圓面積公式的推導分析論文

圓面積公式的推導分析論文

　　教學圓面積公式的推導，我曾聽過三種不同的教法，現分別簡介過程及稍作評點。

　　〔第一種教法〕

　　（１）復習長方形面積計算公式。

　　（２）讓學生自學課本中推導圓面積計算公式的過程。

　　（３）教師邊用教具演示，邊要求學生回答：

　　①拼成的圖形近似于什么圖形？想一想，如果等分的份數越多，拼成的圖形會怎么樣？

　　②拼成的圖形與原來圓的面積相等嗎？

　　③這個近似長方形的長相當于圓的什么？它的寬相當于圓的什么？

　　（４）教師要求學生說出由長方形面積計算公式，推導出圓面積計算公式的方法（可按課本說）。

　　（５）揭示圓的面積公式。

　　〔評：這種教法，看起來是引導學生自學，并結合演示讓學生回答問題，似乎學生學得較主動，實際上學生未有實踐、思考的過程，只是“依樣畫葫蘆”，對其中的道理不能弄懂、弄通，這屬于機械的學習。〕

　　〔第二種教法〕

　　１、導入新課。

　　教師讓學生回憶一下，以前學習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算時，是用什么方法推導它們的計算公式的。（用割、拼法拼成長方形或平行四邊形進行計算，教師出示割、拼教具分別作簡單的演示。）接著，出示一張圓形硬紙片，問：“怎樣計算它的面積呢？”（揭示課題）教師指出：我們仍可用以前學過的割、拼法，把圓轉化為已學過的圖形，運用此圖形的面積計算方法，推導出圓面積的計算方法。

　　２、實際操作。

　　要求學生拿出圓面積的割拼圖形學具，在教師的指導下，邊操作，邊回答以下問題：

　　①把一個圓平分成兩半，每一個半圓形的哪一部分長度相當于圓周長的１／２？再把每一個半圓形平均分成８等份（如課本的切割圖），那么哪一段的長度相當于圓的半徑？

　　②想一想：能不能把這些等分出的圖形，拼成近似于我們以前學過的圖形？怎樣拼？（要求學生動手實踐，并指名演示拼出的幾種不同的圖形。如：長方形、平行四邊形、梯形等。）

　　③所拼出的圖形面積與原來圓面積相等嗎？

　　３．推導公式。

　　先以拼出的近似長方形的圖形為例，教師引導學生弄清，若平分的份數越多，拼成的圖形越接近長方形。進而，教師要求學生據圖回答：割拼后的長方形的長相當于圓的哪一部分的長度？寬相當于圓的哪一部分的長度？從而

　　由長方形的面積＝長×寬

　　↓↓

　　得圓的面積＝πｒ×ｒ＝πｒ［２］。

　　然后，出示拼出的近似的平行四邊形或梯形，再次推導看能否得出上面的圓面積公式（略）。這樣就得到了證實，使學生確信無疑。

　　〔評：這種教法比第一種教法有很大的改進，教師首先通過復習舊知，提出解決問題的辦法，把新舊知識有機結合起來，明確了本課中心內容，然后讓學生親手操作割拼成幾種已學過的圖形，引導學生觀察、思考、比較、推導，其間不囿于課本中的推導方法，讓學生思維得以發散，從而強化了轉化思想，多渠道地推得圓面積計算公式。學生在學習過程中，始終處于積極主動的狀態，這種學習是有意義的學習，不僅使他們“學會”，而且使他們“會學”，且有助于發展學生的智能。〕

　　〔第三種教法〕

　　１、引入新課。

　　教師開導：圓在日常生活、生產實踐及科學實驗中，有著廣泛的應用。上節課我們學習了圓的周長計算，但仍不夠，還要學會計算圓的面積。如計算一個雷達圓形屏幕的面積，一個圓形花圃的面積等。怎樣才能算出它的面積呢？（揭示、板書課題）。

　　２、創設情境。

　　教師用幾張相等的圓紙片，運用折紙、剪紙的方法，分別折剪成正四邊形、正八邊形、正十六邊形，然后再分別與原來的圖紙片疊在一起，見下圖：

　　（附圖{圖}）

　　折四等份剪成折八等份剪成折十六等份剪成

　　正四邊形正八邊形正十六邊形

　　引導學生觀察、對比三個內接正多邊形與圓的面積差（陰影部分）誰大誰小，并啟發學生歸結出：折成的等份數越多，剪成的正多邊形邊數越多，它就越接近圓。其中正多邊形的每等份（三角形）就越接近圓的每等份。

　　３、推導公式。

　　師：同學們現在要計算圓的面積，選用哪種正多邊形為好？為什么？

　　生［，１］：選正十六邊形為好，因為它較接近圓。

　　生［，２］：選邊數越多的正多邊形更好，因為它更接近圓。

　　師：回答得很好，根據現有的右圖，怎樣計算圓的面積呢？請大家思考以下問題：

　　（１）圓的面積相當于多少個三角形面積之和？

　　（２）這些三角形的底邊之和相當于圓的什么？

　　（３）每個三角形的高相當于圓的什么？

　　學生邊回答，教師邊板書：

　　正十六邊形的面積＝Ｓ［，三角形］×１６

　　↓

　　＝底邊×高÷２×１６

　　＝底邊×１６×高÷２

　　↓↓

　　圓的面積＝２πｒ×ｒ÷２

　　＝πｒ［２］

　　最后讓學生自學課本中的推導方法，質疑解難。進而教師小結：推導圓的面積公式與以前推導有關圖形面積公式一樣，把圓轉化為已學過的圖形進行計算，同學們課后如有興趣，還可將圓割拼為平行四邊形、梯形，看是否仍能推出Ｓ［，圓］＝πｒ［２］。

　　〔評：這種教法具有以下幾個特點：

　　１、導入新課開門見山，使學生感到學習圓的面積是實際中的需要，從而激發了學生的求知欲望。

　　２、在推導圓面積公式前，教師創設情境，讓學生領悟隱含于直觀演示中的初步“極限”思想，有助于發展學生空間想象力和空間觀念，從而為推導公式作好鋪墊。這是前兩種教法所不及的。

　　３、運用“整體－部分－整體”，分割求和的方法推導圓面積公式，新穎獨特，學生易于接受，又以課本中的方法及其他方法作驗證，使學生加深理解，記憶牢固。

　　４、小結中能促使新知與原有認知結構中有關觀念建立起聯系，學生的學習是“有意義”的學習。

　　總評：教學圓面積公式的推導，要充分運用直觀手段，引發學生積極思考，不僅使學生知其然，還要知其所以然，要把教材本身的內在聯系揭示出來，促使學生運用已學知識主動地去獲取新知；既使學生“學會”，又使學生“會學”，讓他們在學習中同時學到科學的方法，提高學習能力，這樣才能取得較好的教學效果。由此可見，后兩種教法是可取的，且教法三更佳。

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