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GMAT考試數學求余數題型
求余數題型是GMAT考試的經典題型，我們一般會在復習GMAT數學的時候遇到它。下面yjbys網小編給大家補充的是余數的其他知識，希望GMAT入門考生多注意：
稍微補充一個定理：
歐拉定理(也稱費馬-歐拉定理)是一個關于同余的性質。歐拉定理表明，若n,a為正整數，且n,a互素，(a,n) = 1，則
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
如果 n 是質數 那么 φ(n)=n-1 ，這個定理就變成了GMAT數學費馬小定理。
余數是1， 意味著可以 φ(n)的倍數可以直接消除!
定理不用記憶， 我們直接做GMAT考試題目：
題一：
7^50 除以15 的余數
15分解為 3 和 5 兩個質數 3-1=2 、 5-1=4
按照費馬小定理，7平方 除 3 的時候余數是1 ; 7的4次方 去除 5 的余數是1
所以7 的 4次方 除 15 的時候余數是也是1
7^50 ≡ ((7^4)^12)*7^2 ≡ 7^2 = 49 ≡ 4 (mod 15)
題二：
3^50 除以 8 的余數φ(8)=4
3^50 ≡ 3^2 ≡ 1 (mod 8)
題三：
13^50除以8 的余數φ(8)=4
13^50 ≡ 13^2 ≡ 1 (mod 8)
題四：
10006 的 10003次方， 除 17 的余數10006 ≡ 10 (mod 17)
10003 ≡ 3 (mod 16)
10006 ^ 10003 ≡ 10^3 = 1000 ≡ 14 (mod 17)
關于GMAT入門歐拉函數的使用
GMAT可能考到的情況中， 除數肯定是小于20的。但是歐拉函數是靠數數數出來的(數數,數)，數數是考場上最容易出錯的計算步驟!比如8的歐拉函數， 就是比8小而且和8互質的數字(1,3,5,7)，一共4個，就是4。但是數的時候很容易把1給漏了!
那就先分析一下吧：
除數1-4 不可能考， 選項都不夠放呀
5 6 7 10 11 13 14 15 17 19 這些數字， 要么是質數，要么是兩個質數的乘積， 所以都不需要求歐拉函數。
剩下來 8 9 12 16 18 20 (這些數是4的倍數或者9的倍數)， 對應的歐拉函：
8 —— 4
9 —— 6
12 —— 4
16 —— 8
20 —— 8
記住了就可以了，特別是前3個。 或者當場數 —— 但是記住，數出來肯定是 4 、6 或者8。
我再出個簡明操作手冊
A 的 B 次方， 除以 C ，余數是多少?
附加條件 ： A ，C 互質
解法：
1 第一步： 如果 A 比 C 大， 那么直接用A 除以 C 求出余數 A' ， 把A 替換掉。
2 第二部： 求C的歐拉函數， 如果C是質數，歐拉函數就是 C-1; 如果C是幾個不同的質數相乘，那么就取這些質數各自減一之后的那組數的最小公倍數;如果是 8 9 12 16 18 20， 那么對應是 4 6 4 8 6 8。 求出了的歐拉函數值為 o 。 不需要記住歐拉函數，可以做題的時候數出來。
3 第三部： 如果B比o大， 那么B直接除以o求出余數B' ， 把B替換掉。
4 第四部：直接算吧，數字已經很小了。
舉個例子 ： 10006 的 10003次方， 除 17 的余數
5 第一步： 10006 除以 17 余 10 ， 用10 替換 10006
6 第二部： 17的歐拉數是16
7 第三部： 10003 除以16 余3， 用3替代 10003
8 第四部： 求出 10 的3次方， 除以 17 ， 余數是14
歐拉函數的定義： 正整數N的歐拉函數，就是比N小，而且和N互質的正整數的個數。
舉個例子 10， 和 1,3,7,9 互質， 10的歐拉函數就是4。
(數的時候不要忘了把1數進去!)
20以內的歐拉函數(或替代歐拉函數)表：
5 —— 4 —— 質數，后面質數都不標了
6 —— 2 —— 6=2x3, 1和2的公倍數，實際上也是6的歐拉數
7 —— 6
8 —— 4 —— 歐拉函數
9 —— 6 —— 歐拉函數
10 —— 4 —— 10=2x5, 1和4的公倍數， 實際上也是10的歐拉數
11 —— 10
12 —— 4 —— 歐拉函數
13 —— 11
14 —— 6 —— 14=2x7， 1和6的公倍數， 實際上也是14的歐拉數
15 —— 4 —— 15=3x5 ， 2和4的公倍數， 可替代歐拉數， 而15真正歐拉數是8
16 —— 8 —— 歐拉函數
17 —— 16
18 —— 6 —— 歐拉函數
19 —— 18
20 —— 8 —— 歐拉函數
不用記住，有個印象就可以，做題的時候數就可以。 20以內，非質數的歐拉函數全都是 4、6、8 ，除了6的歐拉數是2以外。
最后，如果超出歐拉定理的適用范圍, a 和n 不互質, 該怎么辦呢?
約分!約到互質不就可以了!不過別忘了最后要把余數再乘以被約掉的數。
求： 3^7 除以 15 的余數
除數和被除數都除以3， 約分以后 ，先求 3^6 除以 5 的余數，
按照上面的方法，算出來余數是4，
再把余數成以約分的數 3
所以 3^7 除以 15 的余數 是 12。
不過你見過余數題上來先約分的么?這種題目出現的可能性幾乎為0。
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