出m的范圍即可;

　　(2)利用求根公式表示出方程的解，根據題意確定出m的范圍，找出整數m的值即可.

　　解答： 解：(1)由已知得：m≠0且△=(m+2)2﹣8m=(m﹣2)2>0，

　　則m的范圍為m≠0且m≠2;

　　(2)方程解得：x= ，即x=1或x= ，

　　∵x2<0，∴x2= <0，即m<0，

　　∵ >﹣1，

　　∴ >﹣1，即m>﹣2，

　　∵m≠0且m≠2，

　　∴﹣2

　　∵m為整數，

　　∴m=﹣1.

　　點評： 此題考查了根的判別式，一元二次方程有兩個不相等的實數根即為根的判別式大于0.

　　20.某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，據調查顯示，每個檔次的日產量及相應的單件利潤如表所示(其中x為正整數，且1≤x≤10);

　　質量檔次 1 2 … x … 10

　　日產量(件) 95 90 … 100﹣5x … 50

　　單件利潤(萬元) 6 8 … 2x+4 … 24

　　為了便于調控，此工廠每天只生產一個檔次的產品，當生產質量檔次為x的產品時，當天的利潤為y萬元.

　　(1)求y關于x的函數關系式;

　　(2)工廠為獲得最大利潤，應選擇生產哪個檔次的產品?并求出當天利潤的最大值.

　　考點： 二次函數的應用.

　　分析： (1)根據總利潤=單件利潤×銷售量就可以得出y與x之間的函數關系式;

　　(2)由(1)的解析式轉化為頂點式，由二次函數的性質就可以求出結論.

　　解答： 解：(1)由題意，得

　　y=(100﹣5x)(2x+4)，

　　y=﹣10x2+180x+400(1≤x≤10的整數);

　　答：y關于x的函數關系式為y=﹣10x2+180x+400;

　　(2)∵y=﹣10x2+180x+400，

　　∴y=﹣10(x﹣9)2+1210.

　　∵1≤x≤10的整數，

　　∴x=9時，y最大=1210.

　　答：工廠為獲得最大利潤，應選擇生產9檔次的產品，當天利潤的最大值為1210萬元.

　　點評： 本題考查了總利潤=單件利潤×銷售量的運用，二次函數的解析式的運用，頂點式的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵.

　　21.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A，B，C在⊙O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點E，交⊙O于點F.點P在射線AO上，且∠PCB=2

　　∠BAF.

　　(1)求證：直線PC是⊙O的切線;

　　(2)若AB= ，AD=2，求線段PC的長.

　　考點： 切線的判定;勾股定理;平行四邊形的性質;相似三角形的判定與性質.

　　分析： (1)首先連接OC，由AD與⊙O相切，可得FA⊥AD，四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，然后由垂徑定理可證得F是 的中點，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，繼而證得直線PC是⊙O的切線;

　　(2)首先由勾股定理可求得AE的長，然后設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r，則可求得半徑長，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得線段PC的長.

　　解答： (1)證明：連接OC.

　　∵AD與⊙O相切于點A，

　　∴FA⊥AD.

　　∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴AD∥BC，

　　∴FA⊥BC.

　　∵FA經過圓心O，

　　∴F是 的中點，BE=CE，∠OEC=90°，

　　∴∠COF=2∠BAF.

　　∵∠PCB=2∠BAF，

　　∴∠PCB=∠COF.

　　∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，

　　∴∠OCE+∠PCB=90°.

　　∴OC⊥PC.

　　∵點C在⊙O上，

　　∴直線PC是⊙O的切線.

　　(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴BC=AD=2.

　　∴BE=CE=1.

　　在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，

　　∴ .

　　設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r.

　　在Rt△OCE中，∠OEC=90°，

　　∴OC2=OE2+CE2.

　　∴r2=(3﹣r)2+1.

　　解得 ，

　　∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°.

　　∴△OCE∽△CPE，

　　∴ .

　　∴ .

　　∴ .

　　點評： 此題考查了切線的判定、平行四邊形的性質、勾股定理以及相似三角形的判定與性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用.

　　22.閱讀下面材料：

　　小明觀察一個由1×1正方形點陣組成的點陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個相鄰點間的距離都是1，他發現一個有趣的問題：對于圖中出現的任意兩條端點在點陣上且互相不垂直的線段，都可以在點陣中找到一點構造垂直，進而求出它們相交所成銳角的正切值.

　　請回答：

　　(1)如圖1，A，B，C是點陣中的三個點，請在點陣中找到點D，作出線段CD，使得CD⊥AB;

　　(2)如圖2，線段AB與CD交于點O.為了求出∠AOD的正切值，小明在點陣中找到了點E，連接AE，恰好滿足AE⊥CD于點F，再作出點陣中的其它線段，就可以構造相似三角形，經過推理和計算能夠使問題得到解決.

　　請你幫小明計算：OC=　 　;tan∠AOD=　5　;

　　解決問題：

　　如圖3，計算：tan∠AOD=　 　.

　　考點： 相似形綜合題.

　　分析： (1)用三角板過C作AB的垂線，從而找到D的位置;

　　(2)連接AC、DB、AD、DE.由△ACO∽△DBO求得CO的長，由等腰直角三角形的性質可以求出AF，DF的長，從而求出OF的長，在Rt△AFO中，根據銳角三角函數的定義即可求出tan∠AOD的值;

　　(3)如圖，連接AE、BF，則AF= ，AB= ，由△AOE∽△BOF，可以求出AO= ，在Rt△AOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD.

　　解答： 解：(1)如圖所示：

　　線段CD即為所求.

　　(2)如圖2所示連接AC、DB、AD.

　　∵AD=DE=2，

　　∴AE=2 .

　　∵CD⊥AE，

　　∴DF=AF= .

　　∵AC∥BD，

　　∴△ACO∽△DBO.

　　∴CO：DO=2：3.

　　∴CO= .

　　∴DO= .

　　∴OF= .

　　tan∠AOD= .

　　(3)如圖3所示：

　　根據圖形可知：BF=2，AE=5.

　　由勾股定理可知：AF= = ，AB= = .

　　∵FB∥AE，

　　∴△AOE∽△BOF.

　　∴AO：OB=AE：FB=5：2.

　　∴AO= .

　　在Rt△AOF中，OF= = .

　　∴tan∠AOD= .

　　點評： 本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、勾股定理的應用、銳角三角函數的定義，根據點陣圖構造相似三角形是解題的關鍵.

　　23.在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y= 的圖象經過點A(1，4)、B(m，n).

　　(1)求代數式mn的值;

　　(2)若二次函數y=(x﹣1)2的圖象經過點B，求代數式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值;

　　(3)若反比例函數y= 的圖象與二次函數y=a(x﹣1)2的圖象只有一個交點，且該交點在直線y=x的下方，結合函數圖象，求a的取值范圍.

　　考點： 反比例函數綜合題;代數式求值;反比例函數與一次函數的交點問題;二次函數的性質.

　　專題： 綜合題;數形結合;分類討論.

　　分析： (1)只需將點A、B的坐標代入反比例函數的解析式就可解決問題;

　　(2)將點B的坐標代入y=(x﹣1)2得到n=m2﹣2m+1，先將代數式變形為mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n，然后只需將m2﹣2m+1用n代替，即可解決問題;

　　(3)可先求出直線y=x與反比例函數y= 交點C和D的坐標，然后分a>0和a<0兩種情況討論，先求出二次函數的圖象經過點D或C時對應的a的值，再結合圖象，利用二次函數的性質(|a|越大，拋物線的開口越小)就可解決問題.

　　解答： 解：(1)∵反比例函數y= 的圖象經過點A(1，4)、B(m，n)，

　　∴k=mn=1×4=4，

　　即代數式mn的值為4;

　　(2)∵二次函數y=(x﹣1)2的圖象經過點B，

　　∴n=(m﹣1)2=m2﹣2m+1，

　　∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n

　　=mn(m2﹣2m+1)+2mm﹣4n

　　=4n+2×4﹣4n

　　=8，

　　即代數式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值為8;

　　(3)設直線y=x與反比例函數y= 交點分別為C、D，

　　解 ，得：

　　或 ，

　　∴點C(﹣2，﹣2)，點D(2，2).

　　①若a>0，如圖1，

　　當拋物線y=a(x﹣1)2經過點D時，

　　有a(2﹣1)2=2，

　　解得：a=2.

　　∵|a|越大，拋物線y=a(x﹣1)2的開口越小，

　　∴結合圖象可得：滿足條件的a的范圍是0

　　②若a<0，如圖2，

　　當拋物線y=a(x﹣1)2經過點C時，

　　有a(﹣2﹣1)2=﹣2，

　　解得：a=﹣ .

　　∵|a|越大，拋物線y=a(x﹣1)2的開口越小，

　　∴結合圖象可得：滿足條件的a的范圍是a<﹣ .

　　綜上所述：滿足條件的a的范圍是0

　　點評： 本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、求代數式的值、求直線與反比例函數圖象的交點坐標、二次函數的性質等知識，另外還重點對整體思想、數形結合的思想、分類討論的思想進行了考查，運用整體思想是解決第(2)小題的關鍵，考慮臨界位置并運用數形結合及分類討論的思想是解決第(3)小題的關鍵.

　　24.如圖1，在△ABC中，BC=4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD=BD，連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α.

　　(1)如圖2，當∠ABC=45°且α=90°時，用等式表示線段AD，DE之間的數量關系;

　　(2)將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，連接BF，AF.

　　①若α=90°，依題意補全圖3，求線段AF的長;

　　②請直接寫出線段AF的長(用含α的式子表示).

　　考點： 幾何變換綜合題.

　　分析： (1)根據等腰直角三角形的性質得出即可;

　　(2)①設DE與BC相交于點H，連接 AE，交BC于點G，根據SAS推出△ADE≌△BDC，根據全等三角形的性質得出AE=BC，∠AED=∠BCD.求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可;

　　②過E作EM⊥AF于M，根據等腰三角形的性質得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可.

　　解答： 解：(1)AD+DE=4，

　　理由是：如圖1，

　　∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，

　　∴AD+DE=BC=4;

　　(2)①補全圖形，如圖2，

　　設DE與BC相交于點H，連接AE，

　　交BC于點G，

　　∵∠ADB=∠CDE=90°，

　　∴∠ADE=∠BDC，

　　在△ADE與△BDC中，

　　，

　　∴△ADE≌△BDC，

　　∴AE=BC，∠AED=∠BCD.

　　∵DE與BC相交于點H，

　　∴∠GHE=∠DHC，

　　∴∠EGH=∠EDC=90°，

　　∵線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，

　　∴EF=CB=4，EF∥CB，

　　∴AE=EF，

　　∵CB∥EF，

　　∴∠AEF=∠EGH=90°，

　　∵AE=EF，∠AE

　　F=90°，

　　∴∠AFE=45°，

　　∴AF= =4 ;

　　②如圖2，過E作EM⊥AF于M，

　　∵由①知：AE=EF=BC，

　　∴∠AEM=∠FME= ，AM=FM，

　　∴AF=2FM=EF×sin =8sin .

　　點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定，解直角三角形，等腰三角形的性質，平移的性質的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵，綜合性比較強，難度偏大.

　　25.在平面直角坐標系xOy中，設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圖形W上的任意兩點.

　　定義圖形W的測度面積：若|x1﹣x2|的最大值為m，|y1﹣y2|的最大值為n，則S=mn為圖形W的測度面積.

　　例如，若圖形W是半徑為1的⊙O，當P，Q分別是⊙O與x軸的交點時，如圖1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2;當P，Q分別是⊙O與y軸的交點時，如圖2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2.則圖形W的測度面積S=mn=4

　　(1)若圖形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.

　　①如圖3，當點A，B在坐標軸上時，它的測度面積S=　1　;

　　②如圖4，當AB⊥x軸時，它的測度面積S=　1　;

　　(2)若圖形W是一個邊長1的正方形ABCD，則此圖形的測度面積S的最大值為　2　;

　　(3)若圖形W是一個邊長分別為3和4的矩形ABCD，求它的測度面積S的取值范圍.

　　考點： 圓的綜合題.

　　分析： (1)由測度面積的定義利用它的測度面積S=|OA|•|OB|求解即可;

　　②利用等腰直角三角形的性質求出AC，AB，利用測度面積S=|AB|•|OC|求解即可;

　　(2)先確定正方形有最大測度面積S時的圖形，即可利用測度面積S=|AC|•|BD|求解.

　　(3)分兩種情況當A，B或B，C都在x軸上時，當頂點A，C都不在x軸上時分別求解即可.

　　解答： 解：(1)①如圖3，

　　∵OA=OB=1，點A，B在坐標軸上，

　　∴它的測度面積S=|OA|•|OB|=1，

　　故答案為：1.

　　②如圖4，

　　∵AB⊥x軸，OA=OB=1.

　　∴AB= ，OC= ，

　　∴它的測度面積S=|AB|•|OC|= × =1，

　　故答案為：1.

　　(2)如圖5，圖形的測度面積S的值最大，

　　∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形.

　　∴它的測度面積S=|AC|•|BD|= × =2，

　　故答案為：2.

　　(3)設矩形ABCD的邊AB=4，BC=3，由已知可得，平移圖形W不會改變其測度面積的大小，將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上，

　　當A，B或B，C都在x軸上時，

　　如圖6，圖7，

　　矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積，此時S=12.

　　當頂點A，C都不在x軸上時，如圖8，過點A作直線AH⊥x軸于點E，過C點作CF⊥x軸于點F，過點D作直線GH∥x軸，分別交AE，CF于點H，G，則可得四邊形EFGH是矩形，

　　當點P，Q與點A，C重合時，|x1﹣x2|的最大值為m=EF，|y1﹣y2|的最大值為n=GF.

　　圖形W的測度面積S=EF•GF，

　　∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，

　　∴∠CBF=∠BAE，

　　∵∠AEB=∠BFC=90°，

　　∴△AEB∽△BFC，

　　∴ = = = ，

　　設AE=4a，EB=4b，(a>0，b>0)，則BF=3a，FC=3b，

　　在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，

　　∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，

　　∵b>0，

　　∴b= ，

　　在△ABE和△CDG中，

　　∴△ABE≌△CDG(AAS)

　　∴CG=AE=4a，

　　∴EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，

　　∴圖形W的測度面積S=EF•GF=(4b+3a)(3b+4a)=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，

　　當a2= 時，即a= 時，測度面積S取得最大值12+25× = ，

　　∵a>0，b>0，

　　∴ >0，

　　∴S>12，

　　綜上所述：測度面積S的取值范圍為12≤S≤ .

　　點評： 本題主要考查了閱讀材料題，涉及新定義，三角形相似，三角形全等的判定與性質，勾股定理及矩形，正方形等知識，解題的關鍵是正確的確定矩形|x1﹣x2|的最大值，|y1﹣y2|的最大值.

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