初三數學期中考試試卷及答案

　　【考點】二次函數圖象與系數的關系.

　　【分析】采用形數結合的方法解題，根據拋物線的開口方向，對稱軸的位置判斷a、b、c的符號，把兩根關系與拋物線與x的交點情況結合起來分析問題.

　　【解答】解：①因為圖象與x軸兩交點為(﹣2，0)，(x1，0)，且1

　　對稱軸x= =﹣ ，

　　則對稱軸﹣ <﹣ <0，且a<0，

　　∴a

　　由拋物線與y軸的正半軸的交點在(0，2)的下方，得c>0，即a

　　②由于拋物線的對稱軸大于﹣1，所以拋物線的頂點縱坐標應該大于2，即： >2，

　　由于a<0，所以4ac﹣b2<8a，即b2﹣4ac>﹣8a，∴②正確;

　　③設x2=﹣2，則x1x2= ，而1

　　∴﹣4

　　∴﹣4< <﹣2，

　　∴2a+c>0，4a+c<0.

　　∴③正確

　　④拋物線過(﹣2，0)，則4a﹣2b+c=0，而c<2，則4a﹣2b+2>0，即2a﹣b+1>0.④錯誤.

　　故答案為：①②③.

　　【點評】本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，拋物線與X軸的交點，二次函數與系數的關系等知識點的理解和掌握，能根據圖象確定與系數有關的式子的符號是解此題的關鍵.

　　三、(本題共2小題，每小題8分，滿分16分)

　　15.已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a﹣2b+3c的值.

　　【考點】比例的性質.

　　【專題】計算題.

　　【分析】根據比例的性質可設a=2k，b=3k，c=4k，則利用2a+3b﹣2c=10得到4k+9k﹣8k=10，解得k=2，于是可求出a、b、c的值，然后計算a﹣2b+3c的值.

　　【解答】解：∵a：b：c=2：3：4，

　　∴設a=2k，b=3k，c=4k，

　　而2a+3b﹣2c=10，

　　∴4k+9k﹣8k=10，解得k=2，

　　∴a=4，b=6，c=8，

　　∴a﹣2b+3c=4﹣12+24=16.

　　【點評】本題考查了比例的性質：常用的性質有：內項之積等于外項之積;合比性質;分比性質;合分比性質;等比性質.

　　16.已知二次函數y=﹣0.5x2+4x﹣3.5

　　(1)用配方法把該函數化為y=a(x﹣h)2+k的形式，并指出函數圖象的對稱軸和頂點坐標;

　　(2)求函數圖象與x軸的交點坐標.

　　【考點】二次函數的三種形式.

　　【分析】(1)運用配方法把一般式化為頂點式，根據二次函數的性質求出對稱軸和頂點坐標;

　　(2)根據題意得到一元二次方程，解方程得到答案.

　　【解答】解：(1)∵y=﹣0.5x2+4x﹣3.5，

　　∴y=﹣0.5(x﹣4)2+4.5，對稱軸是直線x=4，頂點坐標為(4，4.5);

　　(2)﹣0.5x2+4x﹣3.5=0，

　　解得，x1=7，x2=1，

　　則函數圖象與x軸的交點坐標是(7，0)、(1，0).

　　【點評】本題考查的是二次函數的三種形式，掌握運用配方法把一般式化為頂點式的一般步驟是解題的關鍵，注意二次函數的性質的應用.

　　四、(本題共2小題，每小題8分，滿分16分)

　　17.如圖，一個二次函數的圖象經過點A、C、B三點，點A的坐標為(﹣1，0)，點B的坐標為(3，0)，點C在y軸的正半軸上，且AB=OC.

　　(1)求點C的坐標;

　　(2)求這個二次函數的解析式，并求出該函數的最大值.

　　【考點】待定系數法求二次函數解析式;二次函數的最值.

　　【分析】(1)首先求得AB，得出OC，求得點C的坐標;

　　(2)利用待定系數法求的函數解析式，進一步利用頂點坐標公式求得最值即可.

　　【解答】解：(1)∵A(﹣1，0)、B(3，0)，

　　∴AO=1，OB=3，即AB=AO+OB=1+3=4.

　　∴OC=4，即點C的坐標為(0，4).

　　(2)設圖象經過A、C、B三點的二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，把A、C、B三點的坐標分別代入上式，

　　得 ，

　　解得a=﹣ ，b= x，c=4，

　　∴所求的二次函數解析式為y=﹣ x2+ x+4.

　　∵點A、B的坐標分別為點A(﹣1，0)、B(3，0)，

　　∴線段AB的中點坐標為(1，0)，即拋物線的對稱軸為直線x=1.

　　∵a=﹣ <0，

　　∴當x=1時，y有最大值y=﹣ + +4= .

　　【點評】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，求得三點的坐標，掌握待定系數法的方法與步驟是解決問題的關鍵.

　　18.如圖，∠ACB=∠ADC=90°，AC= ，AD=2.問當AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似.

　　【考點】相似三角形的判定.

　　【專題】分類討論.

　　【分析】如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.在Rt△ABC和Rt△ACD，直角邊的對應需分情況討論.

　　【解答】解：∵AC= ，AD=2，

　　∴CD= = .要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：

　　(1)當Rt△ABC∽Rt△ACD時，有 = ，∴AB= =3;

　　(2)當Rt△ACB∽Rt△CDA時，有 = ，∴AB= =3 .

　　故當AB的長為3或3 時，這兩個直角三角形相似.

　　【點評】本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角，可利用數形結合思想根據圖形提供的數據計算對應角的度數、對應邊的比.

　　五、(本題共2小題，每小題10分，滿分20分)

　　19.已知拋物線y=﹣x2+2x+2.

　　(1)該拋物線的對稱軸是　x=1　，頂點坐標　(1，3)　;

　　(2)選取適當的數據填入下表，并在如圖的直角坐標系內描點畫出該拋物線的圖象;

　　x

　　y

　　(3)若該拋物線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)的橫坐標滿足x1>x2>1，試比較y1與y2的大小.

　　【考點】二次函數的性質;二次函數的圖象;二次函數圖象上點的坐標特征.

　　【專題】圖表型.

　　【分析】(1)代入對稱軸公式 和頂點公式(﹣ ， )即可;

　　(2)盡量讓x選取整數值，通過解析式可求出對應的y的值，填表即可;

　　(3)結合圖象可知這兩點位于對稱軸右邊，圖象隨著x的增大而減少，因此y1

　　【解答】解：(1)x=1;(1，3)

　　(2)

　　x … ﹣1 0 1 2 3 …

　　y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 …

　　(3)因為在對稱軸x=1右側，y隨x的增大而減小，又x1>x2>1，所以y1

　　【點評】二次函數是中考考查的必考內容之一，本題是綜合考查二次函數的一些基礎知識，需要考生熟悉二次函數的相關基本概念即可解題.

　　20.已知函數y=x2﹣mx+m﹣2.

　　(1)求證：不論m為何實數，此二次函數的圖象與x軸都有兩個不同交點;

　　(2)若函數y有最小值﹣ ，求函數表達式.

　　【考點】拋物線與x軸的交點;二次函數的最值.

　　【專題】證明題.

　　【分析】(1)先計算判別式的值得到△=m2﹣4m+8，然后配方得△=(m﹣2)2+4，利用非負數的性質得△>0，于是根據拋物線與x軸的交點問題即可得到結論;

　　(2)根據二次函數的最值問題得到 =﹣ ，解方程得m1=1，m2=3，然后把m的值分別代入原解析式即可.

　　【解答】(1)證明：y=x2﹣mx+m﹣2，

　　△=(﹣m)2﹣4(m﹣2)

　　=m2﹣4m+8

　　=(m﹣2)2+4，

　　∵(m﹣2)2≥0，

　　∴(m﹣2)2+4>0，即△>0，

　　∴不論m為何實數，此二次函數的圖象與x軸都有兩個不同交點;

　　(2) =﹣ ，

　　整理得m2﹣4m+3=0，

　　解得m1=1，m2=3，

　　當m=1時，函數解析式為y=x2﹣x﹣1;

　　當m=3時，函數解析式為y=x2﹣3x+1.

　　【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.

　　(1)二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系.△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.也考查了二次函數的最值問題.

　　六、(本題滿分12分)

　　21.如圖，反比例函數 與一次函數y2=kx+b的圖象交于兩點A(1，3)、B(n，﹣1).

　　(1)求這兩個函數的解析式;

　　(2)觀察圖象，請直接寫出不等式 的解集;

　　(3)點C為x軸正半軸上一點，連接AO、AC，且AO=AC，求△AOC的面積.

　　【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.

　　【分析】(1)可先把A代入反比例函數解析式，求得m的值，進而求得n的值，把A，B兩點分別代入一次函數解析式即可;

　　(2)根據圖象即可求得;

　　(3)過A點作AD⊥OC于點D，根據A的坐標得出AD=3，OC=2，根據三角形面積就可求得.

　　【解答】解：(1)把A(1，3)的坐標代入 ，得m=3，

　　故反比例函數的解析式為 ，

　　把B(n，﹣1)的坐標代入 ，得﹣n=3，

　　把A(1，3)和B(﹣3，﹣1)的坐標分別代入y2=kx+b，得 ，

　　解得k=1，b=2.

　　故一次函數的解析式為y2=x+2;

　　(2)x>1或﹣3

　　(3)過A點作AD⊥OC于點D，

　　∵AO=AC，

　　∴OD=CD，

　　∵A(1，3)在雙曲線 圖象上，

　　∴ODAD=3，

　　∴ OCAD=3，

　　∴S△AOC=3.

　　【點評】本題綜合考查一次函數與反比例函數的圖象交點，同時考查用待定系數法求函數解析式.本題需要注意無論是自變量的取值范圍還是函數值的取值范圍，都應該從交點入手思考;需注意反比例函數的自變量不能取0.

　　七、(本題滿分12分)

　　22.如圖，小明在一次高爾夫球爭霸賽中，從山坡下O點打出一球向球洞A點飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大水平高度12米時，球移動的水平距離為9米.已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30°，O、A兩點相距8 米.

　　(1)求出點A的坐標及直線OA的解析式;

　　(2)求出球的飛行路線所在拋物線的解析式;

　　(3)判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞A點?

　　【考點】二次函數的應用.

　　【專題】壓軸題.

　　【分析】(1)已知OA與水平方向OC的夾角為30°，OA=8 米，解直角三角形可求點A的坐標及直線OA的解析式;

　　(2)分析題意可知，拋物線的頂點坐標為(9，12)，經過原點(0，0)，設頂點式可求拋物線的解析式;

　　(3)把點A的橫坐標x=12代入拋物線解析式，看函數值與點A的縱坐標是否相符.

　　【解答】解：(1)在Rt△AOC中，

　　∵∠AOC=30°，OA=8 ，

　　∴AC=OAsin30°=8 × = ，

　　OC=OAcos30°=8 × =12.

　　∴點A的坐標為(12， )，

　　設OA的解析式為y=kx，把點A(12， )的坐標代入得：

　　=12k，

　　∴k= ，

　　∴OA的解析式為y= x;

　　(2)∵頂點B的坐標是(9，12)，∴設拋物線的解析式為y=a(x﹣9)2+12，

　　∵點O的坐標是(0，0)

　　∴把點O的坐標代入得：

　　0=a(0﹣9)2+12，

　　解得a= ，

　　∴拋物線的解析式為y= (x﹣9)2+12

　　即y= x2+ x;

　　(3)∵當x=12時，y= ≠ ，

　　∴小明這一桿不能把高爾夫球從O點直接打入球洞A點.

　　【點評】本題考查了點的坐標求法，一次函數、二次函數解析式的確定方法，及點的坐標與函數解析式的關系.

　　八、(本題滿分14分)

　　23.2015年9月19日第九屆合肥文博會開幕.開幕前夕，我市某工藝廠設計了一款成本為10元/件的工藝品投放市場進行試銷.經過調查，得到如下數據：

　　銷售單價x(元/件) … 20 30 40 50 60 …

　　每天銷售量(y件) … 500 400 300 200 100 …

　　(1)把上表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在下面的平面直角坐標系中描出相應的點，猜想y與x的函數關系，并求出函數關系式;

　　(2)當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?

　　(3)開幕后，合肥市物價部門規定，該工藝品銷售單價最高不能超過38元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?

　　【考點】二次函數的應用.

　　【分析】(1)利用表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在坐標系中描出即可，再根據點的分布得出y與x的函數關系式，求出即可;

　　(2)根據利潤=銷售總價﹣成本總價，由(1)中函數關系式得出W=(x﹣10)(﹣10x+700)，進而利用二次函數最值求法得出即可;

　　(3)利用二次函數的增減性，結合對稱軸即可得出答案.

　　【解答】解：(1)描點如圖所示：

　　由圖可知，這幾個點在一條直線上，所以猜想y與x是一次函數關系.

　　設這個一次函數為y=kx+b(k≠0)，

　　∵這個一次函數的圖象經過(20，500)、(30，400)這兩點，

　　∴ .

　　解得： .

　　∴此函數關系式是y=﹣10x+700.

　　(2)設工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得：

　　W=(x﹣10)(﹣10x+700)=﹣10x2+800x﹣7000=﹣10(x2﹣80x)﹣7000=﹣10(x2﹣80x+1600﹣1600)﹣7000

　　=﹣10(x﹣40)2+9000，

　　∴當x=40時，W有最大值9000.

　　答：銷售單價定為40元∕件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大.最大利潤是9000元.

　　(3)對于函數W=﹣10(x﹣40)2+9000，

　　當x≤38時，W的值隨著x值的增大而增大，

　　故當x=38時，W最大=﹣10×(38﹣40)2+9000=8960，

　　答：銷售單價定為38元∕件時，工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤最大.最大利潤是8960元.

　　【點評】此題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求一次函數解析式以及二次函數增減性應用等知識，利用配方法求得函數的最值是解題的關鍵.