小學生數學故事：九片竹籬笆
有9片竹籬笆，長度分別是1米、2米、3米、4米、5米、6米、7米、8米和9米。從中取出若干片，順次連接，圍出一塊正方形場地，共有多少種不同取法?
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(米)。
由于
4×11< 45<4×12，
可見所得正方形邊長最大不超過11米。
其次，因為各片籬笆的長度互不相等，所以在正方形的四條相等的邊中，至少有三條邊是由兩片或更多片籬笆連成的。由此可見，至少要取出7片籬笆，因而其中至少有一片籬笆的長度大于或等于7米。
這樣就確定了，正方形的邊長可能取值范圍是從7米到11米。在這范圍內，可以列舉出全部可能取法如下：
邊長為7：(7，6+1，5+2，4+3)，1種。
邊長為8：(8，7+1，6+2，5+3)，1種。
邊長為9：(9，8+1，7+2，6+3)，(9，8+1，7+2，5+4)，(9，8+1，6+3，5+4)，(9，7+2，6+3，5+4)，(8+1，7+2，6+3，5+4)，5種。
邊長為10：(9+1，8+2，7+3，6+4)，1種。
邊長為11：(9+2，8+3，7+4，6+5)，1種。
題目問“共有多少種”，不能有遺漏。為此，可以首先估計一下正方形邊長的最大值和最小值，確定搜索范圍。
勾股定理——
歐幾里得證法
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。
在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。(SAS)
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積(據輔助定理3)。
證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關系，轉換成下方兩個同等面積的長方形。
設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。
其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。
分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。
因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。
同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。
把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。
此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。
由于這個定理的證明依賴于平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。