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2017年高二下學期數學(文)期中試題
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第Ⅰ卷 ( 共60分)
一、選擇題(本大題有12小題，每小題5分，共60分，請從A，B，C ，D四個選項中，選出一個符合題意的正確選項，填入答題卷，不選，多選，錯選均得零分.)
1.拋物線 的焦點坐 標是( )
A. B. C. D.
2.命題“若 ，則 都為零”的否命題是( )
A.若 ，則 都不為零 B.若 ，則 不都為零
C.若 都不為零，則 D.若 不都為零，則
3.曲線 在 處的切線的傾斜角為( )
A. B. C. D.
4.已知 的圖象如右所示，則 的一個可能圖象是( )
A. B. C. D.
5.橢圓 的一個頂點在拋物線 的準線上，則橢圓的離心率( )
A. B. C .4 D.
6.函數 的單調遞增區間是( )
A. B. C. D.
7.一動圓 與圓 外切，而與圓 內切，那么動圓的圓心 的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線 C.橢圓或雙曲線一支 D.拋物線
8. 已知函數 在R上可導，且 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
9.曲線 與曲線 的( )
A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等
10.設雙曲線 的一條漸近線與拋物線 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ).
A. B. 5 C. D.
11.已知命題 ：函數 在R為增函數， :函數 在 為減函數.則命題 ; ; ; 中真命題的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.有一凸透鏡其剖面圖(如圖)是由橢圓 和雙曲線 的實線部分組成，已知兩曲線有共同焦點M、N;A、B分別在左右兩部分實線上運動，則 周長的最小值為: ( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題有4小題，每小題5分，共20分，請將答案寫在答題卷上)
13.雙曲線 的漸近線方程為___________.
14.若函數 在 處有極小值，則實數 等于_________.
15.已知命題 :“ ”, 命題 ：“ ”,
若命題“ ”為假命題，則實數 的取值范圍為 .
16. 綜合應用拋物線和雙曲 線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡.這種 望遠鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚，例如，某天文儀器廠設計制造的一種反射式望遠鏡，其光學系統的原理如圖(中心截口示意圖)所示，其中，一個反射鏡 弧所在的曲 線為拋物線，另一個反射鏡 弧所在的曲線為雙曲線的一個分支，已知 、 是雙曲線的兩個焦點，其中 同時又是拋物線的焦點， 也是雙曲線的左頂點.若在如圖所示的坐標系下， 弧所在的曲線方程為標準方程，試根據圖示尺寸(單位：cm)，寫出反射鏡 弧所在的拋物線方程為_________.
三、解答題(本大題有6小題，共70分，請將解答過程寫在答題卷上
17.(本小題滿分10分)已知命題 ：實數 滿足 ，
：實數 滿足
(1)若 為真命題，求實數 的取值范圍.
(2)若 是 的充分不必要條件，求實數 的取值范圍.
18.(本小題滿分12分)已知 ，
(1)寫出 的定義域. (2)求 的單調區間.
19. (本小題滿分12分) 設命題 ， . 命題 ， . 如果命題“ ∨ ”為真命題，“ ∧ ”為假命題，求實數 的取值范圍.
20. (本小題滿分12分)已知橢圓 的左，右焦點 、 .若以橢圓的焦點為頂點，以橢圓長軸的頂點為焦點作一雙曲線恰為等軸雙曲線.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設L為過橢圓右焦點 的直線，交橢圓于 、 兩點，當 周長為 時;
求 面積的最大值.
21.(本小題滿分12分)已知函數
(1)求函數 的極大值點和極小值點;
(2)若 恰好有三個零點，求實數 取值范圍.
22. (本題滿分12分) 已知:拋物線m 焦點為 ，以 為圓心的圓 過原點 ，過 引斜率為 的直線與拋物線 和圓 從上至下順次交于A、B、C、D.若 .
(1) 求拋物線方程.
(2)當為 何值時, 、 、 的面積成等差數列;
(3)設M為拋物線上任一點，過M點作拋物線的準線的垂線，垂足為H.在圓 上是否存在點N，使 的最大值，若存在，求出 的最大值;若不存在，說明理由.
數學(文)參考答案
一、選擇題 DBCDB CCDCA BA
12.
當且僅當M、A、B共線時， 周長的最小
二、填空題(每小題5分，共20分)
13. 14.1 15. 16.
16.解：由題意知：連接 的直線為 軸，線段 的中點為原點.
對于拋物線，有 ,所以， .
因為雙曲線的實軸長為 因為拋物線的頂點橫坐標是 .
所以，所 求拋物線的方程為 .
三、解答題
17.解：(1)
或
或 (5分)
(2) 是 的充分不必 要條件 是 的充分不必要條件
化簡 ， 設
則 且 (10分)
18. 解: (1) 的定義域為 . (3分)
(2) ，得 ，(5分)
①當 時，在 上 ;在 上
的遞增區間為 ;遞減區間為 (9分)
②當 時，在 上 ;在 上
的遞增區間為 ;遞減區間為 (12分)
19.解:設 ，得 ，
2
有最大值 ;最小值 (6分)
則命題 成立得 ;命題 成立得
由命題“ ∨ ”為真命題，“ ∧ ”為假命題。則 一真一假
若 真 假，則 ;若 真 假，則
所以，實數 的取值范圍為 (12分)
20.(1)由題意雙曲線為 為等軸雙曲線
則 ，得橢圓的離心率為 (4分)
(2) 周長為 8,可得：橢圓為： , (6分)
設PQ為 代入橢圓得 (8分)
(10分)
令 ;則 .(顯然當 即 時最大)(12分)
法二:由對稱性,不妨設PQ的傾斜角為 . ,
周長為 8,可得：橢圓為： ,
設PQ為 其中 代入橢圓得
又焦點弦
，顯然 時取最大.
法三: 周長為 8,可得：橢圓為： ,
由對稱性,不妨設PQ的傾斜角為 . ,
又 (其中 )
21.解:(1) 得 ;
在 和 上為增函數;在 上為減函數
(也可由 的圖像得單調性)
函數 的極大值點為 ，極小值點為 (6分)
(2)若 恰好有三個零點，則 又 得 (12分)
22.解:(1)由題 意 , ;直線AD為
;
聯立 得
由違達定理得 ∴
∴拋物線方程 ……5分
(2) 由 、 、 的面積成等差數列
得 (即弦長 )
∴ ∴ ……9分
(或 )
(3)由定義
∴存在 點N，使 的取得最大值為4 ……12分
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