《兩圓的公切線》教案設計
作為一名人民教師，通常需要準備好一份教案，教案是實施教學的主要依據，有著至關重要的作用。優秀的教案都具備一些什么特點呢？下面是小編幫大家整理的《兩圓的公切線》教案設計，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
《兩圓的公切線》教案設計 1
教學目標 ：
(1)理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法;
(2)培養學生的歸納、總結能力;
(3)通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透轉化思想.
教學重點：
理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法.
教學難點 ：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
(一)實際問題(引入)
很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象.(這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐)
(二)概念
1、概念：
教師引導學生自學.給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線.
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.
(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線.
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?
(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長.但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點;切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點.
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量.
(三)兩圓的位置與公切線條數的關系
組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力.添寫教材P143練習第2題表.
(四)應用、反思、總結
例1、已知：⊙O1、⊙O2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切線，切點分別是A、B.求：公切線的長AB.
分析：首先想到切線性質，故連結O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質.(組織學生分析，教師點撥，規范步驟)
解：連結O1A、O2B，作O1AAB，O2BAB.
過 O1作O1CO2B，垂足為C，則四邊形O1ABC為矩形，
于是有
O1CC O2，O1C=AB，O1A=CB.
在Rt△O2CO1和.
O1O2=13，O2C=O2B- O1A=5
AB=O1C= (cm).
反思：(1)轉化思想，構造三角形;(2)初步掌握添加輔助線的方法.
例2*、如圖，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直線AB為，A、B為切點，若PA=8cm，PB=6cm，求切線AB的長.
分析：因為線段AB是△APB的一條邊，在△APB中，已知PA和PB的長，只需先證明△PAB是直角三角形，然后再根據勾股定理，使問題得解.證△PAB是直角三角形，只需證△APB中有一個角是90(或證得有兩角的和是90)，這就需要溝通角的關系，故過P作CD如圖，因為AB是，所以CPB=ABP，CPA=BAP.因為BAP+CPA+CPB+ABP=180，所以2CPA+2CPB=180，所以CPA+CPB=90，即APB=90，故△APB是直角三角形，此題得解.
解：過點P作CD
∵ AB是⊙O1和⊙O2的切線，A、B為切點
CPA=BAP CPB=ABP
又∵BAP+CPA+CPB+ABP=180
2CPA+2CPB=180
CPA+CPB=90 即APB=90
在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2
說明：兩圓相切時，常過切點作，溝通兩圓中的角的關系.
(五)鞏固練習
1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等邊三角形 (D)以上答案都不對.
此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(D)
2、外公切線是指
(A)和兩圓都祖切的直線 (B)兩切點間的距離
(C)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (D)兩圓在公切線同旁時的公切線
直接運用外公切線的定義判斷.答案：(D)
3、教材P141練習(略)
(六)小結(組織學生進行)
知識：、外公切線、內公切線及公切線的長概念;
能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力;
思想：轉化思想.
(七)作業 ：P151習題10，11.
第二課時 (二)
教學目標 ：
(1)掌握兩圓內公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角;
(2)培養的遷移能力，進一步培養學生的歸納、總結能力;
(3)通過兩圓內公切線長的求法進一步向學生滲透轉化思想.
教學重點：
兩圓內公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法.
教學難點 ：
兩圓內公切線和兩圓內公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
(一)復習基礎知識
(1)概念：公切線、內外公切線、內外公切線的長.
(2)兩圓的位置與公切線條數的關系.(構成數形對應，且一一對應)
(二)應用、反思
例1、(教材例2)已知：⊙O1和⊙O2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一條內公切線，切點分別是A，B.
求：公切線的長AB。
組織學生分析，遷移外公切線長的求法，既培養學生解決問題的能力，同時也培養學生學習的遷移能力.
解：連結O1A、O2B，作O1AAB，O2BAB.
過 O1作O1CO2B，交O2B的延長線于C，
則O1C=AB，O1A=BC.
在Rt△O2CO1和.
O1O2=10，O2C=O2B+ O1A=6
O1C=(cm).
AB=8(cm)
反思：與外離兩圓的內公切線有關的計算問題，常構造如此題的'直角梯行及直角三角形，在Rt△O2CO1中，含有內公切線長、圓心距、兩半徑和重要數量.注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構造后的直角三角形.
例2 (教材例3)要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求V形角的度數.
解：(略)
反思：實際問題經過抽象、化簡轉化成數學問題，應用數學知識來解決，這是解決實際問題的重要方法.它屬于簡單的數學建模.
組織學生進行，教師引導.
歸納：(1)用解直角三角形的有關知識可得：當公切線長l、兩圓的兩半徑和R+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量.
(2)上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決.
(三)鞏固訓練
教材P142練習第1題，教材P145練習第1題.
學生獨立完成，教師巡視，發現問題及時糾正.
(四)小結
(1)求兩圓的內公切線，轉化為解直角三角形問題.公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量;
(2)如果兩圓有兩條外(或內)公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上;
(3)求兩圓兩外(或內)公切線的夾角.
(五)作業
教材P153中12、13、14.
第三課時 (三)
教學目標 ：
(1)理解兩圓公切線在解決有關兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規律，并會應用;
(2)通過兩圓公切線在證明題中的應用，培養學生的分析問題和解決問題的能力.
教學重點：
會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規律，并能應用于幾何題證明中.
教學難點 ：
綜合知識的靈活應用和綜合能力培養.
教學活動設計
(一)復習基礎知識
(1)概念.
(2)切線的性質，弦切角等有關概念.
(二)公切線在解題中的應用
例1、如圖，⊙O1和⊙O2外切于點A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B，C為切點.若連結AB、AC會構成一個怎樣的三角形呢?
觀察、度量實驗(組織學生進行)
猜想：(學生猜想)BAC=90
證明：過點A作⊙O1和⊙O2的內切線交BC于點O.
∵OA、OB是⊙O1的切線，
OA=OB.
同理OA=OC.
OA=OB=OC.
BAC=90.
反思：(1)公切線是解決問題的橋梁，綜合應用知識是解決問題的關鍵;(2)作是常見的一種作輔助線的方法.
例2、己知：如圖，⊙O1和⊙O2內切于P，大圓的弦AB交小圓于C，D.
求證：APC=BPD.
分析：從條件來想，兩圓內切，可能作出的輔助線是作連心線O1O2，或作外公切線.
證明：過P點作MN.
∵MPC=PDC，MPN=B，
MPC-MPN=PDC-B，
即APC=BPD.
反思：(1)作了兩圓公切線MN后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯系起來了.要重視MN的橋梁作用.(2)此例證角相等的方法是利用已知角的關系計算.
拓展：(組織學生研究，培養學生深入研究問題的意識)
己知：如圖，⊙O1和⊙O2內切于P，大圓⊙O1的弦AB與小圓⊙O2相切于C點.
是否有：APC=BPC即PC平分APB.
答案：有APC=BPC即PC平分APB.如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4.
(三)練習
練習1、教材145練習第2題.
練習2、如圖，已知兩圓內切于P，大圓的弦AB切小圓于C，大圓的弦PD過C點.
求證：PAPB=PDPC.
證明：過點P作EF
∵ AB是小圓的切線，C為切點
FPC=BCP，FPB=A
又∵BCP-2=FPC-FPB
2 ∵D，△PAC∽△PDB
PAPB=PDPC
說明：此題在例2題的拓展的基礎上解得非常容易.
(四)總結
學習了，應該掌握以下幾個方面
1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內)公切線的交點(如果存在)在連心線上.
2、公切線長的計算，都轉化為解直角三角形，故解題思路主要是構造直角三角形.
3、常用的輔助線：
(1)兩圓在各種情況下常考慮添連心線;
(2)兩圓外切時，常添內公切線;兩圓內切時，常添外公切線.
4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結.
(五)作業 教材P151習題中15，B組2.
探究活動
問題：如圖1，已知兩圓相交于A、B，直線CD與兩圓分別相交于C、E、F、D.
(1)用量角器量出EAF與CBD的大小，根據量得結果，請你猜想EAF與CBD的大小之間存在怎樣的關系，并證明你所得到的結論.
(2)當直線CD的位置如圖2時，上題的結論是否還能成立?并說明理由.
(3)如果將已知中的兩圓相交改為兩圓外切于點A，其余條件不變(如圖3)，那么第(1)題所得的結論將變為什么?并作出證明.
提示：(1)(2)(3)都有EAF+CBD=180.證明略(如圖作輔助線).
說明：問題從操作測量得到的實驗數據入手，進行數據分析，數學發現的一種方法.第(2)、(3)題是對第(1)題結論的推廣和特殊化.第(3)題中若CD移動到與兩圓相切于點C、D，那么結論又將變為CAD=90.
《兩圓的公切線》教案設計 2
教學目標：
1、使學生學會兩圓內公切線長的求法．
2．使學生會求出公切線與連心線的夾角或公切線的夾角．
2、使學生在學會求兩圓內公切線長的過程中，探索規律，培養學生的總結、歸納能力．
3、培養學生會根據圖形分析問題，培養學生的數形結合能力．
教學重點：使學生進一步掌握兩圓公切線等有關概念，會求兩圓內公切線長及切線夾角．
教學難點：兩圓內公切線和內公切線長容易搞混．
教學過程：
一、新課引入：
上一節我們學會了求兩圓的外公切線長，這一節我們將學習兩圓內公切線長的求法及兩圓公切線夾角的求法．實際上，我們首先要清楚，什么樣的兩圓的位置關系存在兩圓內公切線？有幾條？什么樣的兩圓位置關系有內公切線長？請同學們打開練習本，動手畫一畫，結合圖形，考慮上面的問題．學生動手畫圖，教師巡視，當所有學生都畫完圖后，教師打開計算機或幻燈作演示，演示過程由學生回答上述三個問題，并認定只有兩圓外離時，存在內公切線長．
二、新課講解：
有了上一節求兩圓外公切線長的基礎，學生不難想到求兩圓的內公切線長也要在一個直角三角形中完成，只要稍加提示，學生便會作出直角三角形，同時教師要提醒學生注意兩種公切線長的求法中，三角形的邊有所不同．例2如圖7—106，p．142已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為4cm和2cm，圓心距為10cm，ab是⊙o1、⊙o2的內公切線，切點分別為a、b．
求：公切線的長ab．分析：仿照上節的輔助線方法作輔助線，我們會發現，不論從o1或o2向另一條半徑作垂線，垂足都落在半徑的延長線上，因此o2c是兩圓半徑之和．例題解法參照教材p．142例2．
結論：由于圓是軸對稱圖形，1．兩圓的兩條外公切線長相等，兩條內公切線長相等．2．如果兩圓有兩條外（或內）公切線，并且它們相交，那么交點一定在連心線上．
練習一，如圖7—107，已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為1.5cm和2.5cm，o1o2=6cm．求內公切線的長．此題分析類同于例題．
解：連結o2a、o1b，過點o2作o2c⊥o1b交o1b的延長線于c．在rt△o2co1中：∵o1o2=6，o1c=o1b+bc=4，結論：在由公切線長、圓心距、兩圓半徑的和或差構成的rt△中，已知任意兩量，都可以求出第三量來，同時，我們也可以求出所需角來．
例3 p．143要做一個如圖7—108．那樣的v形架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為20mm和80mm，求v形角α的度數．
分析：首先指導學生將實際問題轉化為兩圓外公切線問題，v形角α實際上就是求兩圓公切線的夾角．由矩形、外公切線的基本圖形知，矩形abo2c的邊o2c∥ab，則rt△o1co2中的銳角∠co2o1=∠
解：設兩圓管的圓心分別為o1、o2，它們與v形架切于點a、b，ab與o1o2交于點p，連結o1a，o2b，過點o2作o2c⊥o1a，垂足為c．∴∠co2o1=25°23′．∴∠α=50°46′
練習二，p．145中1．如圖7—109，⊙a、⊙b外切于點c，它們的半徑分別為5cm，2cm，直線l與⊙a、⊙b都相切．求直線ab與l所成的角．
分析：這是兩圓外公切線與兩圓連心線夾角問題，屬于兩圓外公切線的基本圖形，只要在rt△adb中求出∠abd的.度數即可．
解：設l與⊙a、⊙b分別切于點m、n，連結am、bn，過點b作bd⊥am，垂足為d．∴∠abd=25°23′．∴∠1=25°23′．
答：直線ab與l所成的角為25°23′．
三、課堂小結：
為培養學生閱讀教材的習慣，讓學生看教材p．142—p．145，從中總結出本課主要內容：
1．求兩圓的內公切線，仍然歸結為解直角三角形問題，注意基本圖形中的直角三角形，圓心距仍然為斜邊，內公切線長、兩半徑之和作直角邊，三個量中已知任何兩個量，都可以求出第三個量來．
2．如果兩圓有兩條外（或內）公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上．
3．求兩圓兩外（或內）公切線的夾角．要根據基本圖形，歸結為求rt△中的銳角．從而根據平行線的同位角相等，進而求出兩公切線的夾角．
四、布置作業教材p．153中12、13、14．
《兩圓的公切線》教案設計 3
教學目標：
（1）理解圓周角的概念,掌握圓周角的兩個特征、定理的內容及簡單應用；
（2）繼續培養學生觀察、分析、想象、歸納和邏輯推理的能力；
（3）滲透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的數學思想方法．
教學重點：
圓周角的概念和圓周角定理
教學難點：
圓周角定理的證明中由“一般到特殊”的數學思想方法和完全歸納法的數學思想．
教學活動設計：
（在教師指導下完成）
（一）圓周角的概念
1、復習提問：
（1）什么是圓心角？
答：頂點在圓心的角叫圓心角.
（2）圓心角的度數定理是什么？
答：圓心角的度數等于它所對弧的度數.（如右圖）
2、引題圓周角：
如果頂點不在圓心而在圓上，則得到如左圖的新的角∠ACB，它就是圓周角.（如右圖）（演示圖形，提出圓周角的定義）
定義：頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角
3、概念辨析：
教材P93中1題：判斷下列各圖形中的是不是圓周角，并說明理由．
學生歸納：一個角是圓周角的條件：①頂點在圓上；②兩邊都和圓相交.
（二）圓周角的定理
1、提出圓周角的度數問題
問題：圓周角的度數與什么有關系？
經過電腦演示圖形，讓學生觀察圖形、分析圓周角與圓心角，猜想它們有無關系．引導學生在建立關系時注意弧所對的圓周角的三種情況：圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角內部、圓心在圓周角外部．
（在教師引導下完成）
（1）當圓心在圓周角的一邊上時，圓周角與相應的圓心角的關系：（演示圖形）觀察得知圓心在圓周角上時，圓周角是圓心角的一半.
提出必須用嚴格的數學方法去證明.
證明: (圓心在圓周角上)
（2）其它情況，圓周角與相應圓心角的關系：
當圓心在圓周角外部時（或在圓周角內部時）引導學生作輔助線將問題轉化成圓心在圓周角一邊上的情況，從而運用前面的結論，得出這時圓周角仍然等于相應的圓心角的結論.
證明：作出過C的直徑（略）
圓周角定理: 一條弧所對的
周角等于它所對圓心角的一半.
說明：這個定理的證明我們分成三種情況.這體現了數學中的分類方法；在證明中，后兩種都化成了第一種情況，這體現數學中的化歸思想.（對A層學生滲透完全歸納法）
（三）定理的應用
1 、例題:如圖?? OA、OB、OC都是圓O的半徑，∠AOB=2∠BOC．
求證：∠ACB=2∠BAC
讓學生自主分析、解得，教師規范推理過程．
說明：①推理要嚴密；②符號“”應用要嚴格，教師要講清．
2、鞏固練習:
（1）如圖，已知圓心角∠AOB=100°，求圓周角∠ACB、∠ADB的度數？
（2）一條弦分圓為1：4兩部分，求這弦所對的圓周角的度數？
說明：一條弧所對的圓周角有無數多個，卻這條弧所對的圓周角的度數只有一個，但一條弦所對的圓周角的度數只有兩個．
（四）總結
知識：（1）圓周角定義及其兩個特征；（2）圓周角定理的內容．
思想方法：一種方法和一種思想：
在證明中，運用了數學中的分類方法和“化歸”思想．分類時應作到不重不漏；化歸思想是將復雜的問題轉化成一系列的簡單問題或已證問題．
（五）作業教材P100中習題A組6,7,8
第二、三課時圓周角（二、三）
教學目標：
（1）掌握圓周角定理的三個推論，并會熟練運用這些知識進行有關的計算和證明；
（2）進一步培養學生觀察、分析及解決問題的能力及邏輯推理能力；
（3）培養添加輔助線的能力和思維的廣闊性．
教學重點：圓周角定理的三個推論的應用．
教學難點：三個推論的靈活應用以及輔助線的添加．
教學活動設計：
（一）創設學習情境
問題1 ：畫一個圓，以B、C為弧的端點能畫多少個圓周角？它們有什么關系？
問題2 ：在⊙O中，若=，能否得到∠C=∠G呢？根據什么？反過來，若土∠C=∠G，是否得到=呢？
（二）分析、研究、交流、歸納
讓學生分析、研究，并充分交流．
注意：①問題解決，只要構造圓心角進行過渡即可；②若=，則∠C=∠G；但反之不成立．
老師組織學生歸納：
推論1 ：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．
重視：同弧說明是“同一個圓”；等弧說明是“在同圓或等圓中”．
問題：“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所對的圓周角一定相等嗎？（學生通過交流獲得知識）
問題3 ：（1）一個特殊的圓弧——半圓，它所對的圓周角是什么樣的角？
（2）如果一條弧所對的圓周角是90°，那么這條弧所對的圓心角是什么樣的角?
學生通過以上兩個問題的解決，在教師引導下得推論2：
推論2 ：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90 °的圓周角所對的弦直徑．
指出：這個推論是圓中一個很重要的性質，為在圓中確定直角、成垂直關系創造了條件，要熟練掌握．
啟發學生根據推論2推出推論3：
推論3 ：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角是直角三角形．
指出：推論3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．
（三）應用、反思
例1、如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑．
求證：AB·AC＝AE·AD．
對A層同學，讓學生自主地分析問題、解決問題，進行生生交流，師生交流；其他層次的學生在教師引導下完成．
交流：①分析解題思路；②作輔助線的方法；③解題推理過程（要規范）．
解（略）
教師引導學生思考：（1）此題還有其它證法嗎?（2）比較以上證法的'優缺點．
指出：在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑上的圓周角，以便利用直徑上的圓周角是直角的性質．
變式練習1：如圖，△ABC內接于⊙O，∠1=∠2．
求證：AB·AC＝AE·AD．
變式練習2：如圖，已知△ABC內接于⊙O，弦AE平分
∠BAC交BC于D．
求證：AB·AC＝AE·AD．
指出：這組題目比較典型，圓和相似三角形有密切聯系，證明圓中某些線段成比例，常常需要找出或通過輔助線構造出相似三角形．
例2：如圖，已知在⊙O中，直徑AB為10厘米，弦AC為6厘米，∠ACB的平分線交⊙O于D；
求BC，AD和BD的長．
解：(略)
說明：充分利用直徑所對的圓周角為直角，解直角三角形．
練習：教材P96中1、2
（四）小結（指導學生共同小結）
知識：本節課主要學習了圓周角定理的三個推論．這三個推論各具特色，作用各異，在今后的學習中應用十分廣泛，應熟練掌握．
能力：在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角或構成相似三角形，這種基本技能技巧一定要掌握．
（五）作業
教材P100．習題A組9、10、12、13、14題；另外A層同學做P102B組3，4題．
探究活動
我們已經學習了“圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半”，但當角的頂點在圓外（如圖①稱圓外角）或在圓內（如圖②稱圓內角），它的度數又和什么有關呢？請探究．
提示：（1）連結BC，可得∠E=（的度數—的度數）
（2）延長AE、CE分別交圓于B、D，則∠B=的度數，
∠C=的度數，
∴∠AEC=∠B+∠C=（的度數+的度數）．
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