一元二次方程教案

時間：2025-12-11 01:51:54 教案我要投稿

[優秀]一元二次方程教案15篇

　　作為一位優秀的人民教師，常常需要準備教案，編寫教案助于積累教學經驗，不斷提高教學質量。那么寫教案需要注意哪些問題呢？下面是小編為大家整理的一元二次方程教案，希望對大家有所幫助。

[優秀]一元二次方程教案15篇

一元二次方程教案1

　　一、復習目標：

　　1、能說出一元二次方程及其相關概念，；

　　2、能熟練應用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想。

　　3、能靈活應用一元二次方程的知識解決相關問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力。

　　二、復習重難點：

　　重點：一元二次方程的解法和應用.

　　難點：應用一元二次方程解決實際問題的方法.

　　三、知識回顧:

　　1、一元二次方程的定義：

　　2、一元二次方程的常用解法有：

　　配方法的一般過程是怎樣的？

　　3、一元二次方程在生活中有哪些應用？請舉例說明。

　　4、利用方程解決實際問題的關鍵是。

　　在解決實際問題的過程中，怎樣判斷求得的結果是否合理？請舉例說明。

　　四、例題解析：

　　例1、填空

　　1、當m時，關于x的方程(m－1)+5+mx=0是一元二次方程.

　　2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，當m時，是一元二次方程；當m時，是一元一次方程.

　　3、將一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是；此方程的根是.

　　4、用配方法解方程x2+8x+9=0時，應將方程變形為()

　　A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9

　　C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－7

　　學習內容學習隨記

　　例2、解下列一元二次方程

　　(1)4x2－16x+15=0(用配方法解)(2)9－x2=2x2－6x(用分解因式法解)

　　(3)(x＋1)(2－x)=1(選擇適當的.方法解)

　　例3、1、新竹文具店以16元/支的價格購進一批鋼筆，根據市場調查，如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支；而這種鋼筆的售價每上漲1元就少賣10支.現在商店店主希望銷售該種鋼筆月利潤為1350元，則該種鋼筆該如何漲價？此時店主該進貨多少？

　　2、如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6m，BC=8m，點P、Q同時由A、B兩點出發分別沿AC，BC方向向點C勻速運動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？

一元二次方程教案2

　　教材分析

　　一元二次方程是一種數學建模的方法，它有著廣泛的實際背景，可以作為許多實際問題的數學模型。它體現了數學的轉化思想，學好一元二次方程是學好二次函數不可或缺的，一元二次方程是高中數學的奠基工程。是本書的重點內容，為后續學習打下良好的基礎。

　　學情分析

　　1、經過兩年的合作，我們班的學生已比較配合我上課，同時初三學生觀察、類比、概括、歸納能力也都比較強，不過對應用題的分析他們還是覺得很頭疼，在今后應用題的教學中需進一步加強。

　　2、一元二次方程是在學習《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎之上學習的，一元二次方程是一次方程向二次方程的轉化，是低次方程轉向高次方程求解方法的階梯。一元二次方程又是二次函數的特例。

　　教學目標

　　一、知識目標

　　1、在分析、揭示實際問題的數量關系并把實際問題轉化為數學模型（一元二次方程）的過程中，使學生感受方程是刻畫現實世界數量關系的工具，，增加對一元二次方程的感性認識.

　　2、理解一元二次方程的概念.

　　3、掌握一元二次方程的一般形式，正確認識二次項系數、一次項系數及常數項.

　　二、能力目標

　　1、通過一元二次方程的引入，培養學生建模思想，歸納、分析問題及解決問題的能力.

　　2、由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數、列方程向學生滲透方程的思想，進一步提高學生分析問題、解決問題的`能力.

　　四、情感目標

　　1、培養學生主動探究知識、自主學習和合作交流的意識.

　　2、激發學生學數學的興趣，體會學數學的快樂，培養用數學的意識

　　教學重點和難點

　　教學重點: 一元二次方程的概念和它的一般形式

　　難點:1、從實際問題中抽象出一元二次方程。2、正確識別一般式中的“項”及“系數”

一元二次方程教案3

　　一、教學目標

　　（一）知識目標

　　1、理解求解一元二次方程的實質。

　　2、掌握解一元二次方程的配方法。

　　（二）能力目標

　　1、體會數學的轉化思想。

　　2、能根據配方法解一元二次方程的一般步驟解一元二次方程。

　　（三）情感態度及價值觀

　　通過用配方法將一元二次方程變形的過程，讓學生進一步體會轉化的思想方法，并增強他們學習數學的興趣。

　　二、教學重點

　　配方法解一元二次方程的一般步驟

　　三、教學難點

　　具體用配方法的一般步驟解一元二次方程。

　　四、知識考點

　　運用配方法解一元二次方程。

　　五、教學過程

　　（一）復習引入

　　1、復習：

　　解一元一次方程的一般步驟：

　　（1）去分母；

　　（2）去括號；

　　（3）移項；

　　（4）合并同類項；

　　（5）系數化為1。

　　2、引入：

　　二次根式的意義：若x2=a (a為非負數），則x叫做a的平方根，即x=±√a 。實際上，x2 =a（a為非負數)就是關于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。

　　（二）新課探究

　　通過實際問題的解答，引出我們所要學習的知識點。通過問題吸引學生的注意力，引發學生思考。

　　問題1：

　　一桶某種油漆可刷的面積為1500dm李林用這桶油漆剛好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？

　　問題1重在引出用直接開平方法解一元二次方程。這一問題學生可通過“平方根的意義”的講解過程具體的解答出來，具體解題步驟：2解：設正方體的棱長為x dm，則一個正方體的表面積為6xdm

　　列出方程：60x2=1500

　　x2=25

　　x=±5

　　因為x為棱長不能為負值，所以x=5

　　即：正方體的棱長為5dm。

　　1、用直接開平方法解一元二次方程

　　（1）定義：運用平方根的定義直接開方求出一元二次方程解。

　　（2）備注：用直接開平方法解一元二次方程，實質是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元二次方程來求方程的根。

　　問題2：

　　要使一塊矩形場地的長比寬多6cm，并且面積為16O，場地的長和寬應各為多少？

　　問題2重在引出用配方法解一元二次方程。而問題2應該大部分同學都不會，所以由我來具體的講解。主要通過與完全平方式對比逐步解這個方程。再由這個方程的.求解過程師生共同總結出配方法解一元二次方程的一般步驟。讓學生加深映像。

　　具體解題步驟：

　　解：設場地寬x m，長（x +6）m。

　　列方程：x（x +6）=16

　　即：x2+6x-16=0

　　x2+6x=16

　　x2+6x+9=16+9

　　（x+3）2=25

　　x+3=±5

　　x+3=5x+3=-5

　　x1=2，x2=-8

　　2、配方法解一元二次方程

　　（1）定義：通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法。

　　（2）配方法解一元二次方程一般步驟：

　　一化：先將常數移到方程右邊，后將二次項系數化為1

　　二配：方程左右兩端都加上一次項系數一半的平方

　　三成式：將方程左邊化為一個含有未知數的完全平方式

　　四開：直接開平方

　　五寫：寫出方程的解

　　（三）應用舉例

　　針對每個知識點各舉了一個例子，每個例子有兩個方程，逐漸加深。讓學生更易接受。讓學生在例題中進行思考和總結。具體的例1鏈接知識點1，例2鏈接知識點2。

　　例1解方程

　　（1）9x2-1=0；

　　（2）x2+2x+1=16。

　　解：（1）原方程變形為：9x2=1

　　x2=1/9

　　x=±1/3

　　即x1=1/3，x2=-1/3

　　（2）原方程變形為：（x+1）=16

　　x+1=±4

　　x1=3，x2=-5

　　2例1講解完之后，我會讓學生思考：形如（ax +b) =c（a≠0；cR0）的一元二次方程的解。讓學生能夠從特殊的到一般的題目。

　　例2用配方法解下列方程：

　　（1）x2-3x-2=0（2）2x2-3x-6=0

　　解：（1）移項x2-3x=2

　　配方x2-3x+（3/2）2=2+（3/2）2

　　（x-3/2）2=17/4

　　x-3/2=±√17/2

　　x1= 3/2+√17/2，x2=3/2-√17/2

　　(2)將二次項系數化為1

　　x2-3/2x-3=0

　　x2-3/2x=3

　　x2-3/2x+（3/4）2=3+（3/4）2

　　（x-3/4）2=57/16

　　x-3/4=±√57/4

　　x1= 3/4+√57/4，x2=3/4-√57/4

　　（四）反饋練習

　　了解學生知識的掌握程度，即時發現問題。而這道題目重在學生自己去發現錯誤，加深配方法解一元二次方程的一般步驟。從而突破這一重難點。練習：

　　觀察下列用配方法解方程2x2-4x+1=0的兩種解答是否正確，若不正確請你寫出正確的解答。

　　解:（1）配方2x2-4x+4-4=1，即（2x-2）2=5

　　所以，2x-2= √5或2x-2= -√5

　　所以，x1= 1+ √5 /2，x2=1- √5 /2

　　（2）系數化為1 x2-2x=1/2

　　配方x2-2x+1=1/2即（x-1）2=1/2

　　所以x-1=√2 /2或x-1=-√2 /2

　　所以x1= 1+ √2 /2，x2=1- √2/2。

　　六、課堂小結

　　對本堂課的內容進行鞏固和反思。主要由學生歸納，老師補充總結。

　　小結：1、本節課主要學習了用配方法解一元二次方程，其中運用到了解一元一次方程，二次根式等方面的知識。

　　2、重點理解和掌握配方法解一元二次方程一般步驟并會運用配方法解一元二次方程。

　　七、布置作業

　　對本堂課的知識進行鞏固和提高。根據新課程標準“人人學習不同的數學”的理念，把作業分為必做題和選作題，給學生更大的空間。

一元二次方程教案4

　　（一）教學目標：

　　（1）讓學生初步理解“方程的解”、“解方程”的含義以及“方程的解”和“解方程”之間的聯系和區別。

　　（2）初步理解等式的基本性質，能用等式的性質解簡易方程。

　　（3）關注由具體到一般的抽象概括過程，培養學生初步的代數思想。

　　（4）重視良好書寫習慣的培養。培養學生自覺檢驗的習慣。

　　（二）教學重、難點：

　　利用天平平衡的道理理解比較簡單的方程的方法。

　　（三）教學過程：

　　一、演示操作，提出目標

　　師：（天平演示）老師在天平的左邊放了一杯水，杯重100克，水重X克，一杯水重多少？（100+X）克

　　師：在天平的右邊放了多少砝碼，天平保持平衡呢？（教師邊講邊操作100克、200克、250克）

　　師：請你根據圖意列一個方程。100+X=250

　　師：這個方程怎么解呢？有什么問題我們要研究呢？

　　（1）運用等式性質把X等于多少求出來。

　　（2）“解方程”和“方程的解”有什么區別。

　　[設計意圖：從復習天平保持平衡的道理入手，引出學習目標，引導學習質疑，有利于激發學生主動探究、深入學習的積極性。]

　　二展示成果，理解歸納

　　（一）小組內個人展示

　　1．學生自學課本例1、例2，并完成“做一做”。（教師深入指導，收集信息）

　　2．小組內互相交流、講評。

　　學生：（1）:可以用250－100=150,所以X=150.

　　學生；（2）:因為100+150=250,所以X=150

　　學生：（3）:我是這樣想的，假如方程的兩邊同時減去100,就能得出X=150

　　學生演示：我在天平的左邊拿走一個重100克空杯子，在天平的右邊拿走100克的砝碼，天平保持平衡。為：100+X－100=250－100就可以求出未知數X的值是多少？X=150

　　師：是的，同學們的想法是正確的，方程左右兩邊同時減100，就能得出X=150。

　　師：根據剛才的實驗，我們來認識兩個新的概念———“方程的解”和“解方程”。

　　師:指著方程100+X=250說：“X=150是這個方程的解。

　　100+X=250100+X－100=250－100

　　指著方框說：這是求方程的解的過程，叫解方程。

　　（二）全班展示（以小組為單位進行）

　　1、算法展示

　　A:X+3=9B:3X=18

　　解：X+3-3=9-3解：3X3=183

　　X=6X=6

　　C、方程的檢驗方法。

　　[設計的意圖：自學思考匯報交流既有利于每個學生的'自主探索，保證個性發展，也有利于教師考察學生思維的合理性和靈活性，考察學生是否能用清晰的數學語言表達自己的觀點。]

　　2、對學生在自主學習中的出現的錯例展示。如：書寫格式等。

　　三、激發沖突，驗算結果（把這個環節融入學生展示中）

　　師：你發現“方程的解”和“解方程”有什么不同嗎？

　　師：在解方程的過程要注意什么？

　　師：這個方程會解。我們怎么知道X=6一定是以上X+3=9和3X=18方程的解呢？

　　師：怎樣驗算？讓學生說出過程。（分別說出以上兩方程的驗算過程。）

　　師：以后解方程時，要求檢驗的，要寫出檢驗過程；沒有要求檢驗的，要進行口頭檢驗，要養成口頭檢驗的習慣。力求計算準確。

　　[設計的意圖：自學思考匯報交流既有利于每個學生的自主探索，保證個性發展，也有利于教師考察學生思維的合理性和靈活性，考察學生是否能用清晰的數學語言表達自己的觀點。]

　　四拓展知識外延

　　1判斷題

　　X=3是方程5X=15的解。（）

　　X=2是方程5X=15的解。（）

　　2考考你的眼力，能否幫他找到錯誤所在呢？

　　X+1.2=4X+2.4=4.6

　　X+1.2-1.2=4-1.2=4.6-2.4

　　X=2.8=2.2

　　3填空題

　　X+3.2=4.6

　　X+3.2（）=4.6（）

　　X=（）

　　4將課本59頁做一做的第1題的左邊一小題寫在單行紙上。

一元二次方程教案5

　　一、教學目標

　　1.使學生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或換元的方法求此類方程的解，并會驗根.

　　2.通過本節課的教學，向學生滲透轉化的數學思想方法;

　　3.通過本節的教學，繼續向學生滲透事物是相互聯系及相互轉化的辨證唯物主義觀點.

　　二、重點難點疑點及解決辦法

　　1.教學重點：可化為一元二次方程的分式方程的解法.

　　2.教學難點：解分式方程，學生不容易理解為什么必須進行檢驗.

　　3.教學疑點：學生容易忽視對分式方程的解進行檢驗通過對分式方程的解的剖析，進一步使學生認識解分式方程必須進行檢驗的重要性.

　　4.解決辦法：(l)分式方程的解法順序是：先特殊、后一般，即能用換元法的方程應盡量用換元法解.(2)無論用去分母法解，還是換元法解分式方程，都必須進行驗根，驗根是解分式方程必不可少的一個重要步驟.(3)方程的增根具備兩個特點，①它是由分式方程所轉化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母為0.

　　三、教學步驟

　　(一)教學過程

　　1.復習提問

　　(1)什么叫做分式方程?解可化為一元一次方程的分式方程的方法與步驟是什么?

　　(2)解可化為一元一次方程的分式方程為什么要檢驗?檢驗的方法是什么?

　　(3)解方程，并由此方程說明解方程過程中產生增根的原因.

　　通過(1)、(2)、(3)的準備，可直接點出本節的內容：可化為一元二次方程的分式方程的解法相同.

　　在教師點出本節內容的處理方法與以前所學的知識完全類同后，讓全體學生對照前面復習過的分式方程的解，來進一步加深對類比法的`理解，以便學生全面地參與到教學活動中去，全面提高教學質量.

　　在前面的基礎上，為了加深學生對新知識的理解，教師與學生共同分析解決例題，以提高學生分析問題和解決問題的能力.

　　2.例題講解

　　例1 解方程.

　　分析對于此方程的解法，不是教師講如何如何解，而是讓學生對已有知識的回憶，使用原來的方法，去通過試的手段來解決，在學生敘述過程中，發現問題并及時糾正.

　　解：兩邊都乘以，得

　　去括號，得

　　整理，得

　　解這個方程，得

　　檢驗：把代入，所以是原方程的根.

　　原方程的根是.

　　雖然，此種類型的方程在初二上學期已學習過，但由于相隔時間比較長，所以有一些學

　　生容易犯的類型錯誤應加以強調，如在第一步中.需強調方程兩邊同時乘以最簡公分母.另

　　外，在把分式方程轉化為整式方程后，所得的一元二次方程有兩個相等的實數根，由于是解

　　分式方程，所以在下結論時，應強調取一即可，這一點，教師應給以強調.

　　例2 解方程

　　分析：解此方程的關鍵是如何將分式方程轉化為整式方程，而轉化為整式方程的關鍵是

　　正確地確定出方程中各分母的最簡公分母，由于此方程中的分母并非均按的降冪排列，所

　　以將方程的分母作一轉化，化為按字母終X進行降暴排列，并對可進行分解的分母進行分解，從而確定出最簡公分母.

　　解：方程兩邊都乘以，約去分母，得

　　整理后，得

　　解這個方程，得

　　檢驗：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

　　代入它等于0，所以是增根.

　　原方程的根是

　　師生共同解決例1、例2后，教師引導學生與已學過的知識進行比較.

　　例3 解方程.

　　分析：此題也可像前面例l、例2一樣通過去分母解決，學生可以試，但由于轉化后為一元四次方程，解起來難度很大，因此應尋求簡便方式，通過引導學生仔細觀察發現，方程中含有未知數的部分和互為倒數，由此可設，則可通過換元法來解題，通過求出

　　y后，再求原方程的未知數的值.

　　解：設，那么，于是原方程變形為

　　兩邊都乘以y，得

　　解得

　　當時，，去分母，得

　　解得;

　　當時，，去分母整理，得

　　檢驗：把分別代入原方程的分母，各分母均不等于0.

　　原方程的根是

　　此題在解題過程中，經過兩次轉化，所以在檢驗中，把所得的未知數的值代入原方程中的分母進行檢驗.

　　鞏固練習：教材P49中1、2引導學筆答.

　　(二)總結、擴展

　　對于小結，教師應引導學生做出.

　　本節內容的小結應從所學習的知識內容、所學知識采用了什么數學思想及教學方法兩方面進行.

　　本節我們通過類比的方法，在已有的解可化為一元一次方程的分式方程的基礎上，學習了可化為一元二次方程的分式方程的解法，在具體方程的解法上，適用了轉化與換元的基本數學思想與基本數學方法.

　　此小結的目的，使學生能利用類比的方法，使學過的知識系統化、網絡化，形成認知結構，便于學生掌握.

　　四、布置作業

　　1.教材P50中A1、2、3.

　　2.教材P51中B1、2

　　五、板書設計

　　探究活動1

　　解方程：

　　分析：若去分母，則會變為高次方程，這樣解起來，比較繁，注意到分母中都有，可用換元法降次

　　設，則原方程變為

　　或無解

　　經檢驗：是原方程的解

　　探究活動2

　　有農藥一桶，倒出8升后，用水補滿，然后又倒出4升，再用水補滿，此時農藥與水的比為18：7，求桶的容積.

　　解：設桶的容積為升，第一次用水補滿后，濃度為，第二次倒出的農藥數為4. 升，兩次共倒出的農藥總量(8+4 )占原來農藥，故

　　整理，

　　(舍去)

　　答：桶的容積為40升.

一元二次方程教案6

　　教學目標[

　　知識與技能：會用加減消元法解二元一次方程組.

　　過程與方法：讓學生在自主探索和合作交流中，進一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數學研究中“化未知為已知”的化歸思想.通過對具體的二元一次方程組的觀察、分析，選擇恰當的方法解二元一次方程組，培養學生的觀察、分析能力.

　　情感態度與價值觀：通過學生比較兩種解法的差別與聯系，體會透過現象抓住事物的本質這一認識方法.

　　教學重點

　　用加減消元法解二元一次方程組.

　　教學難點

　　在解題過程中進一步體會“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想.

　　教學準備：多媒體課件

　　教學過程

　　第一環節：情境引入（10分鐘，學生在練習本上做，教師巡視、引導、解疑，注意發現學生在解答過程中出現的新的想法，可以讓用不同方法解題的學生將他們的方法板演在黑板上，完后進行評析，并為加減消元法的出現鋪路.）

　　內容：鞏固練習，在練習中發現新的解決方法

　　怎樣解下面的二元一次方程組呢？

　　學生可能的解答方案1：

　　解1：把②變形，得：,③

　　把③代入①，得：,解得：.

　　把代入②，得：.

　　所以方程組的解為.

　　學生可能的解答方案2：

　　解2：由②得,③

　　把當做整體將③代入①，得：,解得：.

　　把代入③，得：.

　　所以方程組的解為.

　　（此種解法體現了整體的思想）

　　學生可能的解答方案3：

　　解3：根據等式的基本性質

　　方程①+方程②得：,解得：,把代入①，解得：,所以方程組的解為.

　　通過上面的練習發現，同學們對代入消元法都掌握得很好了，基本上都能夠按要求解出二元一次方程組的解（如方案1），可是也有同學發現（方案2）的解法比（方案1）的解法簡單，他是將5y作為一個整體代入消元，依然體現了代入法的核心是代入“消元”，通過“消元”，使“二元”轉化為“一元”，從而使問題得以解決，那么（方案3）的解法又如何？它達到“消元”的目的了嗎?

　　（留些時間給學生觀察，注意引導學生觀察方程中某一未知數的系數，如x的系數或y的系數）

　　引導學生發現方程①和②中的5y和－5y互為相反數，根據相反數的和為零（方案3）將方程①和②的左右兩邊相加，然后根據等式的基本性質消去了未知數y，得到了一個關于x的一元一次方程，從而實現了化“二元”為“一元”的目的

　　這就是我們這節課要學習的二元一次方程組的解法中的第二種方法——加減消元法.

　　第二環節：講授新知（15分鐘，教師講解演示，學生理解識記）

　　內容1：

　　（教師板書課題）

　　下面我們就用剛才的方法解下面的二元一次方程組.（教師規范表達解答過程，為學生作出示范）

　　例解下列二元一次方程組

　　分析：觀察到方程①、②中未知數x的系數相等，可以利用兩個方程相減消去未知數x.

　　解：②-①，得：,解得：,把代入①，得：,解得：,所以方程組的解為.

　　(解答完本題后，口算檢驗，讓學生養成進行檢驗的習慣，同時教師需強調以下兩點

　　(1)注意解此題的易錯點是②-①時是（2x+3y）-(2x-5y)=-1-7，方程左邊去括號時注意符號.另外解題時，①-②或②-①都可以消去未知數x，不過在①-②得到的方程中，y的系數是負數，所以在上面的解法中選擇②-①；

　　(2)把y＝-1代入①或②，最后結果是一樣的，但我們通常的作法是將所求出的一個未知數的值代入系數較簡單的方程中求出另一個未知數的值.

　　師生一起分析上面的解答過程，歸納出下面的一些規律：

　　在方程組的兩個方程中，若某個未知數的系數是相反數，則可直接把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數；若某個未知數的系數相等，可直接把這兩個方程的兩邊分別相減，消去這個未知數得到一個一元一次方程，從而求出它的解，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法）

　　內容2：鞏固練習

　　［師生共析］

　　（先留一定的時間讓學生觀察此方程組，讓學生說明自己觀察到方程有什么特點，能不能自己解決此方程組，用什么方法解決？如學生提出用代入消元法，可以讓學生先按此法完成，然后再問能不能用剛學過的加減消元法解決？讓學生討論嘗試，學生可能得到的結論如下）

　　1.對于用加減消元法解，x、y的系數既不相同也不是相反數，沒有辦法用加減消元法.

　　2.是不是可以這樣想，將方程組中的方程用等式的基本性質將這個方程組中的x或y的系數化成相等(或互為相反數)的情形，再用加減消元法，達到消元的目的

　　3.只要在方程①和方程②的兩邊分別除以2和3，x的系數不就變成“1”了嗎？這樣就可以用加減消元法了.

　　4.不同意3的做法.如果這樣做，是可以解決這一問題，但y的系數和常數項都變成了分數，這樣解是不是變麻煩了嗎？那還不如用代入消元法了.不如找x的系數2和3的最小公倍數6，在方程①兩邊同乘以3，得③,在方程②兩邊同乘以2，得④,然后③-④，就可以將x消去，得,把代入①得，.所以方程組的解為

　　（在引導的過程中，肯定學生的好的想法.）其實在我們學習數學的過程中，二元一次方程組中未知數的系數不一定剛好是1或-1，或同一個未知數的系數剛好相同或相反.我們遇到的往往就是這樣的方程組，我們要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉化為同一個未知數系數相同或相反的情形，從而用加減消元法，達到消元的目的請大家把解答過程寫出來.

　　解：①×3，得：，③

　　②×2,得：，④

　　③－④，得：.

　　將代入①，得：.

　　所以原方程組的解是.

　　內容3：議一議

　　根據上面幾個方程組的`解法，請同學們思考下面兩個問題：

　　(1)加減消元法解二元一次方程組的基本思路是什么？

　　(2)用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？

　　(由學生分組討論、總結并請學生代表發言)

　　［師生共析］

　　(1)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”.

　　(2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟是：

　　①變形----找出兩個方程中同一個未知數系數的絕對值的最小公倍數，然后分別在兩個方程的兩邊乘以適當的數，使所找的未知數的系數相等或互為相反數．

　　②加減消元，得到一個一元一次方程.

　　③解一元一次方程．

　　④把求出的未知數的解代入原方程組中的任一方程，求出另一個未知數的值，從而得方程組的解．

　　注意：對于較復雜的二元一次方程組，應先化簡(去分母，去括號，合并同類項等).通常要把每個方程整理成含未知數的項在方程的左邊，常數項在方程右邊的形式，再作如上加減消元的考慮.

　　第三環節：鞏固新知(10分鐘，學生獨立解決，全班交流)

　　內容：

　　⑴回憶上一節的練習和習題，看哪些題用代入消元法解起來比較簡單？哪些題我們用加減消元法簡單？我們分組討論，并派一個代表闡述自己的意見，試說明兩種解方程組的方法的共同特點和各自的優勢.

　　1.關于二元一次方程組的兩種解法：代入消元法和加減消元法，通過比較，我們發現其實質都是消元，即通過消去一個未知數，化“二元”為“一元”.

　　2.只有當方程組的某一方程中某一未知數的系數的絕對值是1時，用代入消元法較簡單，其他的用加減消元法較簡單.

　　⑵完成課本隨堂練習

　　⑶補充練習：

　　①選擇：二元一次方程組的解是（）.

　　A.B.C.D.

　　②，求x,y的值.

　　第四環節：課堂小結（5分鐘，教師引導學生建立知識框架）

　　內容：

　　1.關于二元一次方程組的兩種解法：代入消元法和加減消元法.比較這兩種解法我們發現其實質都是消元，即通過消去一個未知數，化“二元”為“一元”.

　　2.用加減消元法解方程組的條件：某一未知數的系數的絕對值相等．

　　3.用加減法解二元一次方程組的步驟：

　　①變形，使某個未知數的系數絕對值相等．

　　②加減消元．

　　③解一元一次方程．

　　④求另一個未知數的值，得方程組的解．

　　第五環節：布置作業

　　習題7.3

　　A組（優等生）1、3、4

　　B組（中等生）1、3

　　C組（后三分之一生）1

　　教學反思

　　相關知識

　　解二元一次方程組2

　　第七章二元一次方程組

一元二次方程教案7

　　【知識與技能】

　　1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念.

　　2.會熟練應用公式法解一元二次方程.

　　【過程與方法】

　　通過復習配方法解一元二次方程，引導學生推導出求根公式，使學生進一步認識特殊與一般的關系.

　　【情感態度】

　　經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀點.

　　【教學重點】

　　求根公式的推導和公式法的應用.

　　【教學難點】

　　一元二次方程求根公式的推導.

　　一、情境導入，初步認識

　　用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0

　　解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）無解

　　二、思考探究，獲取新知

　　如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？

　　問題已知ax2+bx+c=0（a≠0），試推導它的兩個根

　　【分析】因為前面具體數字的題目已做得很多，現在不妨把a,b,c也當成具體數字，根據上面的解題步驟就可以推導下去.

　　探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a,b,c而定，因此:

　　（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac≥0時，將a,b,c代入式子就得到方程的根，當b2-4ac＜0時,方程沒有實數根.

　　（2）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.

　　（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

　　【教學說明】教師可以引導學生利用配方法推出求根公式，體驗獲取知識的過程，體會成功的喜悅，可讓學生小組展示.

　　例1 用公式法解下列方程：

　　①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2

　　③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0

　　解：①x1=1+ ,x2=1-

　　②x1=2,x2=-

　　③x1=2,x2=

　　④無解

　　【教學說明】（1）對②、③要先化成一般形式；（2）強調確定a,b,c的值，注意它們的符號；（3）先計算b2-4ac的值，再代入公式.

　　三、運用新知，深化理解

　　1.用公式法解下列方程：

　　（1）x2+x-12=0

　　（2）x2- x- =0

　　（3）x2+4x+8=2x+11

　　（4）x（x-4）=2-8x

　　（5）x2+2x=0

　　（6）x2+2 x+10=0

　　解：（1）x1=3,x2=-4;

　　（2）x1= ,x2= ；

　　（3）x1=1,x2=-3;

　　（4）x1=-2+ ，x2=-2- ；

　　（5）x1=0,x2=-2;

　　（6）無解.

　　【教學說明】用公式法解方程關鍵是要先將方程化為一般形式.

　　四、師生互動，課堂小結

　　1.求根公式的`概念及其推導過程.

　　2.公式法的概念.

　　3.應用公式法解一元二次方程.

　　1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

　　2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

　　在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考，比較觀察，交流與表述，體驗知識的獲取的過程，激發學生的學習興趣，利用師生的雙邊活動，適時調試，從而提高學習效率.

一元二次方程教案8

　　一、教學目標

　　1.掌握一元二次方程根與系數的關系式，能運用它由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知系數;

　　2.通過根與系數的教學，進一步培養學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力;

　　3.通過本節課的教學，向學生滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規律。

　　教學重點和難點：

　　二、重點難點疑點及解決辦法

　　1.教學重點：根與系數的關系及其推導。

　　2.教學難點：正確理解根與系數的關系。

　　3.教學疑點：一元二次方程根與系數的關系是指一元二次方程兩根的和，兩根的積與系數的關系。

　　4.解決辦法;在實數范圍內運用韋達定理，必須注意這個前提條件，而應用判別式的前提條件是方程必須是一元二次方程，即二次項系數，因此，解題時，要根據題目分析題中有沒有隱含條件和。

　　三、教學步驟

　　(一)教學過程

　　1.復習提問

　　(1)寫出一元二次方程的一般式和求根公式。

　　(2)解方程①，②。

　　觀察、思考兩根和、兩根積與系數的關系。

　　在教師的引導和點撥下，由沉重得出結論，教師提問：所有的一元二次方程的兩個根都有這樣的規律嗎?

　　2.推導一元二次方程兩根和與兩根積和系數的關系。

　　設是方程的兩個根。

　　由此得出，一元二次方程的根與系數的關系。(一元二次方程兩根和與兩根積與系數的關系)

　　結論1.如果的兩個根是，那么。

　　如果把方程變形為。

　　我們就可把它寫成的形式，其中。從而得出：略寫

　　結論2.如果方程的兩個根是，那么。

　　結論1具有一般形式，結論2有時給研究問題帶來方便。

　　練習1.(口答)下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少?

　　(1);(2);(3);

　　(4);(5);(6)

　　此組練習的目的是更加熟練掌握根與系數的關系。

　　3.一元二次方程根與系數關系的應用。

　　(1)驗根。(口答)判定下列各方程后面的兩個數是不是它的兩個根。

　　①;②;③;

　　④;⑤。

　　驗根是一元二次方程根與系數關系的簡單應用，應用時要注意三個問題：(1)要先把一元二次方程化成一般形式，(2)不要漏除二次項系數，(3)還要注意中的負號。

　　(2)已知方程一根，求另一根。

　　例：已知方程的根是2，求它的另一根及k的值。

　　解法1：設方程的另一根為，那么。

　　又 ∵ 。

　　答：方程的另一根是，k的值是-7。

　　此題的解法是依據一元二次方程根與系數的關系，設未知數列方程達到目的，還可以向學生展現下列方法，并且作比較。

　　方法(二) ∵ 2是方程的根，

　　原方程可變為

　　解此方程。

　　方法(三)∵ 2是方程的根，

　　答：方程的另一根是，k的值是-7。

　　學生進行比較，方法(二)不如方法(一)和(三)簡單，從而認識到根與系數關系的應用價值。

　　練習：教材P32中2。

　　學習筆答、板書，評價，體會。

　　(二)總結、擴展

　　(12) 一元二次方程根與系數的`關系的推導是在求根公式的基礎上進行。它深化了兩根的和與積和系數之間的關系，是我們今后繼續研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎。

　　2.以一元二次方程根與系數的關系的探索與推導，向學生展示認識事物的一般規律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力

　　3.一元二次方程的根與系數的關系，在中考中多以填空，選擇，解答題的形式出現，考查的頻率較高，也常與幾何、二次函數等問題結合考查，是考試的熱點，它是方程理論的重要組成部分。

　　四、布置作業

　　教材P32中1 P33中A1。

一元二次方程教案9

　　教學設計

　　一教學設計思路

　　通過小球飛行高度問題展示二次函數與一元二次方程的聯系。然后進一步舉例說明，從而得出二次函數與一元二次方程的關系。最后通過例題介紹用二次函數的圖象求一元二次方程的根的方法。

　　二教學目標

　　1 知識與技能

　　(1).經歷探索函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系。總結出二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，表述何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根.

　　(2).會利用圖象法求一元二次方程的近似解。

　　2 過程與方法

　　經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系.

　　三情感態度價值觀

　　通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數，討論一元二次方程的根的情況培養學生自主探索意識，從中體會事物普遍聯系的觀點，進一步體會數形結合思想.

　　四教學重點和難點

　　重點：方程與函數之間的聯系，會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解。

　　難點：二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的`個數之間的關系。

　　五教學方法

　　討論探索法

　　六教學過程設計

　　(一)問題的提出與解決

　　問題如圖，以20m/s的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線。如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有關系

　　h=20t5t2。

　　考慮以下問題

　　(1)球的飛行高度能否達到15m?如能，需要多少飛行時間?

　　(2)球的飛行高度能否達到20m?如能，需要多少飛行時間?

　　(3)球的飛行高度能否達到20.5m?為什么?

　　(4)球從飛出到落地要用多少時間?

　　分析：由于球的飛行高度h與飛行時間t的關系是二次函數

　　h=20t-5t2。

　　所以可以將問題中h的值代入函數解析式，得到關于t的一元二次方程，如果方程有合乎實際的解，則說明球的飛行高度可以達到問題中h的值：否則，說明球的飛行高度不能達到問題中h的值。

　　解：(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。

　　當球飛行1s和3s時，它的高度為15m。

　　(2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+4=0。 t1=t2=2。

　　當球飛行2s時，它的高度為20m。

　　(3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。

　　因為(-4)2-44.10。所以方程無解。球的飛行高度達不到20.5m。

　　(4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。

　　當球飛行0s和4s時，它的高度為0m，即0s時球從地面飛出。4s時球落回地面。

　　由學生小組討論，總結出二次函數與一元二次方程的解有什么關系?

　　例如：已知二次函數y=-x2+4x的值為3。求自變量x的值。

　　分析可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反過來，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數y=x2-4+3的值為0，求自變量x的值。

　　一般地，我們可以利用二次函數y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0。

　　(二)問題的討論

　　二次函數(1)y=x2+x-2;

　　(2) y=x2-6x+9;

　　(3) y=x2-x+0。

　　的圖象如圖26.2-2所示。

　　(1)以上二次函數的圖象與x軸有公共點嗎?如果有，有多少個交點，公共點的橫坐標是多少?

　　(2)當x取公共點的橫坐標時，函數的值是多少?由此，你能得出相應的一元二次方程的根嗎?

　　先畫出以上二次函數的圖象，由圖像學生展開討論，在老師的引導下回答以上的問題。

　　可以看出：

　　(1)拋物線y=x2+x-2與x軸有兩個公共點，它們的橫坐標是-2，1。當x取公共點的橫坐標時，函數的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1。

　　(2)拋物線y=x2-6x+9與x軸有一個公共點，這點的橫坐標是3。當x=3時，函數的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有兩個相等的實數根3。

　　(3)拋物線y=x2-x+1與x軸沒有公共點，由此可知，方程x2-x+1=0沒有實數根。

　　總結：一般地，如果二次函數y= 的圖像與x軸相交，那么交點的橫坐標就是一元二次方程 =0的根。

　　(三)歸納

　　一般地，從二次函數y=ax2+bx+c的圖象可知，

　　(1)如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當x=x0時，函數的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根。

　　(2)二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

　　由上面的結論，我們可以利用二次函數的圖象求一元二次方程的根。由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的。

　　(四)例題

　　例利用函數圖象求方程x2-2x-2=0的實數根(精確到0.1)。

　　解：作y=x2-2x-2的圖象(如圖)，它與x軸的公共點的橫坐標大約是-0.7,2.7。

　　所以方程x2-2x-2=0的實數根為x1-0.7,x22.7。

　　七小結

　　二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

　　。

　　八板書設計

　　用函數觀點看一元二次方程

　　拋物線y=ax2+bx+c與方程ax2+bx+c=0的解之間的關系

　　例題

一元二次方程教案10

　　一、素質教育目標

　　（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率問題．

　　（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養學生用數學的意識．

　　二、教學重點、難點

　　1．教學重點：學會用列方程的方法解決有關增長率問題．

　　2．教學難點：有關增長率之間的數量關系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴大，擴大到，擴大了．

　　三、教學步驟

　　（一）明確目標．

　　（二）整體感知

　　（三）重點、難點的學習和目標完成過程

　　1．復習提問

　　（1）原產量+增產量=實際產量．

　　（2）單位時間增產量=原產量×增長率．

　　（3）實際產量=原產量×（1+增長率）．

　　2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？

　　分析：設平均每月的增長率為x．

　　則2月份的產量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．

　　3月份的產量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]

　　=5000（1+x）2（噸）．

　　解：設平均每月的增長率為x，據題意得：

　　5000（1+x）2=7200

　　（1+x）2=1。44

　　1+x=±1。2．

　　x1=0。2，x2=-2。2（不合題意，舍去）．

　　取x=0。2=20％．

　　教師引導，點撥、板書，學生回答．

　　注意以下幾個問題：

　　（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設增長的百分率為x．

　　（2）認真審題，弄清基數，增長了，增長到等詞語的關系．

　　（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開．

　　練習1．教材P。42中5．

　　學生分析題意，板書，筆答，評價．

　　練習2．若設每年平均增長的百分數為x，分別列出下面幾個問題的方程．

　　（1）某工廠用二年時間把總產值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率．

　　（1+x）2=b（把原來的總產值看作是1．）

　　（2）某工廠用兩年時間把總產值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分數．

　　（a（1+x）2=b）

　　（3）某工廠用兩年時間把總產值增加了原來的b倍，求每年增長的百分數．

　　（（1+x）2=b+1把原來的總產值看作是1．）

　　以上學生回答，教師點撥．引導學生總結下面的規律：

　　設某產量原來的產值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產值為a（1+x），增長兩次后的產值為a（1+x）2 ，…………增長n次后的產值為S=a（1+x）n．

　　規律的得出，使學生對此類問題能居高臨下，同時培養學生的探索精神和創造能力．

　　例2 某產品原來每件600元，由于連續兩次降價，現價為384元，如果兩個降價的百分數相同，求每次降價百分之幾？

　　分析：設每次降價為x．

　　第一次降價后，每件為600-600x=600（1-x）（元）．

　　第二次降價后，每件為600（1-x）-600（1-x）x

　　=600（1-x）2（元）．

　　解：設每次降價為x，據題意得

　　600（1-x）2=384．

　　答：平均每次降價為20％．

　　教師引導學生分析完畢，學生板書，筆答，評價，對比，總結．

　　引導學生對比“增長”、“下降”的區別．如果設平均每次增長或下降為x，則產值a經過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．

　　（四）總結、擴展

　　1．善于將實際問題轉化為數學問題，嚴格審題，弄清各數據相互關系，正確布列方程．培養學生用數學的意識以及滲透轉化和方程的思想方法．

　　2．在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題．

　　3．我們只學習一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率．3年、4年……，n年，應該說按照規律我們可以列出方程，隨著知識的增加，我們也將會解這些方程．

　　四、布置作業

　　教材P。42中A8

　　五、板書設計

　　12。6 一元二次方程應用（三）

　　1．數量關系：例1……例2……

　　（1）原產量+增產量=實際產量分析：……分析……

　　（2）單位時間增產量=原產量×增長率解……解……

　　（3）實際產量=原產量（1+增長率）

　　2．最后產值、基數、平均增長率、時間

　　的基本關系：

　　M=m（1+x）n n為時間

　　M為最后產量，m為基數，x為平均增長率

　　12．6 一元二次方程的應用（三）

　　一、素質教育目標

　　（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率問題．

　　（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養學生用數學的意識．

　　二、教學重點、難點

　　1．教學重點：學會用列方程的方法解決有關增長率問題．

　　2．教學難點：有關增長率之間的數量關系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴大，擴大到，擴大了．

　　三、教學步驟

　　（一）明確目標．

　　（二）整體感知

　　（三）重點、難點的學習和目標完成過程

　　1．復習提問

　　（1）原產量+增產量=實際產量．

　　（2）單位時間增產量=原產量×增長率．

　　（3）實際產量=原產量×（1+增長率）．

　　2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？

　　分析：設平均每月的增長率為x．

　　則2月份的`產量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．

　　3月份的產量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]

　　=5000（1+x）2（噸）．

　　解：設平均每月的增長率為x，據題意得：

　　5000（1+x）2=7200

　　（1+x）2=1。44

　　1+x=±1。2．

　　x1=0。2，x2=-2。2（不合題意，舍去）．

　　取x=0。2=20％．

　　教師引導，點撥、板書，學生回答．

　　注意以下幾個問題：

　　（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設增長的百分率為x．

　　（2）認真審題，弄清基數，增長了，增長到等詞語的關系．

　　（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開．

　　練習1．教材P。42中5．

　　學生分析題意，板書，筆答，評價．

　　練習2．若設每年平均增長的百分數為x，分別列出下面幾個問題的方程．

　　（1）某工廠用二年時間把總產值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率．

　　（1+x）2=b（把原來的總產值看作是1．）

　　（2）某工廠用兩年時間把總產值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分數．

　　（a（1+x）2=b）

　　（3）某工廠用兩年時間把總產值增加了原來的b倍，求每年增長的百分數．

　　（（1+x）2=b+1把原來的總產值看作是1．）

　　以上學生回答，教師點撥．引導學生總結下面的規律：

　　規律的得出，使學生對此類問題能居高臨下，同時培養學生的探索精神和創造能力．

　　例2 某產品原來每件600元，由于連續兩次降價，現價為384元，如果兩個降價的百分數相同，求每次降價百分之幾？

　　分析：設每次降價為x．

　　第一次降價后，每件為600-600x=600（1-x）（元）．

　　第二次降價后，每件為600（1-x）-600（1-x）x

　　=600（1-x）2（元）．

　　解：設每次降價為x，據題意得

　　600（1-x）2=384．

　　答：平均每次降價為20％．

　　教師引導學生分析完畢，學生板書，筆答，評價，對比，總結．

　　引導學生對比“增長”、“下降”的區別．如果設平均每次增長或下降為x，則產值a經過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．

　　（四）總結、擴展

　　1．善于將實際問題轉化為數學問題，嚴格審題，弄清各數據相互關系，正確布列方程．培養學生用數學的意識以及滲透轉化和方程的思想方法．

　　2．在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題．

　　四、布置作業

　　教材P。42中A8

　　五、板書設計

　　12。6 一元二次方程應用（三）

　　1．數量關系：例1……例2……

　　（1）原產量+增產量=實際產量分析：……分析……

　　（2）單位時間增產量=原產量×增長率解……解……

　　（3）實際產量=原產量（1+增長率）

　　2．最后產值、基數、平均增長率、時間的基本關系：

　　M=m（1+x）n n為時間

　　M為最后產量，m為基數，x為平均增長率

一元二次方程教案11

　　教學目標：

　　知識與技能目標：

　　經歷探索一元二次方程概念的過程，理解一元二次方程中的二次項、一次項、常數項；了解一元二次方程的一般形式，并會將一元二次方程轉化成一般形式。

　　過程與方法目標：

　　經歷抽象一元二次方程的概念的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界的一個有效數學模型；在探索過程中培養和發展學生學習數學的主動性，提高數學的應用能力。

　　情感態度與價值觀目標：

　　培養學生主動參與、合作交流的意識；經歷獨立克服困難和運用知識解決問題的成功體驗，提高學生學習數學的信心。

　　教學重點：

　　理解一元二次方程的概念及其形式。

　　教學難點：

　　一元二次方程概念的探索

　　教學過程

　　一、情境引入

　　今天我們學習一元二次方程，溫故而知新，我們都學過什么方程？（一元一次方程，分式方程，方程組）同桌兩人說說學過這些方程的定義都是什么。你覺得學過這些方程難嗎？只要你拿出你的學習熱情來，就會感覺這節課的內容，也很簡單。請你打開課本39頁，從39頁到40頁議一議以上的內容，希望你準確而又迅速的在課本上列出方程，不用求解。列出方程后組內對一下答案，如有錯誤，出錯的原因。（3’）

　　二、探索新知

　　列方程正確率百分之百的請舉手。祝賀你們，沒舉手的同學加油！（列對的同學多就問，否則問現在會列這些方程的請舉手）

　　請你將上述三個方程，化簡成等號右邊等于0的形式。完成后組內對一下答案，先完成的小組把你們的成果寫在黑板上，其余組跟黑板上的答案對一下，有不同意見的把你們組的`答案也寫上去。（黑板上的答案對嗎？如有沒約分的，問哪個更好？）

　　觀察、思考剛才這3個方程2x2-13x+11=0,x2-8x-20=0,x2+12x-15=0,以及又加入的這兩個方程x2+3x=0,4x2-5=0是一元一次方程嗎？你猜這些方程叫什么方程？對，這樣的方程就是我們今天學習的一元二次方程。

　　請大家先思考然后小組討論導學案中探究一中的問題2到6，組長找好本題發言人，最后全班交流你們組對問題5和6的看法。

　　2、以上方程與一元一次方程有什么相同與不同之處？

　　3、你能說說什么樣的方程是一元二次方程嗎？

　　4、如果我們借助字母系數來表示，那么以上方程能都化成一個方程--------------------------，用字母表示系數時，要注意什么嗎？

　　5、你們組歸納的一元二次方程的概念與課本40頁的定義有區別嗎？誰的更好？好在哪？

　　6、你認為一元二次方程的概念中重點要強調的是什么？為什么？

　　請3組同學交流一下你們討論的問題5、6的結果。老師根據學生的回答，有針對性的提出為什么這樣想？你的理由是什么？以強調a≠0。并板書（1）含一個未知數（2）2次（3）整式方程，一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c、為常數a≠0)有沒有要補充或者要發表不同看法的小組？

　　請你搶答問題7。

　　7、判斷下列方程是不是一元二次方程,若不是請說明理由。

　　同桌兩人能舉出幾個一元二次方程的例子嗎？

　　探索二

　　先自學課本40最后一段話，然后同桌兩人說出黑板上3個方程的二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數項。

　　找一元二次方程各項及其各項系數時，需要注意什么嗎？（先要是一般形式，系數帶符號）請你完成探究二中問題1，請2組、4組選派一名同學分別上黑板（10、（2）兩題。完成后對照課本41頁例1自己檢查對錯，有困難的同學找組長和我。

　　1、判斷下列方程是不是關于x的一元二次方程，如果是，寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項。

　　（1）3x(x+2)=4(x-1)+7（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)

　　問題3做對了的同學請舉手？祝賀你們。出錯的同學能不能把你的寶貴經驗告訴我們，我們下次也好注意一下，別再出錯？請你說說，謝謝你對我們的提醒。

　　三、鞏固練習

　　請看問題2，

　　2、已知關于x的方程（1）k為何值時，此方程為一元二次方程？（2）k為何值時，此方程為一元一次方程？誰能回答？為什么這樣想？

　　四、課堂：

　　先小組內說出本節課你的收獲，然后全班交流你們組的收獲。大家看看哪個小組的收獲多。

　　五、自我檢測：

　　看看我們的收獲是不是真的

　　碩果累累，請你完成自我檢測給你5分鐘時間，做完的給我和組長檢查。老師和小組長當堂批改

　　1、三個連續整數兩兩相乘，所得積的和為242，這三個數分別是多少？

　　根據題意，列出方程為------------------------------------。

　　2.把下列方程化為一元二次方程的形式，并寫出它的二次項系數、常數項：

　　方程

　　一般形式

　　二次項系數

　　常數項

　　3x2=5x-1

　　(x+2)(x-1)=6

　　3、關于x的方程（k-2）x2+2(k+9)x+2k-1=0

　　（1）k為何值時，是一元二次方程？k--------------是一元二次方程。

　　（2）k為何值時，是一元一次方程？k-------------是一元一次方程。

　　六、小組

　　請小組長本小組今天大家的表現。

　　七、作業

　　課本42頁1（2），2（1）（2）（3）

　　能力挑戰：

　　已知關于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0

　　（1）k為何值時，此方程為一元二次方程？并寫出該一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項。（2）k為何值時，此方程為一元一次方程？

　　板書設計：一元二次方程

　　（1）3x(x+2)=4(x-1)+7（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)

　　2x2-13x+11=0（1）含一個未知數（2）2次

　　x2-8x-20=0（3）整式方程

　　x2+12x-15=0一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c、為常數a≠0)

　　二次項一次項常數項

　　二次項系數一次項系數常數項系數

　　參加區優質課評比反思：

　　這次有幸參加我區優質課評比，感受頗多。

　　一、對三分之一課堂模式有了更深的理解。數學課的三分之一模式不是簡單的把課堂分成三大塊，也不是自主探索、小組合作、教師引導，一定是嚴格的都是15分鐘，這要根據課程的內容，靈活的把握。我講的《一元二次方程》這一節中，簡單問題我就讓大家自主探索，對于難度大的問題，自主探索后先小組合作，最后師生一起進行歸納。

　　二、臺上一分鐘，臺下十年功。通過參加這次活動，我想，我在今后的課堂教學中，就要用優質課的進行教學，如果平時的授課方式和優質課的方式差別很大的話，雖然是經過加工了的課，但最后一定會帶有很多平時上課的影子，很多不規范的方面還是難以改正的。

　　三、集體的智慧很重要。一個人的力量是有限的，但集體的力量是無限的。我很感謝我們數學組的各位老師對我的大力支持，他們一遍一遍的給提出修改建議，一次一次的跟我去聽課，尤其是李老師、戰老師、林老師，她們給了我教學理念上的很多建議，讓我的教學理念有了很大的提升。

一元二次方程教案12

　　教學內容

　　一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念．

　　教學目標

　　了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應用一元二次方程概念解決一些簡單題目．

　　1．通過設置問題，建立數學模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義．

　　2．一元二次方程的一般形式及其有關概念．

　　3．解決一些概念性的題目．

　　4．態度、情感、價值觀

　　4．通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情．

　　重難點關鍵

　　1．重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念解決問題．

　　2．難點關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的.概念．

　　教學過程

　　一、復習引入

　　學生活動：列方程．

　　問題（1）《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”

　　大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？

　　如果假設門的高為x尺，那么，這個門的寬為_______尺，根據題意，得________．

　　整理、化簡，得：__________．

　　問題（2）如圖，如果，那么點C叫做線段AB的黃金分割點．

　　如果假設剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是________，寬是_____，根據題意，得：_______．

　　整理，得：________．

　　老師點評并分析如何建立一元二次方程的數學模型，并整理．

　　二、探索新知

　　學生活動：請口答下面問題．

　　（1）上面三個方程整理后含有幾個未知數？

　　（2）按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？

　　（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？

　　老師點評：（1）都只含一個未知數x；（2）它們的最高次數都是2次的；（3）都有等號，是方程．

　　因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

　　一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

　　一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項．

　　例1．將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項．

　　分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等．

　　解：去括號，得：

　　40-16x-10x+4x2=18

　　移項，得：4x2-26x+22=0

　　其中二次項系數為4，一次項系數為-26，常數項為22．

　　例2．（學生活動：請二至三位同學上臺演練）將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數；一次項、一次項系數；常數項．

　　分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

　　解：去括號，得：

　　x2+2x+1+x2-4=1

　　移項，合并得：2x2+2x-4=0

　　其中：二次項2x2，二次項系數2；一次項2x，一次項系數2；常數項-4．

　　三、鞏固練習

　　教材P32 練習1、2

　　四、應用拓展

　　例3．求證：關于x的方程（2-8+17）x2+2x+1=0，不論取何值，該方程都是一元二次方程．

　　分析：要證明不論取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明2-8+17≠0即可．

　　證明：2-8+17=（-4）2+1

　　∵（-4）2≥0

　　∴（-4）2+1>0，即（-4）2+1≠0

　　∴不論取何值，該方程都是一元二次方程．

　　五、歸納小結（學生總結，老師點評）

　　本節課要掌握：

　　（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項、二次項系數，一次項、一次項系數，常數項的概念及其它們的運用．

　　六、布置作業

一元二次方程教案13

　　一、教學目標：

　　1．經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系．

　　2．理解拋物線交x軸的點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根．

　　3．能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根。

　　二、教學重點、難點：

　　教學重點：

　　1．體會方程與函數之間的聯系。

　　2．能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根。

　　教學難點：

　　1．探索方程與函數之間關系的過程。

　　2．理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系。

　　三、教學方法：啟發引導合作交流

　　四：教具、學具：課件

　　五、教學媒體：計算機、實物投影。

　　六、教學過程：

　　檢查預習引出課題

　　預習作業：

　　1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.

　　2. 回顧一次函數與一元一次方程的關系，利用函數的圖象求方程3x-4=0的解.

　　師生行為：教師展示預習作業的.內容，指名回答，師生共同回顧舊知，教師做出適當總結和評價。

　　教師重點關注：學生回答問題結論準確性，能否把前后知識聯系起來，2題的格式要規范。

　　設計意圖：這兩道預習題目是對舊知識的回顧，為本課的教學起到鋪墊的作用,1題中的三個方程是課本中觀察欄目中的三個函數式的變式，這三個方程把二次方程的根的三種情況體現出來，讓學生回顧二次方程的相關知識；2題是一次函數與一元一次方程的關系的問題，這題的設計是讓學生用學過的熟悉的知識類比探究本課新知識。

一元二次方程教案14

　　教學目的 知識技能使學生會用列一元二次方程的方法解決有關面積、體積方面和經濟方面的問題.

　　數學思考 提高將實際問題轉化為數學問題的能力以及用數學的意識，滲透轉化的思想、方程的思想及數形結合的思想.

　　解決問題通過列一元二次方程的方法解決日常生活及生產實際中遇到的有關面積、體積方面和經濟方面的問題.

　　情感態度 通過探究性學習,抓住問題的關鍵，揭示它的規律性，展示解題的簡潔性的數學美.

　　教學難點 審題，從文字語言中挖掘有價值的信息.

　　知識重點 會用列一元二次方程的方法解有關面積、體積方面和經濟方面的問題.

　　教學過程設計意圖

　　教學過程

　　問題一：列方程解應用題的一般步驟？

　　師生共同回憶

　　列方程解應用題的步驟：

　　（1）審題；（2）設未知數；

　　（3）列方程；（4）求解；

　　（5）檢驗；（6）答.

　　問題二：矩形的周長和面積？長方體的體積？

　　問題三：如圖，某小區內有一塊長、寬比為1：2的矩形空地，計劃在該空地上修筑兩條寬均為2m的互相垂直的小路，余下的四塊小矩形空地鋪成草坪，如果四塊草坪的面積之和為312m2，請求出原來大矩形空地的長和寬.

　　教師活動：引導學生讀題，找到題目中的關鍵語句.

　　學生活動：在關鍵語句中找到反映相等關系的語句，探究解決辦法.

　　教師活動：用多媒體演示分析，解題方法.

　　做一做

　　如圖，有一塊長80cm，寬60cm的硬紙片，在四個角各剪去一個同樣的小正方形，用剩余部分做成一個底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子.求剪去的小正方形的邊長.

　　課堂練習：將一個長方形的長縮短5cm，寬增長3cm，正好得到一個正方形.已知原長方形的面積是正方形面積的，求這個正方形的`邊長.

　　問題四：某商場銷售一種服裝，平均每天可售出20件，每件贏利40元.經市場調查發現：如果每件服裝降價1元，平均每天能多售出2件.在國慶節期間，商場決定采取降價促銷的措施，以達到減少庫存、擴大銷售量的目的如果銷售這種服裝每天贏利1200元，那么每件服裝應降價多少元？

　　學生活動：在眾多的文字中，找到關鍵語句，分析相等關系.

　　教師活動：用多媒體幫助學生分析試題.提示學生檢驗解的合理性.

　　課堂練習：1.經銷商以每雙21元的價格從廠家購進一批運動鞋，如果每雙鞋售價為a元，那么可以賣出這種運動鞋（350-10a）雙.物價局限定每雙鞋的售價不得超過進價的120％.如果商店要賺400元，每雙鞋的售價應定為多少元？需要賣出多少雙鞋？

　　2.某商店從廠家以每件18元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價．據市場調查，該商品的售價與銷售量的關系是：若每件售價a元，則可賣出(320-10a)件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價25 ％的．如果商店計劃要獲利400元，則每件商品的售價應定為多少元？需要賣出這種商品多少件？（每件商品的利潤＝售價進貨價）

　　復習列方程解應用題的一般步驟.

　　本題為后面解決有關面積、體積方面問題做鋪墊.

　　提高學生的審題能力.使學生會解決有關面積的問題.

　　解決體積問題的問題

　　培養學生用數學的意識以及滲透轉化和方程的思想方法.

　　強調對方程的解進行雙重檢驗.

　　小結與作業

　　課堂

　　小結利用一元二次方程解決實際問題時，要注意通過實際要求檢驗根的合理性，要注意審題能力的培養.

　　本課

　　作業課本第43頁習題2

　　課后隨筆（課堂設計理念，實際教學效果及改進設想）

一元二次方程教案15

　　一、教材分析：

　　1、教材所處的地位：此前學生已經學習了應用一元一次方程與二元一次方程組來解決實際問題。本節仍是進一步討論如何建立和利用一元二次方程模型來解決實際問題，只是在問題中數量關系的復雜程度上又有了新的發展。

　　2、教學目標要求：

　　（1）能根據具體問題中的數量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型；

　　（2）能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理；

　　（3）經歷將實際問題抽象為代數問題的過程，探索問題中的數量關系，并能運用一元二次方程對之進行描述；

　　（4）通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用。

　　3、教學重點和難點：

　　重點：列一元二次方程解與面積有關問題的應用題。

　　難點：發現問題中的等量關系。

　　二．教法、學法分析：

　　1、本節課的設計中除了探究3教師參與多一些外，其余時間都堅持以學生為主體，充分發揮學生的主觀能動性。教學過程中，教師只注重點、引、激、評，注重學生探究能力的培養。還課堂給學生，讓學生去親身體驗知識的產生過程，拓展學生的創造性思維。同時，注意加強對學生的啟發和引導，鼓勵培養學生們大膽猜想，小心求證的科學研究的思想。

　　2、本節內容學習的關鍵所在，是如何尋求、抓準問題中的數量關系，從而準確列出方程來解答。因此課堂上從審題，找到等量關系，列方程等一系列活動都由生生交流，兵教兵從而達到發展學生思維能力和自學能力的目的，發掘學生的創新精神。

　　三．教學流程分析：

　　本節課是新授課，根據學生的知識結構，整個課堂教學流程大致可分為：

　　活動1復習回顧解決課前參與

　　活動2封面設計問題的探究

　　活動3草坪規劃問題的延伸

　　活動4課堂回眸

　　這一流程體現了知識發生、形成和發展的過程，讓學生體會到觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數形結合的思想。

　　活動1復習回顧解決課前參與

　　由學生展示課前參與題目，集體訂正。目的在于回顧常用幾何圖形的`面積公式，并且引出本節學習內容——面積問題。

　　活動2封面設計問題的探究

　　通過學生自己獨立審題，找尋等量關系，教師引導學生對“正中央矩形與封面長寬比例相同”題意的理解，使學生明白中央矩形長寬比為9：7，從而進一步突破難點：上下邊襯與左右邊襯比也為9：7，為學生設未知數提供幫助。之后由學生分組完成方程的列法，以及取法。講解中注重簡便設法及解法的指導與評價。