北師大版初二下《運用公式法（一）》教學設計

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　　●課題

北師大版初二下《運用公式法（一）》教學設計

　　§2.3.1 運用公式法（一）

　　●教學目標

　　（一）教學知識點

　　1.使學生了解運用公式法分解因式的意義；

　　2.使學生掌握用平方差公式分解因式.

　　3.使學生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式.

　　（二）能力訓練要求

　　1.通過對平方差公式特點的辨析，培養學生的觀察能力.

　　2.訓練學生對平方差公式的運用能力.

　　（三）情感與價值觀要求

　　在引導學生逆用乘法公式的過程中，培養學生逆向思維的意識，同時讓學生了解換元的思想方法.

　　●教學重點

　　讓學生掌握運用平方差公式分解因式.

　　●教學難點

　　將某些單項式化為平方形式，再用平方差公式分解因式；培養學生多步驟分解因式的能力.

　　●教學方法

　　引導自學法

　　●教具準備

　　投影片兩張

　　第一張（記作§2.3.1 A）

　　第二張（記作§2.3.1 B）

　　●教學過程

　　Ⅰ.創設問題情境,引入新課

　　［師］在前兩節課中我們學習了因式分解的定義，即把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，還學習了提公因式法分解因式，即在一個多項式中，若各項都含有相同的因式，即公因式，就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式乘積的形式.

　　如果一個多項式的各項，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢？當然不是，只要我們記住因式分解是多項式乘法的相反過程，就能利用這種關系找到新的因式分解的方法，本節課我們就來學習另外的一種因式分解的方法——公式法.

　　Ⅱ.新課講解

　　［師］1.請看乘法公式

　　（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）

　　左邊是整式乘法，右邊是一個多項式，把這個等式反過來就是

　　a2－b2=（a+b）（a－b）（2）

　　左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積.大家判斷一下，第二個式子從左邊到右邊是否是因式分解？

　　［生］符合因式分解的定義，因此是因式分解.

　　［師］對，是利用平方差公式進行的因式分解.第（1）個等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）個等式可以看作是因式分解中的平方差公式.

　　2.公式講解

　　［師］請大家觀察式子a2－b2,找出它的特點.

　　［生］是一個二項式，每項都可以化成整式的平方，整體來看是兩個整式的平方差.

　　［師］如果一個二項式，它能夠化成兩個整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個整式的和與差的積.

　　如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.

　　9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2

　　=（3 m +2n）（3 m －2n）

　　3.例題講解

　　［例1］把下列各式分解因式：

　　（1）25－16x2;

　　（2）9a2－ b2.

　　解：（1）25－16x2=52－（4x）2

　　=（5+4x）（5－4x）;

　　（2）9a2－ b2=（3a）2－（ b）2

　　=（3a+ b）（3a－ b）.

　　［例2］把下列各式分解因式:

　　（1）9（m+n）2－（m－n）2;

　　（2）2x3－8x.

　　解：（1）9（m +n）2－（m－n）2

　　=［3（m +n）］2－（m－n）2

　　=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］

　　=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）

　　=（4 m +2n）（2 m +4n）

　　=4（2 m +n）（m +2n）

　　（2）2x3－8x=2x（x2－4）

　　=2x（x+2）（x－2）

　　說明：例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個二項式化成兩個多項式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當一個題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法.

　　補充例題

　　投影片（§2.3.1 A）

　　判斷下列分解因式是否正確.

　　（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.

　　（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）（a2－1）.

　　［生］解：（1）不正確.

　　本題錯在對分解因式的概念不清，左邊是多項式的形式，右邊應是整式乘積的形式，但（1）中還是多項式的形式，因此，最終結果是未對所給多項式進行因式分解.

　　（2）不正確.

　　錯誤原因是因式分解不到底，因為a2－1還能繼續分解成（a+1）（a－1）.

　　應為a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.

　　Ⅲ.課堂練習

　　（一）隨堂練習

　　1.判斷正誤

　　解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （×）

　　（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√）

　　（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （×）

　　（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （×）

　　2.把下列各式分解因式

　　解：（1）a2b2－m2

　　=（ab）2－m 2

　　=（ab+ m）（ab－m）;

　　（2）（m－a）2－（n+b）2

　　=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］

　　=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;

　　（3）x2－（a+b－c）2

　　=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］

　　=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;

　　（4）－16x4+81y4

　　=（9y2）2－（4x2）2

　　=（9y2+4x2）（9y2－4x2）

　　=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）

　　3.解：S剩余=a2－4b2.

　　當a=3.6,b=0.8時，

　　S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）

　　答：剩余部分的面積為10.4 cm2.

　　（二）補充練習

　　投影片（§2.3.1 B）

　　把下列各式分解因式

　　（1）36（x+y）2－49（x－y）2;

　　（2）（x－1）+b2（1－x）;

　　（3）（x2+x+1）2－1.

　　解：（1）36（x+y）2－49（x－y）2

　　=［6（x+y）］2－［7（x－y）］2

　　=［6（x+y）+7（x－y）］［6（x+y）－7（x－y）］

　　=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）

　　=（13x－y）（13y－x）;

　　（2）（x－1）+b2（1－x）

　　=（x－1）－b2（x－1）

　　=（x－1）（1－b2）

　　=（x－1）（1+b）（1－b）;

　　（3）（x2+x+1）2－1

　　=（x2+x+1+1）（x2+x+1－1）

　　=（x2+x+2）（x2+x）

　　=x（x+1）（x2+x+2）

　　Ⅳ.課時小結

　　我們已學習過的因式分解方法有提公因式法和運用平方差公式法.如果多項式各項含有公因式，則第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的結構特點，若符合則繼續進行.

　　第一步分解因式以后，所含的多項式還可以繼續分解，則需要進一步分解因式，直到每個多項式都不能分解為止.

　　Ⅴ.課后作業

　　習題2.4

　　1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;

　　（2）36－x2=（6+x）（6－x）;

　　（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;

　　（4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）;

　　（5）0.25q2－121p2

　　=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;

　　（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;

　　（7）9a2p2－b2q2

　　=（3ap+bq）（3ap－bq）;

　　（8） a2－x2y2=（ a+xy）（ a－xy）;

　　2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;

　　（2）49（a－b）2－16（a+b）2

　　=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2

　　=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］

　　=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）

　　=（11a－3b）（3a－11b）;

　　（3）（2x+y）2－（x+2y）2

　　=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］

　　=（3x+3y）（x－y）

　　=3（x+y）（x－y）;

　　（4）（x2+y2）－x2y2

　　=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;

　　（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）

　　=3a（x+y2）（x－y2）

　　（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）

　　=（p2+1）（p+1）（p－1）.

　　3.解：S環形=πR2－πr2=π（R2－r2）

　　=π（R+r）（R－r）

　　當R=8.45,r=3.45，π=3.14時，

　　S環形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）

　　答：兩圓所圍成的環形的面積為186.83 cm2.

　　Ⅵ.活動與探究

　　把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式

　　解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc

　　=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

　　=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc

　　=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2

　　=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］

　　=（b+c）［a2+bc+ab+ac］

　　=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］

　　=（b+c）（a+b）（a+c）

　　●板書設計

　　§2.3.1 運用公式法（一）

　　一、1.由整式乘法中的平方差公式推導因式分解中的平方差公式.

　　2.公式講解

　　3.例題講解

　　補充例題

　　二、課堂練習

　　1.隨堂練習

　　2.補充練習

　　三、課時小結

　　四、課后作業

　　●備課資料

　　參考練習

　　把下列各式分解因式：

　　（1）49x2－121y2;

　　（2）－25a2+16b2;

　　（3）144a2b2－0.81c2;

　　（4）－36x2+ y2;

　　（5）（a－b）2－1;

　　（6）9x2－（2y+z）2;

　　（7）（2m－n）2－（m－2n）2;

　　（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.

　　解：（1）49x2－121y2

　　=（7x+11y）（7x－11y）;

　　（2）－25a2+16b2=（4b）2－（5a）2

　　=（4b+5a）（4b－5a）;

　　（3）144a2b2－0.81c2

　　=（12ab+0.9c）（12ab－0.9c）;

　　（4）－36x2+ y2=（ y）2－（6x）2

　　=（ y+6x）（ y－6x）;

　　（5）（a－b）2－1=（a－b+1）（a－b－1）;

　　（6）9x2－（2y+z）2

　　=［3x+（2y+z）］［3x－（2y+z）］

　　=（3x+2y+z）（3x－2y－z）;

　　（7）（2m－n）2－（m－2n）2

　　=［（2 m－n）+（m－2n）］［（2 m－n）－（m－2n）］

　　=（3 m－3n）（m +n）

　　=3（m－n）（m +n）

　　（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2

　　=［7（2a－3b）］2－［3（a+b）］2

　　=［7（2a－3b）+3（a+b）］［7（2a－3b）－3（a+b）］

　　=（14a－21b+3a+3b）（14a－21b－3a－3b）

　　=（17a－18b）（11a－24b）

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